ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КНИГА ТРЕТЬЯ. ПОДОБИЕ. ГЛАВА 2. ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве
117. Определение. Два треугольника называются подобными,
когда они имеют равные углы и их соответственные стороны пропорциональны.
П р и м е ч а н и е . Два равных треугольника тем самым подобны.
Два треугольника, подобные одному и тому же третьему, подобны
между собой; в частности, если два треугольника подобны, то любой
треугольник, равный первому, подобен второму.
Лемма. Всякая прямая, параллельная одной из сторон треугольника,
образует с двумя другими его сторонами треугольник,
подобный первому.
Пусть DE — прямая, параллельная стороне ВС треугольника ABC
(черт. 123). Я утверждаю, что новый треугольник ADE подобен
треугольнику ABC.

116 ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Прежде всего углы обоих треугольников попарно равны, так как
угол при вершине А — общий, и углы D и В, Е и С равны как
соответственные.
Во-вторых, мы имеем (п. 114):
AD АЕ
— и нам остаётся только
АВ АС
доказать, что общее значение этих двух отношений равно значению
отношения 77D7Es.
Для этого проводим через точку D прямую DF , параллельную
АС, так, чтобы получить параллелограмм DECF.
Прямая DF делит стороны В А и ВС на пропорциональные части;
следовательно, имеем:
DE
ВС’
FC
‘ВС’
АР
: АВ *
П р и м е ч а н и е . Прямая DE может быть внутренней по отношению
к треугольнику (черт. 123) или внешней (черт. 124 и 125), что
не изменяет доказательства.

Однако в случае, данном на чертеже 125, необщие углы обоих
треугольников, лежащие против соответственных сторон, равны между
собой не как соответственные, а как внутренние накрестлежащие.
118. Следующие предложения, известные под названием признаков
подобия треугольников, дают необходимые и достаточные условия
для того, чтобы два треугольника были подобны.
Первый признак подобия. Два треугольника подобны, если
они имеют по два угла, соответственно равных друг другу.
Пусть ABC и АГВГС—треугольники, в которых А= ^ Аг и
Бг (черт. 126). Я откладываю на АВ отрезок AD = AFBr и
провожу через точку D параллель DE к стороне ВС. Треугольник
ADE подобен ABC (по предыдущей лемме); .кроме того, он равен
АГВГСГ, как имеющий с ним соответственно равные углы и равную
сторону.
Второй признак подобия. Два треугольника подобны, если
они имеют по равному углу, заключённому между пропорциональными
сторонами.

117 ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Пусть ABC и А1 В1 С — треугольники, у которых А= /яАг и
АВ А’В1
’АС===АГС’ (чеРт* 1^6). Отложим на стороне АВ отрезок AD = АГВГ
и проведём параллель DE к стороне ВС. Треугольник ADE подобен
треугольнику ABC. Он равен треугольнику АГВГС\ как имеющий с
ним равный угол А — Аг), заключённый между соответственно
равными сторонами. Действительно, AD равна АГВГ по построению, и
из двух пропорций АВ А’В’ АВ AD — = —(условие) и = ^, имеющих по
три общих члена, следует, что АГСГ = АЕ.
Третий признак подобия. Два треугольника подобны, если три
стороны одного пропорциональны сторонам другого.

Пусть ABC и АТВТСТ — треугольники, в которых АВ АС ВС /\ lj Л и Jd С/
Отложим на АВ отрезок AD = ArBr и проведём параллель DE к стороне
ВС. Треугольник ADE, подобный треугольнику ABC, равен треугольнику
АВТС\ так как их стороны соответственно равны; действи-
тельно, AD — ArBr по построению, а из пропорций —- = —- и АВ АС /\LJ /\ Lj
= (предыдущий пункт), имеющих по три равных члена соответ-
AL/ LJCj
ственно с пропорциями, данными в условии теоремы: АВ АС и
Ш’ = Ш» следУет> чт0 АЕ = АгС И DE=B’C’.
П р и м е ч а н и е . Определение подобных треугольников содержит
пять условий: три выражаются равенством соответственных углов,
два — пропорциональностью сторон.
Следствие III п. 44 показывает, что можно опустить одно из трёх,
первых условий, что сводит общее число условий к четырём.
Но признаки подобия, которые мы рассматривали, позволяют заключить,
что достаточно двух (надлежащим образом выбранных) условий
из числа пяти первоначальных.
119. Теорема. Два треугольника, стороны которых соответственно
параллельны или перпендикулярны, подобны.
Действительно, в данном случае углы обоих треугольников соответственно
или равны, или пополнительны (п. 43), так что (если ABC и

118 ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

А’В’С — данные треугольники) имеем:
А = А! или A-\-A’ = 2d,
В = ВГ или В — Br = 2d,
С—С’ или С — Сг= 2d.
Три равенства второго столбца не могут быть одновременно верны,
иначе общая сумма углов в двух треугольниках была бы равна шести
прямым, а не четырём. Два из тех же равенств также не могут существовать
одновременно; например, нельзя иметь в одно и то же время
А-\-А’= 2d и В В ‘ — 2d, так как в таком случае общая сумма углов
равнялась бы 4d -|- С -f- С’. Следует поэтому взять по крайней мере
два равенства из первого столбца, и таким образом треугольники
имеют по два соответственно равных угла (первый признак подобия).
120. Теорема. Два прямоугольных треугольника подобны,
если отношение одного из катетов к гипотенузе одно и то же
в обоих треугольниках.
Действительно, мы можем поступить как в п. 118 и построить
третий треугольник, подобный первому и имеющий ту же гипотенузу,
что и второй. Второй и третий треугольники имеют, таким
образом, ещё и по равному катету и будут равны по второму признаку
равенства прямоугольных треугольников.
П р и м е ч а н и е . Кроме этого признака подобия можно, конечно,
применять к прямоугольным треугольникам признаки подобия произвольных
треугольников. Например, два
прямоугольных треугольника подобны,
если они имеют по равному острому углу
(первый признак подобия произвольных
треугольников) или если их катеты пропорциональны
(второй признак подобия
треугольников).
121. Теорема. Пучок прямых, проходящих
через одну точку, отсекает
на двух параллельных прямых пропорциональные
отрезки.
Пусть, например, SAA\ SBBr, SCCr
(черт. 127) — три прямые, проходящие
через одну точку, которые пересекают обе параллельные прямые ABC
и А’В’С.

Из подобия треугольников SAB и SA’Br (п. 117) имеем:
А’В’ SBr
АВ ~SB ’
и из подобных треугольников SBC и SB’C’:
В’С’ _ SB’
ВС ~~SB ’
откуда следует пропорциональность отрезков А!ВТ и В’С отрезкам
АВ и ВС.

119 ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

П р и м е ч а н и е . Каждые два отрезка, соответствующие друг
другу, направлены либо в одну и ту же сторону, либо в противоположные
стороны, в зависимости от того, лежит ли точка 5 вне
обеих параллельных прямых или между ними.
Обратная теорема. Если три прямые отсекают на двух
параллельных прямых пропорциональные отрезки (причём каждые
два соответственных отрезка направлены в одну и туже сторону
или каждые два соответственных отрезка направлены в противоположные
стороны), то эти три прямые либо проходят через одну
точку, либо параллельны между собой.
Если отрезки соответственно равны и направлены в одну сторону,
то прямые параллельны (п. 46, вторая обратная теорема).
Итак, пусть ААТ,ВВ\ ССГ — прямые, которые отсекают на параллельных
ABC и А!ВГСГ пропорциональные отрезки, так что имеют
место равенства
А’В1 В’С’ А’С’
АВ — ВС — АС 9
причём если отрезки обеих прямых направлены в одну сторону, то
общее значение трёх отношений отлично от 1. Это ограничение делает
невозможным (п. 46) параллельность прямых А Аг и ВВГ\ следовательно,
они пересекаются в некоторой точке 5.
Соединив затем 5 с С, мы видим, что эта прямая пересечёт прямую
АГВГСГ в точке СI, которая обязательно совпадает с С’, так
как имеем:
AfC’ АС АГСГ
— О10 предыдущей теореме) = (по условию).
УПРАЖНЕНИЯ.
129. Через точку пересечения диагоналей трапеции проводят, прямую,
параллельную основаниям. Доказать, что непараллельные стороны и точка
пересечения диагоналей определяют на этой прямой два равных отрезка.
130. Пусть а = АВ, b = CD — основания трапеции ABDC. Одну из её непа-
ЕА т „ раллельных сторон делят в отношении — и проводят через точку t
ьи TL
прямую, параллельную основаниям. Доказать, что отрезок этой параллели,
.. т • CD 4- п • АВ заключенный внутри трапеции, равен ———— т-\-п——— .Рассмотреть случаи,
когда Е — середина стороны АС.
131. Если из вершин треугольника и точки пересечения медиан
опустить перпендикуляры на прямую, лежащую вне треугольника, то последний
из этих перпендикуляров есть среднее арифметическое трёх первых
(см. предыдущее упражнение).
132. Через вершину А параллелограмма ABCD проводят произвольную
секущую, которая пересекает Диагональ BD в точке Е и прямые ВС и
CD — в точках F и G. Доказать, что АЕ есть среднее пропорциональное
между EF и EG.

120 ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Околоadmin