§ 7. Исследование системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
ЧАСТЬ II. ГЛАВА10
НЕРАВЕНСТВА
На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).
Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.
Исследование системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
Ос н о в ные о п р е д е л е н и я .
1. Два или несколько уравнений образуют систему уравнений,
если одноименные неизвестные в них обозначают одну и ту же величину.
2. Системой двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
называется система, которая после раскрытия скобок, перенесения
членов, содержащих -неизвестные, в левую часть, а известных
членов в правую часть и приведения подобных членов принимает
вид
ЬХ + Ъ у — т ъ )
а3х -f- Ь3у = ть j
где аи а3, Ьъ Ьг, ть т3 — известные числа.
3. Решить систему (1) — это значит найти такие значения для
дг и у , которые, будучи поставлены в систему вместо неизвестных,
превращают каждбе уравнение системы в тождество.
4. Решением системы уравнений с двумя неизвестными называется
пара таких чисел, которые, будучи подставлены в систему
вместо некввестных, превращают каждое уравнение системы в тождество.
5. Исследовать систему (1) — это значит по коэффициентам ее
определить, имеет ли система решения, и если имеет, то сколько.
6. Система (1) называется приведенной, если оба коэффициента
при одном неизвестном в ней равны 1. Например, системы
дг-{-Зу = 5, ) 2 х — \ — у = \ , )
х — 2у — 3,1 Ь х + у — в /
— приведенные. Система
* + Зу = б, )
2 х + у = Ъ J
не является приведенной.
458 Исследование системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Кабинет Математики.
Те о р ема 1. Если оба коэффициента при каком-нибудь неизвестном
в системе (1) отличны от нуля, то систему эту можно
привести, т. е. построить равносильную ей приведенную систему.
До к а з а т е л ь с т в о . Пусть ахФ 0 и а^^б 0.
Разделим обе части первого уравнения на аг, обе части второго
уравнения на а* Получим приведенную систему, равносильную данной;
(При делении обеих частей уравнения на одно и то же число ни
одно решение не теряется и ни одно решение не приобретается.)
Точно так же доказывается теорема, если bt ф 0 и 0.
Те о р ема 2 (основ на я теорема) . Если в приведенной си—
стеме левые части различны, система имеет решение и притом
единственное.
До к а з а т е л ь с т в о . Дана приведенная система
x — \ — p iy = qb
^ ‘ = 4 (2)
х — \ — р% у = я * )
уУ = Яь 1
гУ = Я* I
причем pt ф р%.
Предположим, что система (2) имеет решение, т. е. предположим,
что существуют такие два числа х и у, что имеют место тождества
х + р д — —
х-\-р*у—
Умножим первое тождество на р%, второе на — л и сложим их почленно.
Получим
(Рг — Pi )x = qiPi — q^Pi.
Отсюда
x = qip’ Р a — Рq*1pl (р3— Pi ф 0!). (3)
Из второго тождества вычтем первое, получим
y i P i—P t ) = q i—q*
Отсюда
‘ — S = S — . ( 4 )
Какой вывод мы можем сделать?
Вывод. Если система (2) имеет решете, то решение это
определяется по формулам (3) и (4), а потому единственно,
Действительно, допустим, что система (2) имеет другое решение
х , у . Тогда имеют место тождества
y + P i J = q 1 .)
у + Р ъ У— q* 1
Рассуждая так же, как и выше, получим
. giРз — gspi. =? gg—ffl
т. е. х — х; у — у .
459 Исследование системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Кабинет Математики.
Докажем, что х и у , определяемые формулами (3) и (4), удовлетворяют
системе (2). Для этого достаточно в систему (2) подставить
вместо х vi у их значения по формулам (3) и (4) и убедиться, что
каждое уравнение системы превращается в тождество.
Те о р ема 3. Если в приведенной системе левые части одинаковы,
й правые различны, система решений не имеет.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Имеем систему
* + w = q I. , (5)
x + p y = q*
причем qx ф у2. Система (5) не может иметь решений, так как не
йожет существовать такая пара чисел х и у , чтобы х — \- р у равнялось
одновременно и ^ и qi.
Те о р ема 4. Если в приведенной системе и левые и правые
части одинаковы, система имеет бесконечное множество решений.
До к а з а т е л ь с т в о . Имеем систему
* + Р У = « Л (6)
* + K / = t — )
Уравнение x — \- p y — q имеет бесконечное множество решений.
Каждое такое решение является и решением системы (6).
Правило . Для е того чтобы узнать, сколько решений имеет
данная система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными,
достаточно систему привести. Если в приведенной системе
левые части различны, система имеет решение и притом только
одно. Если же в приведенной системе левые части одинаковы,
система не имеет решений, когда правые части различны, и
имеет бесконечное множество решений, когда правые части тоже
одинаковы.
Пример . Исследовать системы
1) 2 х — \-Ъ у= 10, | 2) 2 * + Зу = 10, \ 3) 2 х + Зу = 10,\
3* + 2у = 11; J 14лг + 21у = 70; J 14лг-|-21у = 80. J
Реше н и е . Приведем каждую из систем, получим
1) •* + -§ У — Ь, 2) х + ± у = 5, 3) х + ^ У = 5,
*~ +1 Т2 у = Т11 ;
Первая система имеет единственное Qрешение. Вторая имеет бес-
конечное множество решений: л? = 5 — -%У\У—любое число. Третья
не имеет решений.
460 Исследование системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Кабинет Математики.
Пример. Показать, что при любом b система
х 4 — (b -f- 2) у = b — j- 1,
х -\-(Ь — Ь)у — Ь
имеет единственное решение.
Решение . Уравнение b — ^ 2 — b — 5 не имеет решений. Поэтому
при любом b левые части системы различны.
Пример. Исследовать систему
2х — Зу — 1, )
Ьх — ту = т-\- 1. j
Решение . Приведем систему, получим:
3 1
т т + 1
Если система имеет единственное решение. Если
система имеет вид
J j ^ — Ц
— т ‘ — й I
и решений не имеет.
Рассмотрим теперь системы, которые не могут быть приведены.
Нетрудно видеть, что такие системы могут быть отнесены к одному
из следующих четырех типов:
Тип 1. Система имеет такой вид:
о* + А у= » „ |
а^х ф Оу = т<ь )
Тип 2. Система имеет такой вид:
‘,Х + °У = т’ \ < « , # 0 ; » , * 0 ) .
aix — \ — b i y = mv j
§ 7J ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ ДВУХ УРАВНЕНИЙ 461
Тип 3. Система имеет такой вид:
0 х — \- 0 у— ть |
Ox-\-biy = mi J
Тип 4. Система имеет такой вид:
Oj? —|— Оу — Mj,
+ Оу
— ть |
= ж * )
461 Исследование системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Кабинет Математики.
Система типа 1 имеет единственное решение:
m8. rrti
Действительно, первое уравнение системы имеет решение у = ~ ;
х — любое число; второе уравнение системы имеет решение х = ~ -\
у — любое число.
Система типа 2 не имеет решений, если О, и имеет бесконечное
множество решений, если mt — 0. В последнем случае
х в — — ; у — любое число,
я*
Система типа 3 не имеет решений, если тхф 0, и имеет бесконечное
множество решений, если mi — 0. В последнем случае
х — любое число.
Система типа 4 не имеет решений, если хоть одно из чисел тх
и отлично от нуля. Если же mi = m% = 0, система имеет бесконечное
множество решений: х — любое число; у — любое число.
Оп р е д е л ение . Выражение аф% — афх называется определите-
лем системы
alx + bty = m i, |
atx + Ъ^у= mt. }
Т е о р ем а 5. Если определитель системы отличен от нуля
и система эта может быть приведет, то отличен от нуля
также и определитель соответствующей приведенной системы.
Если определитель системы равен нулю и система эта может
быть приведет, то равен нулю также и определитель соответствующей
приведенной системы.
До к а з а т е л ь с т в о . Пусть аг ф 0; аа Ф 0. Приведем систему (7),
получим
* + Ь у _ й . 1
(8)
ь* Щ
щ
х + Л*
Пусть Di и £>4 — определители систем (7) и (8). Имеем
Я | « в А — а А ; я * = 5 7 — 5 7 *
т.е. Di = a1asDs. Если Dt 0, то и Dt ^ 0. Если Dt = 0, то и О, = 0.
Те о р ема 6. Если определитель системы отличен от нуля,
система имеет решение и притом единственте. Если определитель
системы равен нулю, система либо совсем не имеет решений,
либо имеет и х бесконечное множество.
462 Исследование системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Кабинет Математики.
До к а з а т е л ь с т в о . Все изложенное выше может быть сведен#
в таблицу (см. табл. 1 ), из которой видно, что система имеет един*
ственное решение тогда и только тогда, когда определитель ее отличен
от нуля. Система не имеет решений или имеет их бесконечное
множество тогда и только тогда, когда определитель ее равен нулю.
Таблица 1
Система
Определитель
системы
Число
решений
X + Pty**qt, )
x+p*y=*qti i
pi ФР*
Отличен ОТ
нуля Единственное
x+p y* * qu |
* + p y = q * f
Равен нулю
Либо нет, либо
бесконечное
множество
Qx + bty*=mu \
atX + Oy J •
btykO», <**#0.
Отличен от
нуля
>
Единственное
Ot + Oyew,, \
atx + bty = mt. )
Ох + Oy = m„ \
Ojc + = mt. )
0x+0y = m„ 1
0je-j-0y = m,. J
Равен нулю
Либо нет, либо
бесконечное
множества
Теоремы о решении систем двух уравнений первой степени е двумя неизвестными
могут быть выведены и без рассмотрения приведенных систем.
Теорема 7. Если аф% — аф^ ф 0, то система
atx + Ьху а
а%х + Ъ& s
гти
:/В* (9)
имеет решение и притом единственное.
Доказ а т е л ь с т в о . Допустим, что система (9) имеет решение, что
решение это найдено и вместо неизвестных подставлено в гсистему. Тогда
каждое уравнение системы превратится в тождество. Умножим первое тождество
на b2t второе на — и сложим. Получим
Так как
(аф2 — аф i) х = тф2 — тф 4.
афг— афкф 0 9
ЛГ=г тф2 — тфг аф% — аф^ *
463 Исследование системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Кабинет Математики.
Вернемся к тождествам (9). Первое из них умножим на — atf второе на аг
и сложим. Получим (ajbt— о ф ^ у =* atm* — ОцЩ»
У ajbi— ajbt’ {ii)
Из сказанного вытекает, что если система (9) имеет решение, то решение
это определяется формулами (10) и (11), и следовательно, единственное.
Остается доказать, что система (9) действительно имеет решение. Для
этого достаточно в систему (9) подставить вместо х и у их значения по
формулам (10) и (11) и убедиться, что каждое из уравнений системы (9) превращается
в тождество.
Т е о р е м а 8. Если ajb% — афх» 0 , то система
ахх + biy*=*mu |
а*х + b tf ** т% /
либо совсем не имеет решений, либо имеет и х бесчисленное множество.
Д о к а з а т е л ь с т в о этой теоремы разобьем на два случая.
Случай L Все коэффициенты при неизвестных аи ati bu Ьг отличны от
нуля. Перепишем систему так:
* +
« 1 at •
■ Ь„ т»
* + * у ят ъ ‘
По условию, &3>ш— ajbi = 0, значит, — = —. [а% Поэтому, если —fli ф*—а%,
то система не имеет решения, если же — *= ^ , то система имеет бесчис-
F ‘ « 1 а9 ’
ленное множество решений. Всякое решение одного из уравнений является
решением системы.
Случай 2, Среди коэффициентов при неизвестных имеются нули. Здесь
возможны следующие случаи:
1) 0* + Ьху за ти \ 2) Ox -f- Ъ\у «= ти \ 8) 0х + Ьху=^ти \
а*х-\-Ь9у=тш; / а^х + Оу — т^ / Оьх + ^аУ5555 w*> /
ЬхфО; а3ф 0; Ь%ф 0. Ьхф 0 \ а^фЪ. ЪхфЪ\ Ь^фЪ.
4) 0* + 0y=*mi, 1 5) Оис + Qy» mi9 \ 6) 0x + 0 y ^ m lf \
айх + Ъ^у = m2; J 0x + ^ — / 0* + 0у = т 2. /
d2 9^0; ф 0.
Случаи 1) и 2) отпадают, так как здесь аф* — aj>i ф 0. В случае 3) пер-
вое уравнение имеет решения х — лю*б ое число, а у *=» яуh , второе уравнение
имеет решения люб* ое число, а = ша 0*
Если ^ ± ф у 9 то система решений не имеет. Если же у ф у 9 то система
имеет бесчисленное множество решений х — любое число; у ^ у ш
Случаи 4), 5) и 6) подробно рассмотрены на стр. 462. Изложенный здесь
вывод короче вывода, данного в начале параграфа, но он формальнее и хуже
выясняет суть дела.
464 Исследование системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Кабинет Математики.
Пример , Исследовать систему
(а 1 + 1)У = а>
(За —|— 1) лс — (5а —}— 1).у.=
Решение . Вычислим определитель системы:
D — a {a— 1).
Если а Ф 0 и а Ф 1, система имеет единственное решение:
2а + 1
а 1
Если а = 0, система имеет вид
* — _ у= 0,
д:—у = 1
и решений не имеет.
Если а = 1, система имеет вид
йх — Зу-
4Х 6у =
Приведем систему, получим
= 1,
:2.
J_
2
3 1
‘Т У = 2-
1 -Ь Зу ,
Система имеет бесконечное множество решений: х = .У—
любое число.
Ответ. Если а (а — 1) 0, система имеет
единственное решение. Если а = 0, система
решений не имеет. Если а— 1, система имеет
бесконечное множество решений.
Задача . Две группы лыжников общей численностью в 100 человек
выделили сборную команду в 15 человек. Первая группа выделила
р°/0 своего состава, вторая группа выделила 10% своего состава.
Сколько лыжников в каждой группе?
Решение . Пусть в первой группе х лыжников, во второй у
лыжников. Тогда
х — \ — у = 100,
Рх ГI 1У7 7_— is 100
или
х -f-jy = 10Q, |
p x -\-lQ y = 1500. J
465 Исследование системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Кабинет Математики.
Определитель системы (12) равен 10—р.
Если /7 = 10, система (12) принимает вид
и решений не имеет.
Если р-уь 10, система имеет единственное решение
500 . гг , 100 ( Р — 15)
> *“ р— 10 » У р — 10 * (13)
Так как х должно быть положительным, />^> 10. Так как у должен
быть положительным, /> > 16.
Из этого видно, что при /> < 1 5 решение (13) не удовлетворяет
условию задачи. С другой стороны,, р < 100. Таким образом,
вательно, число р — 10 должно быть делителем числа 600.
600 = 2® • 5®, поэтому для получения всех делителей числа 600
достаточно каждое из чисел 1, 2, 2® умножить на каждое из чисел
1, б, б®, 5®. Получаем, что число 600 имеет 12 дедителей: 1, 2, 4,
б, 10, 20, 25, 60, 100, 125, 250 и 500.
Согласно неравенству (14) для р — 10 возможны только следующие
значения: 10, 20, 25, 50, и следовательно, для р возможны
только значения 20, 30, 35 и 60.
По условию, = — j f jQ должно быть целым числом. Этому
требованию удовлетворяют следующие значения р : 20, 35 и 60.
Значение />=.30 этому требованию не удовлетворяет. Окончательно
имеем следующую таблицу решений:
15 < /> < 1 0 0 .
Отсюда
5 < /> — 10 < 9 0 . (14)
500
Так как х должно быть целым числом, то -р ~— ,[5* целое» след0’
Р * \ у
20 50 50
35 20 80
60 10 90
Ответ. В первой группе либо 50, либо 20,
либо 10 лыжников.
466 Исследование системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Кабинет Математики.
Околоadmin
