ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КНИГА ТРЕТЬЯ. ПОДОБИЕ. ГЛАВА I. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ

Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве
105. Известо, что пропорцией называется равенство двух отношений
и что две величины называются пропорциональными, если их
значения соответствуют друг другу таким образом, что отношение
двух каких-либо значений первой равно отношению соответствующих
значений второй. Так, два отрезка АВ, CD называются пропорциональными
отрезкам ArBr, CD\ если имеет место равенство
АВ ___А’В’
CD — СП *
106. В предыдущем равенстве обозАнВачает отношение двух
отрезков АВ и CD; однако мы будем применять здесь и в дальнейшем
соглашение, установленное в п. 18, и, выбрав произвольного раз навсегда
единицу длины, заменим самые отрезки числами, которые
их измеряют: таки*м образомА, Во значает ‘ мера АВ мера qq* Мы имеем право
так поступить, так как такой заменой мы отнюдь не изменили величины
отношения, что следует из приведённой уже теоремы (п. 17, 2°).
Мы можем применять вследствие этого к отношению отрезков
свойства, доказываемые в курсах арифметики для отношения чисел,
как, например, следующие:
Отношение не изменяется, если умножить или разделить оба
его члена на одно и то же число.
Чтобы перемножить два отношения, перемножают их предыдущие
и их последующие члены.
В ряде равных отношений сумма предыдущих членов так относится
к сумме последующих, как один из предыдущих относится
к своему последующему.
Точно так же к пропорциям, составленным из отрезков, мы сможем
применять свойства пропорций, составленных из чисел, как, например,
следующие:
В каждой пропорции:
1) произведение крайних членов равно произведению средних;
2) можно переставить крайние или средние члены;
3) сумма (или разность) членов первого отношения относится
к одному из них как сумма (или разность) членов второго отношения
к соответствующему члену второго отношения.

107 ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Обратно, каждое из равенств, полученных таким образом,
мечет за собой первоначальную пропорцию.
гг, ас 1ак, равенство — эквивалентно следующим:
ad=bc,± = ±; a-±-b = c с d ’ b -±*; d ’ Ь
т. е. каждое из этих равенств влечёт за собой все остальные.
В частности, если известно, что три точки прямой А, В, С
(черт. 113) следуют одна за другой в том же порядке, как три
точки прямой А’, В’, С’, то
Л В С
—I—— 1——— 1— пропорции
АВ А’В’ АВ А’В’
д’ В’ С’ ВС В’С» АС~~А’С’’
* + ———————————— 1————————— АС _ А С
Черт. 113. вс в’с>
эквивалентны друг другу.
Напомним также, что зная три члена пропорции, можно
найти неизвестный член: пропорция ~ = ~ даёт, если предположить,
что известны а, b и с:
^ Ь • с
а *
Этот член d называется четвёртым пропорциональным к количествам
а, Ь> с.
Очевидно, что в двух пропорциях, у которых три соответствующих
члена общие, четвёртые члены равны между собой.
107. Говорят, что число b есть среднее пропорциональное (или
среднее геометрическое) между двумя другими числами а и с, если
можно написать пропорцию, у которой крайние члены равны а и с, а
оба средних члена равны Ь:
а __ b
b с *
Это равенство эквивалентно следующему:
№ = ас,
так что для того, чтобы найти среднее пропорциональное между
двумя числами а и с, нужно извлечь квадратный корень из произведения
этих двух чисел. Число с называется иногда третьим пропорциональным
к числам а и Ь.
Разумеется, согласно предыдущим условиям мы скажем, что
отрезок b есть среднее пропорциональное или среднее геометрическое
между двумя другими отрезками а и с, если число, измеряющее
b, есть среднее пропорциональное между числами, измеряющими
отрезки а и с, т. е. если из трёх чисел (или, что то же самое, из

108 ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

трёх отрезков) можно составить пропорцию:
а Ь
b с *
108. Существует точка, и притом только одна, которая делит
данный отрезок в данном отношении.
X д MB Mf М, X
Черт. 114.
В самом деле, пусть даны: отрезок Л5 (черт. 114) и отношение г.
Надо найти такую точку Ж, чтобы ^~=г, это равенство можно написать
в виде пропорции:
АМ_ г
МВ~ 1 ’
а эта пропорция эквивалентна пропорции:
AM г
АВ — 1 + г’
которая верна для одного и только одного значения AM:
АМ — АВ • 1r-+f-г.
Определённый, таким образом, отрезок меньше АВ. Откладывая
его на АВ от точки А, получим точку М, удовлетворяющую данному
условию.
109. Рассмотрим точку М, которая перемещается по отрезку АВ
от точки А к точке В. Отношение всё время возрастает, так
как возрастает числитель, в то время как знаменатель убывает. Это
отношение согласно предыдущему предложению может принять вообще
любое данное значение, в частности сколь угодно малое (если
точка М достаточно близка к Л) и сколь угодно большое (если
точка М достаточно близка к В). Короче говоря, это отношение,
начиная от 0, всё время возрастает и притом неограниченно, если
точка М перемещается из А в В.
АМ]
110. Изучим теперь отношение когда точка М! (черт. 114)
находится на продолжении отрезка АВ. Отношение АМ* называется
при этом отношением, в котором точка Мг делит отрезок АВ внешним
образом.
Существует точка, и притом только одна, которая делит
внешним образом данный отрезок в данном отношении, при условии,
что это отношение отлично от 1.

109 ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

В самом деле, пусть требуется найти на продолжении АВ такую
точку М\ для которой отношение было бы равно какому-либо
данному числу г. Предположим для определённости, что r^> 1; в данном
случае мы должны искать точку Мг на продолжении отрезка АВ
за точку В. Пропорция AM1 —т у эквивалентна пропорции
AM г
АВ — г—Г
которой удовлетворяет одно и только’ одно значение AM!:
AM’ = АВ • jrzn ■
Этот отрезок больше АВ (^так как больше 1 j. Откладывая его
от точки А в направлении АВ, мы получим точку NV, которая отвечает
условию вопроса. Если бы отношение г было меньше 1, то аналогичное
рассуждение дало бы
АМ’ = АВ.^-г-
отрезок, который, будучи отложен от точки А в направлении, противоположном
направлению отрезка АВ, даёт точку М\ Предложение,
таким образом, доказано.
Рассмотрим точку М\ которая, выходя из точки В, беспредельно
АМ]
удаляется в направлении ВХ (черт. 114). Отношение больше 1.
Если точка, удаляясь, переходит из положения № в положение М[у
то эго отношение приближается к 1, так как мы переходим от от-
ношения кА оМтн ошению АМ[ при*оавляя одну и ту же величину
МГМ[ к обоим членам. К тому же это отношение может принимать
все значения (большие 1), в частности сколь угодно большие значения
(если точка Мг достаточно близка к В) и значения, сколь угодно
близкие к 1 (если точка М1 достаточно удалена).
Короче говоря, отношение начиная с бесконечности, всё
время уменьшается и стремится к 1, если точка М движется
от точки В и неограниченно удаляется в направлении ВХ.
Точно так же мы убедимся, что если точка МТ движется
от А и неограниченно удаляется в направлении АХ (черт. 114),
то отношение АМначиная от нуля, все время возрастает и
стремится к 1.
111. Определение. Две точки С и D (черт. 115), которые делят,
одна внутренним образом, другая внешним образом, один и тот же
отрезок АВ в одном и том же отношении, называются гармони

110

чески сопряжёнными относительно концов этого отрезка (говорят
ещё, что они делят гармонически этот отрезок).
Если отрезок CD be лит гармонически отрезок АВ, то и обратно,
последний отрезок делит гармонически первый, так как
из пропорции СА DA — перестановкой средних членов получается:
СА СВ
DA DB *
Любая точка, взятая на данном отрезке АВ или на одном из его
продолжений, имеет гармонически сопряжённую точку относительно
концов данного отрезка, за исключением середины I отрезка АВ
(так как отношение равнAо I1)1).
Два отрезка, которые делят друг друга гармонически, частично
заходят друг на друга (это значит, что ни один из двух
отрезков не лежит целиком ни внутри, ни вне другого),
I —I— t-—t
с ’ С В D D9
Черт. 115.
112. Напротив, два отрезка CD, CD\ которые делят гармонически
один и тот же третий отрезок АВ, лежат целиком
либо один вне другого, либо один внутри другого.
В самом деле, если отношения ^ и таСк оАв ыС, *ч Ато одно из
них больше 1, другое меньше 1, то отрезки CD, CDr являются
внешними один относительно другого: они расположены по разные
стороны от середины / отрезка АВ. Если это не так (черт. 115) и если,
например, оба отношения, о которых мы только что говорили,
больше 1, то оба отрезка CD и CD1 лежат по одну сторону от
точки I и оба содержат точку В. Но рассуждения пп. 109—110 доказывают,
что отношение приближается к 1, если удаляться от
точки В в том или ином направлении (по крайней мере не переходя
через точку /). Следовательно, тот из двух отрезков, который соответствует
отношению, более близкому к 1, содержит второй отрезок
внутри себя.
113. Основная теорема. Любые две секущие рассекаются
параллельными прямыми на пропорциональные части.
*) Точку, гармонически сопряжённую с точкой /, следует рассматривать
как удалившуюся в бесконечность. Под этими словами мы понимаем, что
AM , AI отношение стремится к 1, т. е. к значению —, если точка М неограниченно
удаляется.

111

Пусть ABCD и ArBrCrDr — две секущие, пересечённые параллельными
прямыми АА\ ВВ\ СС\ DD\ Точки А\ В\ С\ D1 следуют
друг за другом в том же порядке, как и точки А, В, С, D (в противном
случае две из прямых АА\ ВВ\ СС\ DD’ пересекались бы).
CD CfD’ Я утверждаю, что имеет место равенство
Мы будем различать два случая:
1°. Если отрезки АВ и CD равны между собой (черт. 116),
то отрезки А!В1 и CDf также равны между собой.
Действительно, проведём через точку В прямую ВЬ, параллельную
AfB\ до её пересечения с AN в точке b, а через точку D — пря-

мую Dd, параллельную той
же прямой, до её пересечения
с СС в точке d.
Если AB — CD, то два треугольника
АВЬ и CDd равны
между собой, так как стороны
АВ и CD равны между
собой и углы того и другого
треугольника, примыкающие
к этим сторонам,
также равны друг другу как
соответственные;следовательно,
имеем: Bb — Dd. Но ВЬ и Dd соответственно равны А’В1
и CD\ как это видно из параллелограммов BbAfB! и DdCD\
2°. Общий случай *). Пусть А, В, С, D — произвольные точки;
докажем, что значения обоих отношений —C D иC fD-*^у, взятые с точностью
до ~, равны, каково бы ни было п.
Пусть, например, п — Ъ\ разделим АВ на пять равных частей точками
1, 2, 3, 4 (черт. 117) и предположим, что пятая часть отрезка
АВ содержится в отрезке CD больше, чем 2 раза, но меньше, чем
Зраза; пусть 1,11, III—конечные точки трёх отрезков, равных пятой
части АВ и последовательно отложенных на прямой CD от точки С,
так что точки I и II лежат между С и D (точка II может совпасть
также с D), точка III—по ту сторону точки D.
х) Доказательство может считаться законченным, если опираться на
следующую теорему, которую мы уже приводили: две величины пропорциональны,
если: 1) одному и тому же значению первой соответствует всегда
одно и то же значение второй и 2) сумме двух значений первой величины
соответствует сумма двух соответствующих значений второй.
Первое условие в данном случае выполняется, как это доказано в
тексте (1°), второе условие, очевидно, также выполняется в силу того,
что соответственные точки следуют на прямых ABCD и A’B’C’D’ в одном
и том же порядке. В тексте мы воспроизводим доказательство общей
теоремы, применяя это доказательство к данному случаю.

112

Через все эти точки 1, 2, 3, 4, I, II, III проводим прямые, параллельные
прямым АА\ ВВ\ СС\ DD1 до пересечения в точках Г, 2\
Зг, 4Г, Г, IF, IIF с прямой ArBrC!Dr. Мы разделили, таким образом,
отрезок АГВ’ на пять равных частей и отложили три раза одну из
этих частей от точки С1 в направлении CD1 (1°). Точки /г, IF находятся
в интервале CD\ а точка IIF — по ту сторону точки D1

(в силу замечания, сделанного в самом начале доказательства). Теорема
доказана.
114. Теорема. Прямая DE, параллельная одной из
треугольника ABC, делит две другие стороны АВ
на пропорциональные части (черт. 118).
Действительно, если мы проведём через
вершину А прямую XV, параллельную ВС, то
согласно предыдущей теореме параллельные
ВС, DE, XY делят секущие АВ, АС на
пропорциональные части.
П р и м е ч а н и е . Прямая, о которой идёт
речь, может делить каждую из сторон треугольника
внутренним образом или внешним
образом; однако она делит обе стороны
треугольника одинаковым образом.

113

Обратная теорема. Если прямая делит две стороны треугольника
на пропорциональные части, то она параллельна третьей
стороне.
Пусть DE — прямая, которая делит стороны АВ и АС на пропорциональные
части (черт. 119).
Проведём через точку D прямую, параллельную ВС, и пусть Ег —
точка, где эта параллельная пересекает АС. Отношение равно АЕ’
отношению ^a (dпо предыдущей теореме) и, следовательно, отноше-

АЕ нию..-=г^ (по условию). Следовательно, точки Е и Ег совпадают ь С/
(п. 108), и прямая DE параллельна ВС.
115. Теорема. Во всяком треугольнике:
1°. биссектриса любого угла делит противоположную сторону
на части, пропорциональные прилежащим сторонам;
2°. биссектриса внешнего угла делит противоположную сторону
внешним образом на две части, также пропорциональные прилежащим
сторонам.

1°. Пусть AD — биссектриса угла
А треугольника ABC (черт. 120).
л Я хочу доказать, чBтDо ^ =АВ
С этой целью проведём прямую
СЕ, параллельную AD, до пересечения
в точке Е с АВ. Тогда в
треугольнике BAD, пересечённом
прямой СЕ, параллельной AD, бу-
BD_BA
DC АЕ’
Но треугольник АСЕ имеет при вершинах Е и С равные углы,
как равные соответственно двум половинам — Z 1 и Z 2 угла А
(Z. Е= Z. 1 как соответственные, как внутренние накрест-
лежащие); следовательно, этот треугольник — равнобедренный, и
в предыдущей пропор- ^
ции можно заменить ^
АЕ через АС, откуда
и следует теорема.
2°. Биссектриса AF
внешнего угла А
(черт. 121) треугольника
ABC пересекает
продолжение стороны
ВС в точке F (если

треугольник — не равнобедренный). Мы хотим доказать, что BF АВ 7Т= =О — г—*- Ди
Доказательство вполне аналогично предыдущему. Проведём через
точку С прямую CG, параллельную AF, и заметим, что: 1) параллель-
BF В А ные прямые СО и AF дают пропорцию ^=^4 и 2) треугольник
ACG — равнобедренный (как имеющий в точках С и G углы, соответственно
равные двум половинам внешнего угла при вершине А и,
следовательно, равные между собой), что позволяет заменить AG
через АС.
П р и м е ч а н и е . Мы видим, что биссектриса угла треугольника
и биссектриса прилежащего внешнего угла делят гармонически
противоположную сторону.

114

Обратная теорема. 1°. Если прямая, выходящая из вершины
треугольника, делит внутренним образом противоположную сторону
на части, пропорциональные двум прилежащим сторонам,
то она является биссектрисой угла при вершине.
2°. Если прямая, выходящая из вершины треугольника, делит
внешним образом противоположную сторону на части, пропорциональные
прилежащим сторонам, то она является биссектрисой
соответствующего внешнего угла.
Так как имеется только одна точка (п. 108), которая делит
внутренним образом сторону ВС (черт. 120) на части, пропорциональные
прилежащим сторонам, то эта точка и есть основание биссектрисы
угла А. Точно так же имеется лишь одна точка (п. 110),
которая делит внешним образом сторону ВС (черт. 121) на части,
пропорциональные прилежащим сторонам; эта точка и есть основание
биссектрисы внешнего угла А.
116. Теорема. Геометрическое место точек, расстояния которых
от двух данных точек находятся между собой в данном
отношении (отличном от 1), есть окружность.
Пусть А и В (черт. 122)—данные две точки; требуется найти
геометрическое место таких точек М, чтобы отношение
было равно данному числу
пи
Существуют две точки этого
геометрического места,
одна С на отрезке АВ, другая
D на его продолжении.
Это те точки, о существовании
которых мы знаем из пп. 108—
110. Пусть затем М есть какая-
либо точка искомого гео-

метрического места точек. Прямая МС, которая делит отрезок АВ на части СА и СВ, пропорциональные
отрезкам МА и MB, есть биссектриса угла при М треугольника
АМВ. Прямая MD, которая делит внешним образом
сторону АВ этого треугольника на части, пропорциональные
прилежащим сторонам, есть биссектриса внешнего угла при точке М.
Эти две прямые взаимно перпендикулярны (п. 15 а), и точка М, следовательно,
принадлежит окружности О, описанной на CD, как на
диаметре (п. 78).
Обратно, предположим, что точка М лежит на окружности О.
Проведём через точку М прямую МА!, симметричную с MB относительно
МС, и пусть Аг — точка, в которой она пересекает прямую АВ.
Так как прямые MCiaMD — биссектрисы угла А!MB и его пополнительного
угла, то точка А! гармонически сопряжена с точкой В относительно
концов отрезка CD (п. 115, примечание); поэтому она совпадает
с точкой А. Так как прямые МС и MD — биссектрисы угла

115

АМВ и его пополнительного угла, то имеет место зависимость
МЛ С А
мв — св — т‘
Следствие. Если разделить гармонически диаметр окружности
точками А и В, то отношение расстояний любой точки окружности
до двух точек А и В постоянно.
УПРАЖНЕНИЯ.
124. На двух определённых прямых откладывают от двух определённых
точек А и В} соответственно лежащих на этих прямых, два отрезка
AM и BN, которые изменяются пропорционально друг другу, и через
точки М и N проводят прямые, соответственно параллельные двум другим
данным прямым. Найти геометрическое место точек пересечения
построенных таким образом прямых.
125. Две секущие, выходящие из одной точки окружности, делят гармонически
диаметр, перпендикулярный к прямой, соединяющей их необщие
концы (доказать).
126. В какой области плоскости расположены такие точки, отношение
расстояний которых до двух данных точек А и В больше заданного числа
(пп. 112,71)?
127. Найти точку, расстояния которой от вершин треугольника пропорциональны
заданным числам.
Эта задача, если она возможна, имеет вообще два решения. Доказать,
что две точки, отвечающие условию, лежат на одном и том же диаметре
круга, описанного около данного треугольника, и делят гармонически этот
диаметр.
128. Через общую точку А двух окружностей проводят произвольную
секущую, которая вторично пересекает окружности в точках М и Мf. Найти
геометрическое место точек, делящих отрезок ММ1 в данном отношении
упр. 65).

116 ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ