ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КНИГА ВТОРАЯ . ОКРУЖНОСТЬ. ГЛАВА VI. ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ФИГУР.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ФИГУР

Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве
Ниже посмотрите текст для быстрого ознакомления(формулы отображаются не корректно):

95. Мы определили выше (п. 20), какие две фигуры называются
равными и имеющими одинаковое направление вращения.

Мы знаем
(п. 50), что если две точки одной из таких фигур совпадают с соответственными
им точками другой фигуры, то обе фигуры совпадают
между собой. Иначе говоря, нельзя поместить фигуру F, равную
данной сригуре F и имеющую с ней одинаковое направление вращения1),
двумя различными способами так, чтобы две точки Аг
и В’ этой фигуры (соответственные двум данным точкам А и В
фигуры F) имели наперёд заданное положение.
Мы можем также по этим данным (т. е. зная положение точек А’
и В’, соответственных точкам А и В) определить точку С’, соответствующую
любой третьей данной точке С фигуры F.
В самом деле, для этого достаточно построить треугольник А’В’С,
равный треугольнику ABC (построение 4), выбирая то из двух
возможных положений третьей вершины, которое соответствует
двум треугольникам, имеющим одинаковое направление вращения.
Так как такое построение можно выполнить для каждой точки
первой фигуры, то мы имеем, очевидно, возможность решить следующую
задачу (по крайней, мере для фигур, состоящих из конеч-*
ного числа точек и прямых).

Задача. Построить плоскую фигуру F’, равную данной фигуре
F (и имеющую с ней одинаковое направление вращения), зная
точки, соответственные двум её данным точкам.
Следует заметить, что ничто не обязывает
нас строить каждую следующую искомую точку,
исходя всё время непосредственно из данных
точек Аг и В’.
Напротив, можно получить точку, соответствующую
произвольной точке фигуры F, пользуясь
тем треугольником, который эта точка об-
разует не с данными точками, а с двумя другими
уже построенными точками 2).
Таким образом, можно построить фигуру, равную ABCDE
(черт. 104), строя последовательно три треугольника, равные треугольникам
ABC, BCD, CDE.
96. Операция, которую мы назвали поступательным перемещением,
преобразует любую фигуру в фигуру, ей равную и имеющую
*) Ясно, что без последней оговорки ничего не помешало бы нам, напротив,
заменить фигуру F’ фигурой, ей симметричной относительно прямой,
соединяющей эти две точки.
2) Мы узнаем впоследствии, что совершенно так же приходится поступать
при съёмке планов (см. Геометрия в пространстве, книга X, п. 590).

96 ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ФИГУР ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

с ней одинаковое направление вращения. Это перемещение можно
рассматривать, как получающееся непрерывным скольжением фигуры
в её плоскости. Для этого достаточно выполнять поступательное
перемещение непрерывно, начиная с перемещения, равного нулю
(при котором преобразованная фигура совпадает с первоначальной),
и кончая тем перемещением, которое фактически должно быть выполнено
над данной фигурой.
При этом непрерывном перемещении все точки описывают прямые
линииу параллельные между собой и направленные в одну и
ту же сторону.
97. Вращением (поворотом) называется перемещение, при котором
каждая точка перемещаемой фигуры повёртывается около некоторой
неподвижной точки, называемой центром о’
вращения, в определённом направлении на
один и тот же угол, который характеризует
величину вращения и называется углом поворота.
Иначе говоря, если дана произвольная
точка А первоначальной фигуры/7, то мы
получим соответствующую ей точку Аг перемещённой
фигуры F\ соединяя точку Л с центром
вращения, строя (в направлении вращения)
угол ЛОЛ’, равный углу поворота, и откладывая
на второй стороне этого угла отрезок
ОЛ’, равный отрезку ОА (черт. 105).

Мы видим, что вращение вполне определяется своим центром,
углом поворота и направлением.
Фигура F\ которая получается из фигуры F с помощью любого
вращения, равна фигуре F. Чтобы это доказать, возьмём какие-
нибудь две точки Л и В (черт. 105) фигуры F, и пусть А’и В’ —
точки, им соответственные. Угол АгОВг равен углу АОВ (и имеет с ним
одинаковое направление). Действительно, предположим для определённости,
что угол АОВ имеет направление, совпадающее с направлением
вращения *) (черт. 105). Заменяя сторону ОВ стороной ОВ\ мы увеличиваем
этот угол АОВ на угол, равный углу поворота, но мы его
уменьшаем на ту же величину, заменяя сторону О А стороной ОАТ.
Следовательно, треугольники АОВ и АтОВт равны и имеют одинаковое
направление вращения, как имеющие по равному углу, заключённому
между соответственно равными сторонами (ОА = ОАг;ОВ =
= ОВг). Так как это имеет место для любой точки В, то равенство
двух фигур доказано.
Вращение можно осуществить непрерывным скольжением фигуры
в её плоскости, так как можно предполагать, что угол поворота
*) Напомним, что мы рассматриваем угол АОВ как описываемый прямой,
вращающейся от О А к ОВ (п. 20). Поэтому всегда можно считать, что
имеет место сделанное предположение, обозначая через ОА ту сторону
угла, которая будет первой, если считать по направлению рассматриваемого
вращения.

97 ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ФИГУР ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

изменяется непрерывно от значения, равного нулю, до того значения,
которое он должен окончательно иметь. При этом движении
каждая точка описывает дугу, имеющую своим центром центр вращения.
Все эти дуги соответствуют равным центральным углам.
98. Теорема. В двух равных фигурах, которые получаются
одна из другой с помощью вращения около точки О (черт. 106),
1°. соответствующие друг другу направления на двух соответственных
прямых образуют между собой угол, равный углу поворота
и одного с ним направления;
2°. центр вращения, любые две соответственные
точки А и Л’ и точка пересечения
I каких-либо двух соответственных прямых,
проходящих через точки А и А’, предста-
д вляют собой четыре точки, лежащие на
одной окружности.

Черт. 106. Первая часть теоремы справедлива, по
определению, для двух соответственных прямых,
проходящих через центр вращения; следовательно, она будет
справедлива и для любых соответственных прямых, потому что каждую
из них можно заменить параллельной ей прямой, направленной
в ту же сторону и проходящей через центр вращения.

2°. Каждая из точек О, I служит вершиной угла, который равен
углу поворота и стороны которого проходят через точки А и Л’.
Следовательно, все четыре точки принадлежат геометрическому
месту вершин углов, обладающих этими свойствами, л это геометрическое
место есть окружность *).
99. Частным случаем вращения является тот, при котором угол
поворота равен двум прямым, или 180°. В этом случае точку Л’,
соответствующую точке Л, можно получить, соединяя точку Л
с точкой О (центром вращения) и откладывая на продолжении отрезка
АО от точки О отрезок О Л’, равный ОА. Точка А’, определяемая
этим построением, называется симметричной с точкой А
относительно точки О. Таким образом, в геометрии на плоскости
симметрия относительно точки и вращение на 180° около этой
точки представляют тождественные между собой операции.
100. Если в двух равных фигурах, имеющих одинаковое направление
вращения, два соответственных отрезка АВ и А!ВГ
(черт. 107) параллельны между собой и направлены в одну и ту же
сторону, то эти две фигуры можно совместить между собой
с помощью поступательного перемещения.
В самом деле, так как четырёхугольник АВВ’А’ — параллелограмм,
то отрезки ЛЛ’ и ВВГ будут параллельны и равны между собой и направлены
в одну и ту же сторону; следовательно, поступательное
перемещение ЛЛ’ совмещает точки Л и В с их соответственными
точками, что влечёт за собой полное совмещение обеих фигур.
*) В силу п. 82а. Прим. ред. перевода.

98 ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ФИГУР ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Если в двух равных фигурах, имеющих одинаковое направление
вращения, точка О совпадает со своей соответственной точкой,
то обе фигуры можно совместить между собой с помотаю
вращения около этой точки.
Действительно, если А и АТ— д в е про- В
извольные соответственные точки, то вращение
на угол АОАг около точки О совмещает
точку А с точкой А\ в то время как
точка О по-прежнему совпадает со своей
соответственной точкой. д
101. Мы видели (п. 20), что две равные
фигуры, имеющие противоположные
направления вращения, не могут быть совмещены
без того, чтобы одна из них не вышла из своей плоскости. Напротив,
две равные фигуры, имеющие одинаковое направление вращения,
всегда могут быть совмещены между собой с помощью перемещения
в их плоскости, а именно с помощью поступательного перемещения,
сопровождаемого вращением. Действительно, если’А и Аг —
две соответственные точки обеих фигур, то поступательное перемещение
АА\ выполненное над первой фигурой, совместит между собой
эти две точки, после чего достаточно будет вращения около точки А
(см. предыдущий пункт), чтобы совместить обе фигуры.

Замечая, что поступательное перемещение не изменяет направления
прямой, мы заключаем отсюда, что любые две соответственные
прямые двух равных фигур, имеющих одинаковое направление вращения,
образуют между собой постоянный угол; таким образом,
можно говорить об угле между двумя фигурами.
102. Можно доказать, что из двух только что указанных операций
(поступательного перемещения и вращения) необходимой
является только одна. Это вытекает из следующей теоремы.
Теорема. Две равные фигуры, имеющие одинаковое направление
вращения, могут быть всегда совмещены между собой либо
с помощью одного поступательного перемещения, либо с помощью
одного вращения около надлежащим образом выбранной точки.
Эта точка называется центром вращения (обеих фигур).
Пусть А и В — две точки первой фигуры, А! и Вг — соответственные
им точки второй фигуры. Мы достигнем совмещения обеих
фигур, если нам удастся совместить отрезки АВ и АГВГ.
1°. Если прямые АВ и А’В’ параллельны между собой и направлены
в одну и ту же сторону (черт. 107), то фигуры получаются
одна из другой с помощью поступательного перемещения.
2°. Предположим теперь, что этого не будет. Посмотрим, можно
ли одну из двух фигур получить из другой с помощью вращения.
Угол поворота нам известен: он равен углу между двумя фигурами,
например углу между прямыми АВ и А!ВГ (черт. 108). Мы должны,
следовательно, найти такую точку О, чтобы поворот около неё на
этот угол совместил бы точку А с точкой А\ Эта задача сводится

99 ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ФИГУР ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

к отысканию дуги, имеющей своей хордой отрезок ААГ и вмещающей
угол, равный половине угла поворота и одного с ним направления
(так как центральный угол в два раза больше вписанного
угла, опирающегося на ту же дугу).
Следовательно, точка О будет лежать, с одной стороны, на перпендикуляре,
восставленном в середине отрезка АА\ с другой
стороны, — на перпендикуляре к касательной х) к дуге окружности,
q построенной как было указано в п. 90 (построение
14).

Обратно, если точка О определена таким
образом, то вращение, имеющее своим центром
эту точку и углом поворота — угол
между двумя фигурами, совместит точку А
с точкой Л’; это вращение преобразует отрезок
АВ в некоторый отрезок, параллельный
А’ВГ и направленный с ним в одну сторону,
т. е. в отрезок, совпадающий с АГВ\
так как оба отрезка имеют общий конец А’.
Следовательно, обе фигуры совпадут.
П р и м е ч а н и е . Можно было бы доказать то же самое предложение,
определяя точку О или как точку пересечения перпендикуляров,
восставленных в серединах отрезков ААгкВВ\ или (п. 98) как точку
пересечения окружностей, описанных около треугольников 1АА\ 1ВВ\
где /—точка пересечения прямых АВ и ArBf.
В том и другом случае можно было бы дока-
зать, что треугольники ОАВ и ОА!Вг равны.

102а. Предыдущая теорема вытекает также 2″
из разложения любого поступательного перемещения
или вращения на две симметрии.
Лемма. Дее последовательные симметрии
относительно прямых Di и D2 равносильны: D1 —
1°. если две прямые Dx и D2 параллельны,—
поступательному перемещению по направлению,
перпендикулярному к этим прямим
и по величине равному удвоенному поступательному
перемещению, которое переводит первую прямую во вторую;
2°. если эти две прямые Di и D2 пересекаются,— вращению около
точки их пересечения с углом поворота, равным удвоенному углу поворота,
переводящего первую прямую во вторую.
Пусть F — некоторая фигура, F1 — фигура, ей симметричная относительно
прямой £>i, F» — фигура, симметричная F’ относительно прямой D2.
1°. Предположим, что прямые Dy и D2 параллельны между собой
(черт. 109). Если М — некоторая точка фигуры Z7, то построим симметричную
ей точку М’ относительно прямой Du откладывая на продолжении
перпендикуляра МНи опущенного из точки М на Du отрезок Н^М’, равный
MHi, далее построим точку М», симметричную М’ относительно прямой
Z)2, откладывая на продолжении перпендикуляра М’Н2) опущенного из
точки М’ на D2, отрезок Н2М’\ равный М’Н2. Непосредственно очевидно,

100 ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ФИГУР ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

что три точки М, М’, М» лежат на одном и том же общем перпендикуляре
к прямым Di и Д>. Кроме того, если предположить для определённости,
что точка М’ находится между прямыми D, и D2, то отрезок ММ», равный
сумме отрезков ММ’ и М’М» (черт. 109), в два раза больше отрезка Н±Н2,
который представляет собой сумму отрезков M’Hi и М’Н2.
Это заключение будет иметь силу и в том случае, если точка М’ находится
вне двух параллельных прямых Di и D2: отрезок ММ» будет при этом
разностью отрезков ММ и М’М», а отрезок Н\Н2— разностью отрезков
M’Hi и М’Н2. Следовательно, поступательное перемещение, представляемое
отрезком, перпендикулярным к двум данным прямым и вдвое большим,
чем HiH2) совмещает произвольную точку фигуры F с соответствующей ей
точкой фигуры F».
2°. Предположим, что две оси симметрии пересекаются в точке О
(черт. 110), и пусть М, М’, М» — снова три соответственные точки трёх
фигур F, F\ F», причём точки М и М’ симметричны
относительно прямой Du а точки М1
и М» — относительно прямой D2. Очевидно, что
три точки М, М’, М» лежат на одной окружности
с центром О. Кроме того, угол МОМ», равный
сумме или разности углов МОМ’ и М’ОМ», в
два раза больше угла между прямыми D, и Г)2,
который можно рассматривать как сумму или
разность углов, образованных прямой ОМ’ с прямыми
и D2. Вращение, указанное в условии
теоремы, совмещает, таким образом, каждую точку
М с соответствующей ей точкой М».
П р и м е ч а н и е . Две последовательные симметрии
относительно одной и той же прямой взаимно
уничтожаются, так как при этом каждая точка
возвращается в её первоначальное положение.

101 ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ФИГУР ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Следствие. Обратно, всякое поступательное перемещение можно заменить
двумя последовательными симметриями относительно двух прямых,
перпендикулярных к направлению перемещения, причём одну из этих
прямых можно выбрать произвольно.
Всякое вращение можно заменить двумя последовательными симметриями
относительно двух прямых, проходящих через центр вращения,
причём одну из этих прямых можно выбрать произвольно.
В самом деле, выбрав произвольно первую ось симметрии, достаточно
взять за вторую ось симметрии в случае поступательного перемещения —
прямую, параллельную первой оси и отстоящую от неё на расстоянии, равном
половине величины данного поступательного перемещения, а в случае
вращения — прямую, проходящую через центр вращения и образующую
с первой осью симметрии угол, равный половине угла поворота.
103. Теорема. Последовательные поступательные перемещения или
вращения, выполненные в любом числе, можно заменить либо одним поступательным
перемещением, либо одним вращением.
Эта замена называется сложением данных перемещений; полученное
окончательное перемещение называется результирующим перемещением.
Достаточно уметь сложить два перемещения: действительно, если бы
их было три, то мы сложили бы сначала два первых, а затем сложили бы
полученное перемещение с третьим; так же следовало бы продолжать и
далее, если бы число данных перемещений было больше трёх.
Два’ последовательных поступательных перемещения преобразуют произвольный
отрезок в отрезок, ему параллельный и направленный в ту же
сторону, и потому эквивалентны одному поступательному перемещению
(п. 100). Следовательно, нам достаточно рассмотреть только случай сложения
поступательного перемещения и вращения (причём поступательное перемещение
может или предшествовать вращению, или следовать за ним) и
случай сложения двух вращений.

102 ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ФИГУР ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Следствие. Если мы умеем
найти касательные к траекториям
двух точек движущейся неизменяемой
фигуры, то мы сможем найти
касательную и к траектории любой
точки фигуры.
Действительно, перпендикуляры
к двум известным касательным к
траекториям определяют мгновенный
центр вращения и, следовательно,
позволяют провести нормаль к
траектории любой точки.
УПРАЖНЕНИЯ.
92. Если неизменяемая фигура
перемещается таким образом, что две
из её прямых проходят каждая через
неподвижную точку, то существует бесчисленное множество прямых
этой фигуры, каждая из которых при её перемещении также вращается
около неподвижной точки.
Всякая другая прямая подвижной фигуры остаётся касательной к неподвижной
окружности. Центр вращения двух любых положений фигуры
лежит всё время на некоторой неподвижной окружности (доказать).
93. Если даны три равные фигуры Fu F2, Fg, имеющие одинаковое направление
вращения, и если определить три центра вращения этих фигур,
взятых попарно, то требуется доказать, что углы треугольника, имеющего
своими вершинами эти три точки, равны половинам углов между этими
фигурами, взятыми попарно, или пополнительным углам этих половин.
94. Сложить два вращения около двух различных центров, имеющих
один и тот же угол поворота, но противоположные направления.
95. Две равные фигуры, имеющие противоположные направления вращения,
всегда могут быть совмещены между собой:
*) Мы допускали здесь в качестве аксиом такого рода предложения:
если переменная точка М± имеет своим предельным положением определённую
точку М и если переменное направление Di имеет своим предельным
положением направление Z), то прямая, проведённая через точку М\
по направлению Du имеет своим предельным положением прямую, проведённую
через точку М и параллельную D. Если две прямые Du F)[ имеют
предельными положениями Z), D’, то точка пересечения Dx и D[ стремится
к точке пересечения D и D’ и т. д. В действительности эти предложения
представляют собой теоремы, которые должны быть доказаны;
но мы не приводим их доказательств, так как они не могут быть изложены
с достаточной простотой, не опираясь на такие сведения о пределах, которые
излагаются в курсах исчисления бесконечно малых.
Черт. 112.

103 ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ФИГУР ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

1°. бесчисленным множеством способов с помощью трёх симметрий;
2°. бесчисленным множеством способов с помощью поступательного перемещения,
сопровождаемого одной симметрией, или с помощью одной симметрии,
сопровождаемой поступательным перемещением;
3°. одним и только одним способом с помощью поступательного перемещения,
сопровождаемого одной симметрией, или с помощью одной симметрии,
сопровождаемой поступательным перемещением, если ось симметрии
параллельна направлению перемещения.
96. Построить равносторонний треугольник, вершины которого лежат
соответственно на трёх данных параллельных прямых или на трёх данных
концентрических окружностях.
97. Найти на данной окружности дугу, равную данной дуге и такую,
чтобы прямые, соединяющие её концы соответственно с двумя данными
точками, были бы параллельны между собой.
Найти на данной окружности дугу, равную данной дуге и такую, чтобы
прямые, соединяющие её концы соответственно с двумя данными точками,
образовали между собой данный угол.

104 ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ФИГУР ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ФИГУР