ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КНИГА ТРЕТЬЯ. ПОДОБИЕ. ГЛАВА IV. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ В КРУГЕ. РАДИКАЛЬНАЯ ОСЬ.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР
ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ В КРУГЕ. РАДИКАЛЬНАЯ ОСЬ
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР
Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве
131. Теорема. Если через точку А, взятую в плоскости данной
окружности, провести к этой окружности секущие, то произведение
расстояний от точки А до двух точек пересечения каждой
секущей с окружностью есть величина постоянная.
Будем различать два случая:
1°. Точка А лежит внутри окружности (черт. 137). Пусть
через эту точку проведены секущие ВАВ’ и САС. Соединим точку В
с точкой С и точку С с точкой ВТ. Треугольники АВСГ и АСВГ
подобны, как имеющие равные
углы. В самом деле, у них углы А
равны как вертикальные и /_ВГ —
= /_СГ, так как оба измеряются
половиной дуги ВС. Пропорциональность сторон даёт = АВ АС’
АС Ап’
откуда, приравняв произведение крайних произведению средних,
имеем:
АВ • АВ’ = АС • АС.
2°. Точка А лежит вне окружности (черт. 138). Пусть ABBf
и АСС — две секущие, проходящие через эту точку. Соединим снова
точки С и В\ В и С. Треугольники ABC и АСВГ опять подобны,
как имеющие равные углы. В самом деле, у них угол А — общий и
£Br— LC\ так как оба измеряются половиной дуги ВС. Пропор-
циональность сторон даёт, как и выше: -г^ А=В АС’ АС АВ’ откуда следует доказываемое
предложение.
128 ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ В КРУГЕ. РАДИКАЛЬНАЯ ОСЬ.
131а. Обратная теорема. Если на двух прямых ВАВТ и
С АС’, проходящих через точку А (черт. 139), взять такие четыре
точки В, В’, С, С, что произведение АВ • АВ’ равно произведению
АС • АС (причём точка А либо лежит на продолжении обоих отрезков
ВВГ и СС, либо лежит на самих отрезках), то эти
четыре точки лежат на одной окружности.
В самом деле, три точки В, С, С’, не лежащие
на одной прямой, определяют окружность,
и эта окружность пересекает прямую
ВАВГ в некоторой точке В[, так что
АВ • АВ[ = АС • АС. Сравнение этого равенства
с условием теоремы АС • АС —АВ • АВ’
показывает, что АВ[ = АВ’. Следовательно,
точка В[ совпадает с точкой В’.
132. Теорема. Если через точку, лежащую
вне окружности, провести касательную
и секущую, то касательная есть средняя пропорциональная
между всей секущей и её внешней частью.
между всей секущей и её внешней частью.
В самом деле, пусть АВВ’—секущая, АТ—касательная (черт. 140).
Следует повторить без всякого изменения доказательство теоремы
п. 131 (2°), заменив лишь
две буквы С и С’ буквой Т.
Мы имеем в данном случае
также пример того, что
касательная (п. 67) должна
рассматриваться как прямая,
имеющая с окружностью две
общие точки, слившиеся в
точке касания.
Обратная теорема.
Если отложить на прямой
АВВ’ от точки А в
одном направлении отрезки АВ и АВ’ и на другой прямой,
выходящей из той же точки А, отрезок АТ, представляющий
собой среднее пропорциональное между АВ и АВ’, то три точки
В, В’, Т лежат на окружности, касающейся прямой АТ в точке Т.
В самом деле, окружность ВВ’Тимеет с прямой АТ общую точку Т\
если бы она имела ещё одну общую точку V (черт. 141), то имело бы
место (п. 131) равенство:
АВ • АВ’ — АТ • АТ’.
Это равенство при сравнении с условием АВ • АВ’ = АТ* показывает,
что точка Т’ необходимо совпадёт с точкой Т.
133. Определение. Степенью точки А относительно окружности
называется произведение отрезков какой-либо секущей, выходящей
из этой точки, считая отрезки от точки А до точек пересечения
129 ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ В КРУГЕ. РАДИКАЛЬНАЯ ОСЬ.
с окружностью (произведение это согласно п. 131 не зависит от
направления секущей); это произведение берётся со знаком если
точка А лежит вне окружности, и со знаком —, если она лежит внутри
окружности.
Если точка лежит вне окружности, то степень точки равна квадрату
касательной, проведённой через эту точку..
134. Степень точки А относительно окружности с центром О
равна разности квадратов расстояния О А и радиуса.
В самом деле, примем за секущую АВВ’ прямую О А. Отрезки АВ
и АВГ представляют собой: один сумму, другой разность отрезка О А
и радиуса; их произведение,
следовательно, равно разности
квадратов этих двух величин.
Если принять во внимание
знак степени, то степень всегда
равна d2 — R2 (где d — рас-
Т стояние ОА, R— радиус).
135. Если две окружности
пересекаются под прямым
углом, то квадрат радиуса
каждой из них равен степени
её центра относительно другой окружности, и обратно.
Если окружности О и О’ (черт. 142) пересекаются в точке Д под
прямым углом, то касательная к окружности Ог в этой точке есть О А
и степень точки О относительно окружности О’ равна О А2.
Обратно, если степень точки О относительно окружности Ог равна
О А2, то О А — касательная к окружности
и обе окружности ортогональны.
136. Геометрическое место точек,
имеющих одну и ту же степень
относительно двух данных окружностей,
есть прямая, перпендикулярная
к линии центров.
Эта прямая называется радикальной
осью двух окружностей.
Пусть даны две окружности сцентра-
ми О и Ог (черт. 143) и радиусами R и Rr.
Если точка М имеет одну и ту же степень относительно этих двух
окружностей, то мы имеем: ОМ*—R* = OrM2 — Rr*\ это равенство
можно переписать в виде ОМ2 — OrM* = R2 — R’2, откуда и следует
(п. 128а) заключение теоремы.
Согласно п. 128а расстояние между точкой пересечения Н радикальной
оси с линией центров и серединой D расстояния между центрами
даётся формулой: 2DH • OOr — R* — R’2.
П р и м е ч а н и я : I. Предыдущее доказательство справедливо, если
одна из окружностей имеет радиус, равный нулю, и, следовательно,
130 ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ В КРУГЕ. РАДИКАЛЬНАЯ ОСЬ.
обращается в свой центр. Таким образом, геометрическое место
точек, степень которых относительно данной окружности равна
квадрату их расстояния до данной точки, есть прямая, перпендикулярная
к прямой, соединяющей данную точку с центром окружности.
Эту прямую можно
назвать радикальной осью
окружности и точки.
II. Две концентрические
окружности не имеют
радикальной оси1).
III. Разность степеней
какой-либо точки
относительно двух окружностей
равнаудвоен-
ному произведению рас-
стояния этой точки до
радикальной оси и рас-
стояния между центрами (черт. 143).
. В самом деле, пусть N— заданная точка, п — её проекция на 00′.
Разность степеней этой точки относительно обеих окружностей будет:
ON2 — /?2 — (OW2 — Я’2) = 07V2 —
— 07V’2 — (/?2 — /Г2).
Но мы имеем:
ON2 — OW2 = 2Dn • OOr
и R* — R’* = 2DH- 00\
откуда, вычитая, получаем:
ON2 — OW2 — (/?2 — /?’2) =
= 2Нп • ООг.
137. Если две окружности пересекаются,
то радикальной осью
служит прямая, соединяющая точки
пересечения.
В самом деле, понятно, что лю-
Черт. 144.
бая точка прямой АВ (черт. 144)
принадлежит геометрическому месту точек, имеющих одну и ту же
степень относительно обеих окружностей. Обратно, из предыдущего
вытекает, что любая точка М этого геометрического места принадлежит
прямой АВ. Это можно усмотреть и непосредственно,
если соединить точку М с точкой А: если бы эта прямая пересекла
х) Радикальную ось двух концентрических окружностей можно рассматривать
как лежащую в бесконечности. Действительно, если при постоянной
разности R2—R’2 точки О и О’ неограниченно приближаются друг
к другу, то длина отрезка DH обращается в бесконечность.
131 ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ В КРУГЕ. РАДИКАЛЬНАЯ ОСЬ.
обе окружности в двух новых, различных между собой точках В’
и В[, то обе степени МА • MB’ и МА • МВ[ были бы различны.
Точно так же, если две окружности касаются друг друга, то
радикальная ось есть их общая касательная.
138. Радикальная ось двух окружностей (по крайней мере
часть этой оси, внешняя относительно обеих окружностей) есть
геометрическое место центров окружностей, которые пересекают
две данные окружности под прямым углом.
Действительно, центр одной из таких окружностей имеет одну и
ту же степень относительно двух данных окружностей, а именно
квадрат радиуса окружности.
Радикальная ось делит общую касательную на две равные
части.
139. Теорема. Радикальные оси трёх окружностей, взятых
попарно, пересекаются в одной и той же точке или параллельны.
Действительно, точка пересечения двух из трёх радикальных осей
имеет одну и ту же степень относительно трёх окружностей; следовательно,
она принадлежит и третьей радикальной оси. Эта точка
называется радикальным центром трёх окружностей. Если это —
внешняя точка, то она служит центром окружности, которая пересекает
все три окружности под прямым углом.
П р и м е ч а н и е . Если две радикальные оси совпадают, то предыдущее
рассуждение доказывает, что третья совпадает с первыми.
Три окружности имеют одну и ту же радикальную ось. Каждая
окружность, ортогональная к двум из трёх данных окружностей,
ортогональна и к третьей.
УПРАЖНЕНИЯ.
148. В плоскости даны: окружность и две точки А и В; через точку А
проводят различные секущие ANM, которые пересекают окружность
в точках М и N.
Доказать, что окружность, проходящая через точки М и N и точку В,
проходит через другую неподвижную точку.
149. Геометрическое место точек, отношение степеней которых относительно
данных двух окружностей равно данному числу, есть окружность,
которая с двумя первыми окружностями имеет одну и ту же радикальную
ось (доказать). Вывести отсюда геометрическое место точек упражнения 128.
150. Параллельно стороне ВС треугольника проведена секущая DE,
которая пересекает сторону АВ в точке D и сторону АС — в точке Е.
Показать, что радикальной осью двух окружностей, диаметрами которых
служат соответственно BE и CD, всегда является высота треугольника АВСУ
проведённая через точку А.
151. Пусть D и D’—две точки на стороне ВС треугольника, Е и Е’—
две точки на стороне СА} F и F — две точки на стороне АВ. Если известно,
что существуют окружность, проходящая через точки D, D\ Е, Е\
окружность, проходящая через точки Е, Е\ F, F’f и окружность, проходящая
через точки F, F\ D, D\ то отсюда следует, что шесть точек
D, D’, Е, Е\ F, F’ лежат на одной окружности (доказать).
152. В каком случае различные окружности, ортогональные к двум
данным окружностям О и О’, пересекают линию центров 00′? Показать,
что все они пересекают её в этом случае в одних и тех же двух точках
132 ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ В КРУГЕ. РАДИКАЛЬНАЯ ОСЬ.
(предельных точках Понселе), а именно в тех точках, которые имеют
с данными окружностями одну и ту же радикальную ось.
153. Через точки А и В проведена какая-либо окружность и через
точки С и D, лежащие на одной прямой с первыми,—другая окружность,
также произвольная. Доказать, что общая хорда этих двух окружностей
проходит через одну неподвижную точку.
154. Если радикальный центр трёх окружностей лежит внутри этих
окружностей, то он служит центром окружности, которая каждой из данных
окружностей делится на две равные части (доказать).
133 ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ В КРУГЕ. РАДИКАЛЬНАЯ ОСЬ.
Околоadmin
