ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КНИГА ТРЕТЬЯ. ПОДОБИЕ. ГЛАВА III. МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ

Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве
122. Определение. Ортогональной проекцией (или ради сокращения
просто проекцией) точки на прямую называется основание перпендикуляра,
опущенного из точки на прямую.

Проекцией отрезка на прямую называется отрезок, концами которого
служат проекции концов данного отрезка.
123. Пусть ABC (черт. 128) — прямоугольный треугольнике прямым
углом при А. Из этой вершины опустим на гипотенузу высоту AD.

Между различными элементами фигуры, таким
образом полученной, существуют некоторые
соотношения, с которыми мы теперь и
познакомимся.
Теорема. В прямоугольном треуголь-
С нике каждый из катетов есть среднее пропорциональное
между гипотенузой и его
проекцией на гипотенузу*
Так, АВ есть среднеепропорциональное между BD и ВС. Действительно,
прямоугольные треугольники ABD и ABC подобны как имеющие
общий угол при В (п. 120, примечание). Сторонам АВ и BD первого
треугольника соответствуют стороны
ВС и АВ второго, так что имеем,равенство:
BD АВ

АВ ВС или AB* = BD • ВС.
Следствие. Всякая хорда круга есть
среднее пропорциональное между диаметром
и её проекцией на диаметр,
проходящий через один из её концов
(черт. 129).

Действительно, этот диаметр и данная
хорда являются гипотенузой и катетом
одного и того же прямоугольного треугольника (п. 73, следствие II).
П р и м е ч а н и е . Подобные треугольники ABD и ADC (черт. 128,
129) дают ещё:
А££В =A D АО ЛП лс, откуда АВ • АС = ВС • AD.

*) Угол, под которым окружность видна из определённой точки, есть
угол, образованный касательными, проведёнными к этой кривой из данной
точки

121 МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Таким образом, произведение катетов прямоугольного треугольника
равно произведению гипотенузы на соответствующую высоту*
124. Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике
квадрат гипотенузы рааен сумме квадратов катетов.
Мы видели, что имеет место равенство АВ* = ВС • BD.
Та же теорема, применённая к катету АС, даёт АС*— ВС • CD.
Складывая почленно, имеем:
АВ2 + АС* = ВС (BD -f CD) = ВС*.
П р и м е ч а н и е . Эта теорема служит для вычисления какой-либо
стороны прямоугольного треугольника, если заданы две другие.
Так, например, пусть требуется вычислить гипотенузу прямоугольного
треугольника, катеты которого равны 3 м и 4 м. Единицей
длины взят метр; квадрат числа, измеряющего гипотенузу, равен
сумме квадратов чисел 3 и 4, измеряющих катеты. Эта сумма равна
числу 32-f-42 = 25, квадратный корень из которого 5; гипотенуза
будет равна 5 м.
Пусть ещё требуется вычислить один из катетов прямоугольного
треугольника, если гипотенуза равна 10 м и другой катет равен 7 м.
Квадрат искомой стороны, сложенный с 49 (=72), должен дать
100 (=102); этот квадрат, таким образом, будет равен 100 — 49 = 51.
Квадратный корень из 51 (т. е. 7,14 — с точностью до одной сотой)
даёт длину искомой стороны в метрах.
125. Теорема. В прямоугольном треугольнике перпендикуляру
опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, есть среднее
пропорциональное между двумя отрезками, на которые он рассекает
гипотенузу.
Действительно, треугольники ABD и ACD (черт. 128) подобны,
как имеющие взаимно перпендикулярные стороны. Отрезки BD, AD,
таким образом, пропорциональны отрезкам
AD, CD.

Теорема. Во всяком треугольнике:
1°. квадрат стороны, лежащей против острого угла, равен
сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения
одной из этих сторон и проекции на неё другой стороны;
2°. квадрат стороны, лежащей против тупого угла, равен сумме
квадратов двух других сторон, сложенной с удвоенным произведением
одной из этих сторон и проекции на неё другой стороны.
1°. Пусть в треугольнике ABC (черт. 130) ВС — сторона, лежащая
против острого угла А. Опустим из точки В перпендикуляр ВН на
прямую АС. Имеем (по предыдущей теореме)
ВС* = АВ2 -f С#2 — АН*.
Но так как СИ есть разность между АС и АН, то можно заменить
*) СН* через Л С2 — 2 АС • АН-\- АН*.
Таким образом, получаем:
ВС2 = АВ2 -[- АС* — 2АС • АН.
2°. Пусть в треугольнике ABC (черт. 131) ВС’
против тупого угла А. Опустим из точки В
перпендикуляр ВН на прямую АС. Имеем снова:
ВС2 = АВ2 .-f СН2 — АН*.
Так как СН—сумма отрезков АС и АН,
то можно заменить1) СН2 через АС*
+ 2АС • АН-]-АН*.
При этом получим:
ВС* = АВ* + АС* + 2АС • АН.

122 121 МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Следствие. Угол треугольника будет острым, прямым или
тупым, смотря по тому, будет ли квадрат стороны, лежащей
д против этого угла, меньше, равен или больше
суммы квадратов двух других сторон.
127. Теорема Стюарта. Если даны треугольник
ABC и на его основании точка D, лежащая
между точками В и С, то имеем равенство:

АВ* • DC + АС* • BD — AD* • ВС = ВС • DC • BD.
Опустим из точки А (черт. 132) на ВС перпендикуляр
АН и предположим для определённости,
что точка Н лежит с той же стороны от точки D, как и вершина С.
Применив обе теоремы предыдущего пункта: одну — к треугольнику
ACD, другую — к треугольнику ABD, получим:
АС* = AD* -f- DC* — 2DC • DH,
АВ* = AD* -j- BD2 + 2BD • DH.
J) Мы предполагаем здесь известными формулы, дающие квадрат суммы
или разности двух чисел: (a -f- b)2 = a2 -f-2ab -f- b2, (а — b)2 = а2 — 2ab-)rb3

123 121 МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Итак, полусумма квадратов двух сторон треугольника равна
квадрату половины третьей стороны, сложенному с квадратом
соответствующей медианы.
128а. С другой стороны, если в равенствах (п. 127)
ДС2 = AD2 -f DC* — 2DC DH, АВ2 = AD* -f BD* -j- 2BD • DH
заменить снова ВС, С А, АВ через а, Ь, с; DC и BD — через ~ и если
вычесть почленно ‘первое равенство из второго, то получим:
с* — Ъ* = 2а • DH.
Итак, разность квадратов двух сторон треугольника равна
удвоенному произведению третьей стороны и проекции на эту сторону
соответствующей медианы.
Следствие. Геометрическое место точек А, разность квадратов
расстояний которых до двух определённых точек В и С
постоянна, есть перпендикуляр к прямой ВС.
Действительно, если разность АВ* — АС2 постоянна, то проекция
Н точки А на прямую ВС есть определённая точка.
129. 2°. Биссектрисы. Обозначим теперь через AD биссектрису
угла А (черт. 134). Точка D разделит ВС пропорционально сторо

124

нам АВ и АС, так что будем иметь:
BD CD ВС a Dn ас „ ab или BD — ~т г— и CD: с Ъ Ь-\-с Ъ-\-с Ъ-\-с Ъ-\-с’
Заменим в соотношении, полученном на основании теоремы п. 127,
BD и CD их выражениями и одновременно ВС, С А, АВ — их значениями;
мы получим, разделив на а,
Ъс2 , №с _ аЪ ас
Ь-\-с 1 Ь-\-с Ь-\-с Ь-\-су
откуда
+ °2bc =frc iP + С)2 — °2
(b + cf » (b + cf *
Пусть теперь АЕ—биссектриса внешнего угла при А (черт. 134);
предположим для определённости, что АВ больше АС, так что точка Е,
которая делит внешним образом сторону ВС пропорционально сторонам
АВ и АС, лежит на продолжении стороны ВС за точку С.

Имеем:
BE СЕ ВС
или
BE = —-г- и СЕ
Ъ~~ с — Ь
ab
с — Ъ *
Мы применим теорему п. 127 к треугольнику АВЕ и к точке С,
взятой на основании BE. Заменив ВС, С А, АВ, BE и СЕ их значениями
и разделив на а, имеем:
Ъс2 , Ь2с ас аЬ
с — Ь с — b с — Ь}
откуда
л р 2 _ _a2bc Ь°2 — ЪЧ _h а2 —(с — by
~~ (с — Ь)2 с — Ъ * (с — bf *
130. 3°. Высоты. Опустим из вершины А высоту АН (черт. 135).
Из двух углов В и С по крайней мере один острый. Предположим для
определённости, что острым будет угол В. Можно применить теорему

125

п. 126 к стороне АС = Ь, лежащей против этого угла, и записать;
Ь* = а*-\-с* — 2а • ВН
или
’ 4- с2 — Ъ2
ВН- 2 а
Но из прямоугольного треугольника АНВ имеем:
АН* = с* — ВН* = с*— (а2 + с2-£2)2
4а2
Это равенство, правая часть которого есть разность двух квадратов,
может быть записано в виде:
АН* — а2 4- с2 — Ъ2 \ I , а2 4- с2 — I
— 1 с 4- 2 а ) \ 1 2 а
_ (2а с — а 2 — с 2 —|— Ъ 2 ) ( 2 а с а 2 — \ — с 2 — b 2) _
4а2
[Ь2 _ (а — с)2 ] [(а + с)2 — b2]
— 4а2
Но каждый из множителей в числителе правой части представляет
собой разность квадратов. Следовательно, предыдущая формула может
быть записана ещё так:
_ { Ъ — а — \ — с ) ( Ь ^ а — с ) ( а — \ — с — Ь ) ( а b с )
4а2
Если обозначить через р половину периметра треугольника, так
что a b -(- с — 2/7, то величины bс — а, с-\~а — Ь, а-\-Ь — с
будут соответственно равны 2р— 2а, 2р — 2Ь, 2р — 2с и
АН* = Ар(р~~а^ (Р ~~ ь№ — с)
а2
Если, с другой стороны, выполнить умножение [(а-^\-с)*— Ь*] X
X — (а — 02]> т0 можно записать:
АН2=i[4a2fi2 ~ (fl2 +с2 ~ *2)2] = +
+ 2с2а2 + 2а2Ь2 — а^ — Ы~ с4).
130а. Теорема. Произведение двух сторон треугольника равно
произведению высоты, опущенной на третью
сторону, и диаметра описанного круга

В треугольнике ЛЯС (черт. 136) пусть
Л//—высота, опущенная из вершины Л,
АЛ’— диаметр описанного круга. Треугольники
АНС и АВА’ — прямоугольные, один
с прямым углом при вершине И, другой с
прямым углом при вершине В; они имеют по
равному острому углу (/тАг=£Су как опи
, рающиеся на одну и ту же дугу АВ)\ следова-

126

тельно, эти треугольники подобны и дают:
или лв ■ АС=АН ■ АА’-
Пользуясь найденным выше значением отрезка АН, можно получить
из этой теоремы следующее выражение для радиуса описанной
окружности R:
п АА Ъс аЪс
К -— —2 = *; 2АН 4 у р(р — я) (р — ьцр — с)

УПРАЖНЕНИЯ.

135. Произведение отрезков, отсекаемых подвижной касательной к кругу
на двух параллельных касательных к тому же кругу, есть величина постоянная
(доказать).
136. Обратная величина квадрата высоты прямоугольного треугольника
равна сумме обратных величин квадратов катетов (доказать).
137. Найти отношение суммы квадратов медиан треугольника к сумме
квадратов его сторон.
138. Разность между суммой квадратов расстояний произвольной точки
плоскости до двух противоположных вершин параллелограмма и суммой
квадратов расстояний той же точки до двух других его вершин есть величина
постоянная (доказать). Рассмотреть случай прямоугольника.
139. Сумма квадратов четырёх сторон четырёхугольника равна сумме
квадратов его диагоналей, сложенной с учетверённым квадратом отрезка,
соединяющего середины диагоналей (доказать).
140. Если А, Ву С-—вершины треугольника, G— точка пересечения
медиан, М-—произвольная точка плоскости, то имеем:
МА2 + MB2 + МС2 = GA2 + GB2 -f GC2 + ЗАШ2
(доказать).
141. Найти геометрическое место точек, квадраты расстояний которых
до двух постоянных точек, соответственно умноженные на данные числа,
имеют данную сумму или разность. Доказать этим путём теорему п. 116.
142. Найти геометрическое место точек, квадраты расстояний которых
до трёх данных точек, соответственно умноженные на три данных числа,
имеют постоянную сумму. Рассмотреть ту же задачу для случая, когда
вместо трёх точек дано произвольное число точек.
143. Квадрат биссектрисы угла треугольника равен произведению сторон,
её заключающих, уменьшенному на произведение отрезков, на которые
она рассекает третью сторону (доказать).
Сформулировать и доказать аналогичную теорему для биссектрисы
внешнего угла*
144* Из формул для медианы и для биссектрисы (пп. 128, 129) вывести
неравенства, указанные в упражнениях 11 и 18.
145. Если медиана треугольника есть среднее пропорциональное между
сторонами b я с, которые ее заключают, то квадрат, построенный на разности
этих сторон, имеет своей диагональю третью сторону треугольника.
146. Через внутреннюю точку круга проведены под прямым углом две
хорды. Доказать, что сумма квадратов двух противоположных сторон четырёхугольника,
вершинами которого служат концы этих хорд, равна квадрату
диаметра.

127 МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

147. Произведение расстояний любой точки окружности до двух противоположных
сторон четырёхугольника, вписанного в эту окружность, равно
произведению расстояний этой же точки до двух других сторон или до
двух диагоналей (доказать).
Как изменится формулировка этой теоремы, если две противоположные
стороны обратятся в касательные?

128 МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ