ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КНИГА ВТОРАЯ . ОКРУЖНОСТЬ. ЗАДАЧИ КО ВТОРОЙ КНИГЕ. Задачи про окружность.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

ОКРУЖНОСТЬ

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве
Ниже посмотрите текст для быстрого ознакомления(формулы отображаются не корректно):

98. Если соединить какую-либо точку окружности М с точками прикосновения
А и В касательных, проведённых через определённую точку Р
плоскости, и через точку Р провести прямую, параллельную касательной
в точке Му то доказать, что прямые МА, MB отсекают на этой прямой
отрезок, длина которого не зависит от положения точки М, и что этот
отрезок делится в точке Р пополам.
99. Пусть ABC — равносторонний треугольник, вписанный в круг, и М —
точка дуги ВС. Доказать, что отрезок МА равен M B М С .
100. Через три вершины равностороннего треугольника проведены три
прямые так, что биссектрисы углов,, которые каждая из них образует
с высотой, выходящей из той же вершины, параллельны. Доказать, что эти
три прямые пересекаются в одной точке, лежащей на круге, описанном
около треугольника.
101. Середины сторон треугольника, основания высот и середины отрезков
высот, заключённых между каждой из вершин и точкой пересечения
высот, представляют собой девять точек, лежащих на одной окружности
(круг девяти точек). Центром этой окружности служит середина отрезка,
который соединяет точку пересечения высот данного треугольника с центром
описанного круга; её радиус равен половине радиуса описанного круга
(доказать). Вывести отсюда предложение, данное выше, в упражнении 70.
101а. Во всяком треугольнике центр окружности, проходящей через
центры трёх вневписанных кругов, лежит в точке пересечения радиусов
каждого из этих кругов, проведённых в точку его касания с соответствующей
стороной, или, иначе, центр этой окружности симметричен с центром
вписанного круга относительно центра описанного круга. Её радиус вдвое
больше радиуса описанного круга (доказать).
102. Если в каком-либо треугольнике из основания каждой высоты
опустить перпендикуляры на две стороны треугольника, выходящие с данной
высотой из одной вершины, то основания этих перпендикуляров представляют
собой шесть точек, лежащих на одной окружности (доказать).
103. В треугольнике ЛВС перпендикуляр, восставленный в середине
стороны ВСу и биссектриса угла А пересекаются на описанном круге. Их
точка пересечения равноудалена от точек В и С, от центра вписанного
круга и от центра вневписанного круга, расположенного внутри угла А
(доказать).
Доказать аналогичную теорему для биссектрисы внешнего угла при А»
Вывести отсюда, что сумма радиусов вневписанных кругов равна радиусу
вписанного круга, сложенному с учетверённым радиусом описанного круга.

ОКРУЖНОСТЬ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

103а, Построить треугольник, зная длины высоты, медианы и биссектрисы,
выходящих из одной вершины, считая от этой вершины до точек пересечения
с противоположной стороной.
104. Две касательные к окружности и хорда, соединяющая точки их
касания, отсекают равные отрезки на перпендикуляре, проведённом через
произвольную точку этой хорды, к прямой, соединяющей эту точку с центром
(доказать).
105. На трёх сторонах треугольника ABC построены вне треугольника
равносторонние треугольники ВС A’, CAB’, ABC’ и проведены отрезки АА’,
ВВ\ СС\ Доказать:
1°. что эти отрезки равны между собой;
2°. что эти отрезки пересекаются в такой точке, из которой три стороны
треугольника видны под одним и тем же углом;
3°. что если эта точка находится внутри треугольника, то сумма её расстояний
до трёх вершин треугольника равна длине каждого из отрезков
АА’, ВВ\ СО (см. задачу 99).
106. Круги, описанные около четырёх треугольников, образованных четырьмя
попарно пересекающимися прямыми, проходят через одну точку
[доказать эту теорему: 1) непосредственно, 2) пользуясь упражнением 72],
Центры этих кругов лежат на одной окружности, также проходящей через
ту же точку (доказать).
107. Если продолжить стороны вписанного четырёхугольника до их пересечения,
то биссектрисы углов, образованных продолжениями этих сторон,
взаимно перпендикулярны. Они соответственно параллельны биссектрисам
углов, образованных диагоналями того же четырёхугольника (доказать).
Сформулировать и доказать обратную теорему.
107а. Две произвольно взятые окружности пересечены двумя произвольными
прямыми; хорды, соединяющие попарно точки пересечения обеих
прямых с первой окружностью, пересекают хорды, соединяющие попарно
точки пересечения тех же прямых со второй окружностью, в четырёх точках
одной окружности (доказать).
108. Дан треугольник ABC; найти геометрическое место таких точек М,
чтобы перпендикуляры к прямым AM, ВМ, СМ, проведённые соответственно
через вершины А, В, С, пересекались в одной точке.
109. Найти геометрическое место вершин прямоугольников, рассматриваемых
в упражнении 26 и задаче 41, если данный параллелограмм рассматривать
как шарнирный (п. 46а).
110. На двух взятых последовательно отрезках АВ, ВС одной прямой
линии описываются две произвольные, но равные между собой окружности.
Эти окружности пересекаются в точке В ив некоторой второй точке, геометрическое
место которой и требуется найти.
111. Пусть О А и О В — два произвольных взаимно перпендикулярных
радиуса круга О. Через точки А и В проводят прямые, соответственно
параллельные двум данным взаимно перпендикулярным прямым. Найти
геометрическое место точек пересечения этих двух прямых, если прямой
угол АОВ вращается около центра круга.
112. Две окружности, каждая из которых касается данной прямой в определённой
точке, изменяются, оставаясь всё время касательными между собой.
Найти геометрическое место их точек касания.
113. Найти геометрическое место вершин прямого угла неизменяемого
прямоугольного треугольника, если две другие его вершины скользят по
двум взаимно перпендикулярным прямым.
114. Построить прямую, на которой две данные окружности отсекают
хорды данной длины.
115. Вписать в данную окружность треугольник, стороны которого были
бы параллельны данным прямым или две стороны которого были бы параллельны
данным прямым, а третья сторона проходила бы через данную точку.
116. Даны прямая ХУ и две точки А к В; найти на прямой такую точ*
ку М, чтобы угол АМХ был вдвое больше угла BMY,

105 ОКРУЖНОСТЬ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

117. Построить пятиугольник (или вообще многоугольник с нечётным
числом сторон), зная середины его сторон.
Что будет в случае многоугольника с чётным числом сторон?
118. Построить трапецию по четырём её сторонам.
Общее, построить четырёхугольник по четырём сторонам и углу между
продолжениями двух его противоположных сторон *).
119. Пересечь стороны АВ и АС треугольника ABC прямой данного
направления, которая отсекла бы на этих сторонах равные отрезки, считая
соответственно от вершины В и С.
120. Построить общий перпендикуляр к двум данным параллельным
прямым, который был бы виден из данной точки под данным углом.
121. Даны окружность, две точки Р и Q этой окружности и прямая.
Найти на окружности такую точку М, чтобы прямые МР и MQ отсекали
на данной прямой отрезок IK данной длины.
121а. Решить ту же задачу, если вместо длины отрезка IK дана середина
этого отрезка.
122. Построить квадрат, стороны которого проходят через четыре данные
точки. Может ли эта задача допускать бесчисленное множество решений?
Найти в этом случае геометрическое место центров квадратов, удовлетворяющих
поставленному условию.
123. Каким условиям должны удовлетворять длины сторон шарнирного
четырёхугольника ABCD (п. 46а, примечание 3°), для того чтобы определённая
его вершина В представляла собой шарнир, обладающий полной
свободой вращения, т. е. чтобы величина угла при этой вершине четырёхугольника
была совершенно произвольной? Показать, что угол при противолежащей
вершине D не будет в этом случае, вообще говоря, вполне произвольным.
В каком случае последнее предложение допускает исключение?
*) Относительно этого и следующих упражнений см. Прибавление А,
п, 284,

106 ОКРУЖНОСТЬ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Околоadmin