Координаты точки на прямой
Глава 1.
Главная страница Метод координат 9-ый класс.
Смотреть оригинал онлайн.
Текст для быстрого ознакомления. Формулы в тексте не отображаются. Можно просто понять общий смысл. Оригинал в хорошем качестве смотрите выше.
1. Числовая ось
Чтобы задать положение точки на прямой,
поступают следующим образом. На
прямой выбирают начало отсчета (некоторую
точку О), единицу масштаба (отрезок
е) и направление, которое будет
считаться положительным (на рис. 2 указано
стрелкой).
Прямая, на которой указаны начало
отсчета, единица масштаба и положительное
направление, называется числовой осью.
Для определения положения точки на
числовой оси достаточно назвать одно число,
например + 5 . Это будет означать,
что точка лежит на расстоянии 5 единиц
масштаба от начала отсчета в положительном
направлении.
Число, определяющее положение точки
на числовой оси, называется координатой
точки по этой оси.
Координата точки на числовой оси равна
расстоянию точки от начала отсчета, выраженному
в выбранных единицах масштаба
и взятому со знаком плюс, если
точка лежит в положительном направлении
от начала, и со знаком минус в про
8
тивном случае. Начало отсчета часто называют
началом координат. Координата начала
отсчета (точки О) равна нулю.
Употребляют обозначения: М ( — 7),
А (х) и т. д. Первое из них обозначает точку
М с координатой минус семь, второе— точку
Л с координатой х. Часто говорят коротко:
«точка минус семь», «точка х»и т. п.
Введя координаты, мы установили соответствие
между числами и точками прямой линии.
При этом выполняется замечательное свойство:
каждой точке прямой соответствует одно определенное
число, и каждому числу соответствует
одна определенная точка прямой.
Введем специальный термин: соответствие между
двумя множествами называется взаимно
однозначным, если каждому элементу первого множества
отвечает один элемент второго множества
и (при этом же соответствии) каждый элемент второго
множества отвечает некоторому элементу
первого множества. В примерах 1 и 3 на рисунке
соответствие является взаимно однозначным, а в
примерах 2 и 4 нет. На первый взгляд это к ажется
совсем простым — установить взаимнооднозначное
соответствие между точками прямой и числами.
Однако когда математики задумались над
этим, то оказалось, что для выяснения точного
смысла слов, входящих в эту фразу, нужно создать
большую и сложную теорию. Т ак сразу же
возникают два «простых» вопроса, на которые
трудно ответить: что такое число и что следует
понимать под точкой?
Эти вопросы относятся к так называемым основаниям
геометрии и к аксиоматике чисел. Позднее
в других наших вы пусках мы рассмотрим эти вопросы
несколько подробнее.
9
Несмотря на то, что вопрос об определении
положения точки на прямой является
крайне простым, необходимо внимательно
в нем разобраться, чтобы привыкнуть
видеть за числовыми соотношениями геометрические
и обратно.
Проверьте себя.
Если Вы правильно поняли § 1, то
Вы без труда справитесь с упражнениями,
которые мы Вам предлагаем. Если
же упражнения у Вас не получаются,
это значит, что Вы что-то пропустили
или не поняли. Тогда вернитесь и перечитайте
этот параграф.
Упражнения
1. а) Нарисуйте на числовой оси точки:
Л ( — 2 ) , в ( — ^ — ) , К ( 0 ) .
б) На числовой оси нарисуйте точку
М (2). Найдите на числовой оси две точки
Л и В , находящиеся от точки М на расстоянии
трех единиц. Чему равны координаты
точек Л и В?
2. а) Известно, что точка Л (а) лежит
правее *) точки В (b). Какое число больше:
а или 6?
б) Не рисуя точек на числовой оси,
скажите, какая из двух точек правее:
Л ( — 3) или В ( — 4), Л (3) или В (4), Л ( — 3)
или В (4), Л (3) или В ( — 4)?
3. Какая из двух точек правее: Л (а)
или В ( — а)? (Ответ. Неизвестно. Если
а — положительное число, то Л правее,
чем В ; если же а — отрицательное число,
то В правее, чем Л.)
4. Подумайте, какая из двух точек
правее: а) М (х) или N (2х); б) А (с) или
*) Здесь и далее предполагается, что ось расположена
горизонтально и положительным направлением является направление слева направо
10
Б (с + 2); в) А (х) или В (х— а). {Ответ.
Если а больше нуля, то правее А; если
а меньше нуля, то правее В . Если а — О,
то А и В совпадают.)
г) А (х) или В (х г).
5. Нарисуйте на числовой оси точки
А ( — 5) и В (7). Найдите координату середины
отрезка А В.
6. Отметьте на числовой оси красным
карандашом точки, координаты которых
а) целые числа; б) положительные числа.
7. Отметьте на числовой оси все точки х,
для которых: а)х < 2; б) х5 s 5; в) 2 < х < 5;
г) — 3 ~ < х ^ 0 .
2. Абсолютная величина числа
Абсолютной величиной числа х (или
модулем числа х) называется расстояние
точки А (х) от начала координат.
Модуль числа х обозначается прямыми
скобками: |х| — модуль х.
_ i _ 1
, 2
Отсюда следует, что
если х > 0 , то \х\ — х,
если х < 0 , то |х| = — х,
если х = 0 , то |х| = 0 .
Так как точки а и — а расположены
на одинаковом расстоянии от начала координат,
то у чисел а и — а абсолютная
величина одинаковая: |а| = | — а |.
Упражнения
1. Какие значения может принимать
выражение 1I—* fL i?
2. Как записать без знака модуля выражения:
а) |а*|; б) \а — Ь\, если а > Ь ;
в) \а — Ь\, если а< .Ь \ г) |— а |, если
а — отрицательное число?
3. Известно, что |х — 3 | = х — 3. Каким
может быть х?
11
4. Где на числовой оси лежат точки х,
для которых
а) |*| = 2 ; б) | * | > 3 ?
Решение. Если х — положительное число,
то |дс| = х , следовательно, х > 3 ; если
х — отрицательное число, то | * | = —* ;
тогда из неравенства — х > 3 следует, что
х < — 3. (Ответ. Все точки, расположенные
левее точки — 3, и все точки, расположенные
правее точки 3. Этот ответ
можно получить быстрее, если учесть, что
| х | — это расстояние точки х от начала координат
Тогда ясно, что искомые точки
расположены от начала координат на расстоянии,
большем чем 3. Ответ получаем
из чертежа.)
в) | * | ^ 5 ; г) 3 < | х | <с 5?
д) Укажите, где лежат точки, для
которых \х — 2| = 2 —х.
5. Решите уравнения: а) |х— 2 1 = 3 ;
б) I x-f- 1 1 -f |х + 2 1 = 1. (Ответ. Уравнение
имеет бесконечно много решений: совокупность
всех решений заполняет отрезок
— 2 s S x « S — 1, т. е. любое число, которое
больше или равно — 2 и меньше или
равно — 1, удовлетворяет уравнению.)
3. Расстояние между двумя точками
Начнем с упражнения. Найдите расстояние
между точками:
а) А ( — 7) и В ( — 2);
б) Л ( — 3 — | ) и В ( — 9).
Решить эти задачи нетрудно, так как,
зная координаты точек,можно разобраться,
какая точка правее, какая левее, как они
расположены относительно начала координат
и т. д. После этого совсем легко сообразить,
как вычисляется искомое расстояние.
Теперь мы предлагаем Вам вывести
общую формулу для расстояния между
двумя точками на числовой оси, т. е.
решить такую задачу:
12
З а д а ч а . Даны точки A (х,) и В ( х 2);
определить расстояние р (А, В) между этими
точками ’).
Р е ш е н и е . Так как теперь конкретные
значения координат точек неизвестны,
то надо разобрать все возможные
случаи взаимного расположения трех точек:
А, В и О — начала координат.
Таких случаев шесть. Сначала рассмотрим
3 случая, в которых В правее А
(рис. 3, а , б, в).
В первом из них (рис. 3, а) расстояние
р ( Л , В ) равно разности расстояний
точек В и Л от начала координат.
Так как в этом случае х, и х2 положительны,
то
Р (Л, B ) = x 2 — xv
Во втором случае (рис. 3, б) расстояние
равно сумме расстояний точек В и Л
от начала координат, т. е. по-прежнему
р (Л, В ) = х 2— х„
поскольку в этом случае хг положительно,
а хх отрицательно.
Покажите, что в третьем случае
(рис. 3, в) расстояние будет определяться
той же формулой.
Другие три случая (рис. 4) отличаются
от разобранных тем, что точки Л и В
поменялись ролями. В каждом из этих
случаев можно проверить, что расстояние
между точками Л и В равно
р( Л, В ) = х 1— х2.
Итак, во всех случаях, когда х2> х , ,
расстояние р(Л, В) равно лг2— х,, а во
всех случаях, когда х, > х 2, это расстояние
равно х , — х 2. Вспоминая определение
модуля, можно записать это единой фор-
’) Обычно для обозначения расстояния используется
греческая буква р («ро»). Выражение
р ( А, В ) означает расстояние между точками
А и В.
13
мулой, пригодной во всех шести случаях:
р(Л, В ) = i x2 — х ,| .
При желании эту формулу можно записать
и в виде
р(Л, В ) = \ х 1- х 2\.
Если быть педантичным, то нужно разобрать
еще случаи, когда х 2 — х ,, т. е.
когда точки А п В совпадают. Ясно, что
и в этом случае
р(Л, В ) — | х 2— х, |.
Таким образом, поставленная задача
решена полностью.
Упражнения
1. Отметьте на числовой оси точки х,
для которых а) о (х, 7 ) < 3 ; б ) | х — 2 | > 1 ;
в) | jc —}— 3 | = 3.
2. На числовой оси даны две точки
А (х2) и В (х2). Найти координату середины
отрезка АВ. ( П р и м е ч а н и е . При решении
этой задачи Вы должны рассмотреть
все возможные случаи расположения точек
Л и В на числовой оси или написать такое
решение, которое годилось бы сразу для
всех случаев.)
3. Найти координату точки на числовой
оси, которая расположена втрое ближе
к точке Л ( — 9), чем к точке В ( — 3).
4. Решите теперь уравнения а) и б)
из упражнения 5 п. 2, используя понятие
расстояния между двумя точками.
5. Решите следующие уравнения
а) |х + 3| + |х— 1 = 5;
б) |х + 3| + |х— 1 = 4;
в) j х -{— 3 1 -f- j х — 1 = 3;
г) |х + 3| — |х— 1 = 5;
д) |х + 3| — |х— 1 = 4;
е) |х + 3| — {х — 1 = 3.
14
Математика в школе.
Библиотека учителя математики.
Околоadmin
