ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КНИГА ТРЕТЬЯ. ПОДОБИЕ. ГЛАВА V . ГОМОТЕТИЯ И ПОДОБИЕ.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

ГОМОТЕТИЯ И ПОДОБИЕ

Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве
140. Определение. Пусть выбрана точка 5, которая называется
центром подобия (или центром гомотетии), и число k, которое
называется коэффициентом подобия; точкой, гомотетичной какой-
либо точке Ж, называется точка М\ которая получается, если соединить
точку М с точкой 5 прямой линией и отложить на этой прямой от
точки 5 в направлении SM (черт. 145) или в противоположном направлении
(черт. 145а) такой отрезок SM’,
что имеет место равенство —SM’ ,

Гомотетия называется прямой, если
отрезок 5*714′ откладывается в ту же
сторону, как и SM (черт. 145), и обратной,
если оба эти отрезка направлены в
противоположные стороны (черт. 145а).
Фигура, гомотетичная (или перспективно-
подобная, или подобная и подобно
расположенная) какой-либо фигуре Z7, есть фигура, образованная
совокупностью точек М\ гомотетичных точкам, образующим
фигуру F.
П р и м е ч а н и я : I. Центр гомотетии есть точка, сама себе
гомотетичная; это — единственная точка, которая обладает данным
свойством (за исключением, конечно, случая, когда гомотетия
прямая и коэффициент подобия равен 1; в этом случае любая точка
совпадает со своей гомотетичной).
II. Симметрия относительно точки (п. 99) есть частный случай
обратной гомотетии.
141. Теорема. В двух гомотетичных системах точек отрезок,
соединяющий две какие-либо точки одной из систем, и отрезок,
соединяющий соответственные им точки другой, всегда параллельны,
и их отношение равно коэффициенту подобия; они направлены
в одну и ту же сторону или в противоположные стороны.
смотря по тому, будет ли гомотетия прямой или обратной,
Действительно, пусть А и В — две точки первой фигуры, А’ и Вг —
точки, им гомотетичные (черт. 146), 5—центр гомотетии, k—коэффици-

133 ГОМОТЕТИЯ И ПОДОБИЕ.

ент подобия. Пропорция ^=—SBz’=k показывает (п. 114, обратная
теорема), что отрезки А!ВГ и АВ параллельны, а подобие треугольников
SAFBr и SAB — что отношение этих отрезков равно
отношению SA’ к SA.
Следствия: I. Фигура, гомотетичная прямой линии, есть прямая
линия.
Действительно, если точка В перемещается по прямой АВ, причём
последняя остаётся неподвижной, то точка Вг описывает прямую, проходящую
через А! и параллельную АВ.
II. Фигура, гомотетичная окружности,
есть окружность, причём их центры — гомотетичные
точки.
Действительно, если точка В перемещается
так, что её расстояние от определённой
точки А остаётся постоянным, то
точка Вг опишет окружность с центром в Аг
и радиусом AfBf = k • АВ.
III. Фигура, гомотетичная данному
треугольнику, есть треугольник, подобный первому.

142. Обратная теорема. Если на плоскости, в которой лежат
две системы точек, существуют две такие точки О и Ог, что
отрезок, соединяющий точку О с какой-либо точкой М первой
системы, и отрезок, соединяющий точку Ог с соответственной
точкой Мг второй системы, всегда параллельны и имеют данное
отношение (причём оба отрезка
всегда направлены либо в одну
и ту же сторону, либо всегда
направлены в противоположные
стороны), то эти две системы
гомотетичны.
Для того чтобы эта теорема была
верна во всех случаях, необходимо
считать прямо гомотетичными и такие две системы, в которых
отрезки ОМ и OfMr равны и направлены в одну и ту же
сторону, т. е. две системы, которые равны между собой и получаются
одна из другой с помощью поступательного перемещения.

Пусть М и М! — две какие-либо соответственные точки (черт. 147).
Соединим М с МТ. Если эта прямая параллельна 00′, то четырёхугольник
ОММ!Ог— параллелограмм и ОМ=ОтМг\ обе системы получаются
одна из другой с помощью поступательного перемещения.
В противном случае прямая ММ! пересекает 00′ в точке которая
неподвижна, т. е. не зависит от выбора пары точек М, Мг\ действительно,
эта точка делит отрезок 00′ в данном отношении k (внешним
образом, если отрезки ОМ и 0714′ направлены в одну и ту же
сторону, и внутренним образом, если они направлены в противоположи

134 ГОМОТЕТИЯ И ПОДОБИЕ.

пые стороны) вследствие подобия треугольников 50А1 и SO’Mr.
Далее, вследствие подобия тех же треугольников имеем:
SM’ _0’М’ _ ,
«SM ом
143. Следствие. Две любые окружности можно рассматривать
как гомотетичные и притом двумя различными способами.
Действительно, если О и Ог — центры этих окружностей, то концы
М и М! двух соответственно параллельных радиусов, направленных
в одну и ту же сторону, удовлетворяют условию предыдущей теоремы
и описывают две прямо гомотетичные фигуры (черт. 148); точно
так же концы Мх и МТ двух параллельных радиусов, направленных

в противоположные стороны, служат соответственными точками двух
обратно гомотетичных фигур: в обоих случаях коэффициент подобия
равен отношению радиусов.
Следовательно, две окружности имеют два центра подобия1) —
S, Sf, один, соответствующий прямой гомотетии, называется внешним,
другой, соответствующий обратной гомотетии,— внутренним. Центры
подобия делят гармонически отрезок, соединяющий центры окружностей,
так как каждый из центров подобия делит его в отношении,
равном отношению радиусов.
Точки касания внешней общей касательной прямо гомотетичны,
так как радиусы, проведённые в эти точки, параллельны и направлены
в одну и ту же сторону. Точно так же точки касания внутренней
общей касательной обратно гомотетичны.
Далее, общие внешние касательные (если они существуют) пересекаются
во внешнем центре подобия; внутренние общие касательные
(если они существуют) — во внутреннем центре подобия.
Если окружности касаются друг друга, то точка касания есть
один из центров подобия.
П р и м е ч а н и е . Две окружности не могут быть гомотетичными
более чем двумя различными способами.
*) Впрочем, две равные окружности не имеют внешнего центра подобия;
их можно рассматривать как прямо гомотетичные только благодаря
тому обобщению этого понятия, которое было дано в предыдущем пункте.

135 ГОМОТЕТИЯ И ПОДОБИЕ.

Действительно, если имеет место гомотетия, то центры окружностей
соответствуют друг другу (п. 141, следствие И) и соответственные
радиусы параллельны.
В зависимости от того, будут ли они направлены в одну и ту же
сторону или в противоположные стороны, мы будем иметь ту или
иную из двух гомотетий, установленных выше.
144. Теорема. Две фигуры, гомотетичные третьей, гомотетичны
между собой, и три центра подобия лежат на одной прямой.
Пусть фигуры F2 и F3 (черт. 149) гомотетичны одной и той же
фигуре Ft; пусть 02 и 03 — точки, соответствующие в фигурах F2
и F3 некоторой определённой точке О х фигуры F t ; Ж2 и Мг —

точки, соответствующие произвольной точке Мх фигуры Fv Отрезки
02Ж2 и 03М3 параллельны, так как они оба параллельны ОхМх\ они
либо всегда направлены в одну и ту же сторону (если они оба направлены
в ту же сторону, как и ОхМь или оба — в сторону, противоположную
01М1у т. е. если гомотетии (Fb F%) и (Flf F3) одного и
того же рода), либо всегда направлены в противоположные стороны
(если две исходные гомотетии различного рода); наконец, их отно-
шение постоянно, так как из равенств — = k и 0т2Мгт« гг —Оо кМ с3л ,е, — ^ OiMi OiMx
дует, что — . Итак, две фигуры F2 и FB действительно
(J 2-/W2 ^
гомотетичны между собой, причём гомотетия будет прямой, если две
исходные гомотетии одного рода, и обратной, если эти гомотетии
различного рода.

136

Пусть теперь 523 — центр гомотетии фигур F2 и FSy Sn —центр
гомотетии фигур Fx и Fs> S12 — центр гомотетии фигур Ft и /у, я
утверждаю, что эти точки лежат на одной прямой. Действительно,
точка S23, рассматриваемая как принадлежащая фигуре F%y сама себе
соответствует в фигуре л; она имеет в качестве соответственной
в фигуре Fx некоторую точку s. Прямая sS%3 пройдёт через точку
(как соединяющая соответственные точки фигур Fx и F3) и через
точку S12 (как соединяющая соответственные точки фигур Рг и F%).
П р и м е ч а н и е . Мы видим, что если три фигуры попарно гомотетичны,
то из трёх гомотетий прямыми будут или одна или все три 1).
145. Три окружности С1у С2, С3 можно рассматривать как фигуры
попарно гомотетичные и притом четырьмя различными способами;
действительно (п. 143), можно выбрать произвольно прямую или обратную
гомотетию между окружностями Q и С2 и между окружностями
С\ и С3 (что составляет четыре возможных сочетания); гомотетия
между окружностями С2 и С3 определяется двумя первыми гомотетиями.
Применяя предыдущую теорему, мы видим, что три внешних центра
подобия лежат на одной прямой;
точно так же лежат
на одной прямой каждый внешний
центр подобия с двумя
внутренними центрами подо-
бия, ему не соответственными.
Четыре прямые, таким
образом определённые, называются
осями подобия: одна
из них — внешняя ось подобия,
три другие —внутренние\
они попарно пересекаются
в шести центрах подобия. Черт. 150.

Определения. Полным четырёхсторонником
называется (черт. 150)

фигура, которая получится,
если продолжить противоположные стороны обыкновенного четырёхугольника
до их пересечения. Полный четырёхсторонник имеет б вер-
шин• А, В, С, D, Е, F (черт. 150), попарно противоположных. Диагональю
полного четырёхсторонника называется всякая прямая, соединяющая
две противоположные вершины, так что полный четырёхсторонник
ABCDEF имеет три диагонали — АВ, CD и EF.
Согласно этим определениям оси подобия трёх окружностей
образуют полный четырёхсторонник, имеющий своими диагоналями
три линии центров.
146. Определение, Две фигуры называются подобными между
собой, если их можно расположить таким образом, чтобы они были
гомотетичными.
х) Так как либо из трёх соответственных отрезков О^Ми 02М2 и OsM8
два направлены в одну сторону, а третий — в противоположную, либо все
три отрезка направлены в одну сторону. Прим. ред. перевода.

137

Две дуги круга, которым соответствуют равные центральные углы,
будут, например, подобными фигурами.
Теорема. Два подобных многоугольника имеют равные углы
и их соответственные стороны пропорциональны.
Действительно, рассмотрим эти два многоугольника в том положении,
в котором они гомотетичны; при этом их углы будут соответственно
равны, так как их соответственные стороны параллельны и
направлены в одну и ту же сторону или параллельны и направлены
в противоположные стороны (в зависимости от того, будет ли гомотетия
прямой или обратной); отношение любых двух соответственных
сторон равно коэффициенту подобия.
Следствие. Отношение периметров двух подобных многоугольников
равно коэффициенту подобия.
Это вытекает из пропорциональности сторон на основании следующей
арифметической теоремы: в последовательности равных отношений
сумма предыдущих членов относится к сумме последующих,
как один из предыдущих к своему последующему.
147. Обратная теорема. Если углы двух многоугольников,
взятые в последовательном порядке в обоих многоугольниках, соответственно
равны между собой и каждые два соответственных
угла имеют одинаковое направление или каждые два угла имеют
противоположное направление, а соответственные стороны многоугольников
пропорциональны, то эти многоугольники подобны.
Пусть два многоугольника P(ABCDE) и Pr (ArB’CrDrEr) удовлетворяют
условиям теоремы, так что мы имеем
£ В = £ В ‘ , Z C = Z C ‘ , l d = l d \ l e = l e ‘
А’В’ В’С’ C’D’ D’E’ Е’А’
и АВ ~~ ВС ~~ CD ~~ DE ЕА»
Построим многоугольник Ри гомотетичный многоугольнику Р относительно
произвольной точки, выбрав коэффициент подобия равным
общему значению оАт’нВо’ шВе’Сн’ий -дд, -qq и т. д. Мы получим, таким
образом, новый многоугольник P^B^D^), углы которого соответственно
равны углам многоугольника Рг (и имеют либо все то же
самое направление, либо противоположное направление) и стороны
которого равны сторонам многоугольника Рг. Я утверждаю, что многоугольник
Рх равен многоугольнику Р\
Прежде всего можно предположить, что равенство углов имеет
место с сохранением направления (иначе мы заменили бы многоугольник
Рг многоугольником, симметричным ему относительно некоторой
прямой). При этих условиях наложим многоугольник РТ (не изменяя его
направления вращения) на Рх так, чтобы сторона А!ВГ совпала с равной
ей стороной А1В1. Равенство углов Bt и Вг по величине и по
направлению показывает, что сторонаВТСТ пойдёт по направлению ВХСЪ
и так как эти два отрезка равны, то они совпадут. Далее мы точно

138

так же докажем, что сторона СП совпадает с ClD1 и т. д. Таким
образом, оба многоугольника совпадают.
П р и м е ч а н и е . Два четырёхугольника могут иметь соответственно
равные углы, не будучи подобными, например: квадрат и прямоугольник.
Равным образом для подобия двух четырёхугольников недостаточно пропорциональности
их сторон, так же как для равенства четырёхугольников недостаточно
(п. 46а, примечание III) равенства их сторон (см. ниже Прибавление А,
п. 281, а также том II, Прибавление F).
148. Всякий многоугольник можно разбить на треугольники
и притом бесчисленным множеством способов. Действительно:
1°. Если многоугольник выпуклый, то можно соединить одну из
его вершин со всеми остальными (черт. 151)
или какую-либо внутреннюю его точку со
всеми вершинами.
2°. Если многоугольник невыпуклый
(черт. 152), то его можно разбить на
выпуклые многоугольники (которые в свою
очередь могут быть разбиты на тре- Черт. 151.
угольники, как уже было указано).

С этой целью продолжаем неограниченно все стороны многоугольника
и тем самым разбиваем плоскость на некоторое число областей
(например на черт. 152 области перенумерованы от 1 до 16) таких,
что нельзя пересечь какую-либо сторону или её продолжение, не

перейдя из одной области в другую, и обратно. Каждая из этих
областей лежит целиком внутри или целиком вне многоугольника (так
как от какой-либо одной точки этой области можно перейти к какой-
либо другой её точке, не пересекая ни самих сторон ни их продолжений).
Таким образом, многоугольник состоит из совокупности тех
областей, которые будут по отношению к нему внутренними (на

139

чертеже 152 эти области перенумерованы от 1 до 3). Эти области по
определению будут выпуклыми многоугольниками.
149. Теорема. Два подобных многоугольника могут быть разбиты
на подобные треугольники, расположенные одинаковым образом.
Действительно, достаточно, расположив оба многоугольника так,
чтобы они были гомотетичны, и разбив один из них на треугольники,
разбить другой на треугольники, гомотетичные первым.
Обратная теорема. Два многоугольника, которые могут
быть разбиты на подобные треугольники, одинаковым образом
расположенные, подобны.
Прежде всего два многоугольника, составленные из соответственно
равных треугольников, расположенных одинаковым образом, равны
между собой. Действительно, пусть ABC, BCD, CDE и т. д. (черт. 153)—
треугольники, составляющие первый многоугольник
Р; A!BrC\ BrC’D\ CrDrEr и т. д. — треугольники,
соответственно равные первым и расположенные
одинаковым образом, которые составляют
второй многоугольник Р\ Если мы построим на А’В\
как на основании, многоугольник, равный Р(п. 95),
пользуясь треугольниками ABC, BCD, CDE, то
мы получим как раз многоугольник Рг.
Теперь, если два многоугольника образованы
из подобных треугольников, расположенных одинаковым
образом, с коэффициентом подобия *) k,
то, построив многоугольник, гомотетичный первому
многоугольнику, с тем же коэффициентом подобия
k, мы получим многоугольник, равный
(в силу того, что было сказано выше) второму
многоугольнику.

150. Теорема. Если на отрезках, соединяющих некоторую точку О
с каждой точкой М фигуры F, построить подобные между собой тре-
угольники, имеющие одинаковое направление вращения, то третьи вершины
М’ этих треугольников образуют фигуру F, подобную F.
Действительно, если повернуть фигуру F около точки О на угол, равный
углу МОМ\ то получится фигура, равная фигуре F и гомотетичная
фигуре F’ относительно центра О.
Обратная теорема. Если даны две подобные фигуры, имеющие одинаковое
направление вращения, то всегда существует такая точка, что
треугольники, имеющие вершинами эту точку и две какие-либо соответственные
точки, все подобны между собой.
Если повернуть одну из фигур около этой точки на надлежащий
угол, то она будет гомотетична другой фигуре относительно той же
точки.
Пусть F и F’ — две подобные фигуры, имеющие одинаковое направление
вращения, так что F’ гомотетична некоторой фигуре Fu равной фигуре
F и имеющей с ней одинаковое направление вращения. Отсюда
*) Коэффициент подобия k будет необходимо одним и тем же для двух
смежных треугольников, так как два смежных треугольника имеют в той
и другой фигуре по общей стороне; следовательно, он будет одним и тем же
для всех треугольников.

140

прежде всего следует, что два соответственных отрезка АВ и А’В’ (черт. 154}
ооеих фигур образуют между собой постоянный угол (который можно
назвать углом между двумя фигурами), так как этим свойством обладают
две равные фигуры F и Fu и все прямые линии фигуры F’ параллельны
соответствующим прямым фигуры Fi. Так как эти отрезки, кроме того,
пропорциональны, то, проведя через точку А отрезок АВ0, равный и параллельный
А’В’ и направленный с ним в одну сторону, мы получим треугольник
АВВоу подобный п некоторому определённому
треугольнику Т и имеющий
с ним одинаковое направление
вращения, независимо
от положения точек
А и В.
Теперь найдём точку,
которая сама себе соответствует,
если её рассматривать
один раз как
принадлежащую фигуре Ft
другой раз как принадлежащую
фигуре FПусть
такой точкой будет точка
О. Если мы повторим
предыдущее построение и Черт. 154.

Обратно, если, выбрав точку О, как только что было указано, рассматривать
её как принадлежащую фигуре F, то соответственная ей точка
в фигуре F’ будет лежать на прямой, со-
‘ R N ответственной ВО} а эта последняя будет
как раз прямая В’О (так как она образует
с ВО угол, равный углу между
двумя фигурами), и притом от точки В’ на
расстоянии, равном В’О (так как отно-
шение В’гО- равно коэффициенту подобия
BU
обеих фигур). Точка О совпадёт, таким
образом, со своей соответственной.
Вследствие этого все треугольники,
Черт. 155. такие как треугольник ОВВ’, подобны
треугольнику Т; если теперь повернуть
фигуру F около точки О на угол, равный углу между обеими фигурами,
то она будет гомотетичной фигуре г’, при этом точка О будет центром
гомотетии.

примем за точку А точку О,
то точка В0 совпадёт с точкой В\ так что треугольник ОВВ1 будет подобен
треугольнику Т и иметь с ним одинаковое направление вращения; существует
одна и только одна точка, удовлетворяющая этому условию *).

П р и м е ч а н и е . Оба угла АО А’ и ВОВ* должны быть равны углу
между прямыми АВ и А’В’\ следовательно, если продолжить эти последние
до точки их пересечения 7, то можно найти точку О, как точку пересечения
окружностей, описанных около треугольников AIA’ и BIB’.
150а. Теорема. Пусть PRMQ— параллелограмм, О и N—две точка,
взятие соответственно на продолжениях соседних сторон PQ и PR и
лежащие на одной прямой с вершиной М, противоположной Р (черт. 155).
Если параллелограмм PRMQ изменяется так, что длины его сторон
1) Построение этой точки указано далее (п. 152).

141

остаются постоянными (шарнирный параллелограмм), причём отрезки
РО и PN также остаются постоянными, и одна из трёх точек О, М, N
остаётся неподвижной, то две другие описывают фигуры, гомотетичные
друг другу.
Прежде всего четырёхугольник PRMQ останется параллелограммом,
если длины его сторон остаются постоянными, так как всегда имеем
PQ = RM и PR = QM. Кроме того, точки О, М, N останутся на одной
прямой. Действительно, так как эти точки в первоначальном положении
ф, игуры лежат на одной прям„оо й, то имеемM ’QR pNz=R~ j~yp’ Это равенство остаётся
справедливым при деформации, так как длины, входящие в эту пропорцию,
постоянны. Следовательно, обратно, треугольники MRN и OPN
постоянно подобны (как имеющие равные углы при R и Р, заключённые
между пропорциональными сторонами), и потому углы PNO и RNM всегда
равны между собой.
Наконец, отношение постоянно, оно равно Таким образом
теорема доказана.
На этой теореме основано устройство пантографа — прибора, предназначенного
для воспроизведения фигуры с увеличением или без увеличения
её размеров; при этом OQP, PRN, MQ и MR — твёрдые стержни, соединённые
один с другим шарнирами в точках М, Р, Q и R. Закрепляют
одну из трёх точек О, М, N; в одной из двух других точек находится карандаш;
третья точка описывает контур фигуры, которую требуется
воспроизвести.
УПРАЖНЕНИЯ.
155. Вписать в треугольник квадрат.
156. Данную точку А соединяют с произвольной точкой В окружности
с центром О. Найти геометрическое место точки пересечения прямой АВ
с биссектрисой угла АОВ.
157. На стороне ОХ данного угла XOY взята произвольная точка М,
и на отрезке ОМ, как на диаметре, построена окружность; затем построена
окружность, касающаяся первой окружности и сторон ОХ и OY. Найти
геометрическое место точки касания обеих окружностей.
158. Точка пересечения G медиан треугольника лежит на прямой,
которая соединяет центр описанного круга с точкой пересечения высот и
делит отрезок между этими точками внутренним образом в отношении 1:2
(доказать). (Показать, что эта точка G — центр гомотетии двух треугольников
ABC и А’В’С’, которые встречаются в доказательстве п. 53.)
159. Даны коэффициенты подобия трёх гомотетичных фигур, взятых
попарно. Найти отношение, в котором один из центров гомотетии делит
отрезок, соединяющий два других.
160. Даны две параллельные прямые и точка О, лежащая в их нлоско-
сти. Через эту точку проводят произвольную секущую, которая пересекает
параллельные прямые в точках А и А’. Найти геометрическое место конца
А» перпендикуляра к секущей, проведённого через точку А’ и имеющего
длину, равную О А.
161. Пусть F и F’ — две подобные (но не равные) фигуры, имеющие
противоположные направления вращения. Доказать, что можно найти две
различные фигуры F», каждая из которых симметрична с F относительно
некоторой прямой и одновременно гомотетична F’ относительно некоторой
точки, лежащей на этой прямой; в обоих случаях центр подобия будет
один и тот же, но из двух соответствующих гомотетий одна будет прямой,
другая ■— обратной.

142 ГОМОТЕТИЯ И ПОДОБИЕ.

162, На каждом из отрезков, соединяющих две соответственные точки
двух подобных фигур, имеющих одинаковое направление вращения, строят
треугольник, подобный данному треугольнику Т и имеющий с ним одинаковое
направление вращения; или делят отрезок, соединяющий эти две
точки, в постоянном отношении. Третьи вершины построенных таким образом
треугольников или точки деления образуют фигуру, подобную двум
первым (доказать).

143 ГОМОТЕТИЯ И ПОДОБИЕ.

ГОМОТЕТИЯ И ПОДОБИЕ