Метод периметров
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР
Метод периметров
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР
Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве
180. Таким образом, мы видим, что можно вычислить длину
дуги какой-либо данной окружности, если известно число тс.
Вычисление тс. Метод периметров. Чтобы вычислить это число,
или, что то же самое, чтобы вычислить длину окружности данного
радиуса R, мы должны по определению вычислить периметры правильных
вписанных многоугольников, число сторон которых неограниченно
удваивается. Периметр каждого из этих многоугольников
даёт приближённое значение с недостатком искомой длины, причём
это значение даёт тем большее приближение, чем больше число
сторон. Если одновременно с вычислением периметра вписанного
многоугольника мы умеем вычислить периметр соответствующего
описанного многоугольника, то мы можем получить, таким образом,
приближённое значение с избытком, и разность приближённых значений
с избытком и с недостатком даст верхнюю границу ошибки,
которую мы допустим, принимая за длину окружности значение
одного из двух периметров. Но мы умеем вычислять стороны некоторых
правильных вписанных многоугольников, в частности сторону
квадрата. Чтобы получить из неё стороны многоугольника с 4 • 2,
4 • 22, … , 4-2″, … сторонами, достаточно
решить следующую задачу.
Задача. Зная сторону правильного многоугольника,
вписанного в окружность данного
радиуса, вычислить сторону правильного многоугольника,
вписанного в ту же окружность и
имеющего вдвое большее число сторон.
Пусть АВ — с(черт. 180) — сторона данного
многоугольника, вписанного в круг радиуса
OA = R.
Деля дугу АВ на две равные части радиусом
ОС, перпендикулярным к хорде АВ в её
середине Я, получаем сторону АС правильного вписанного многоугольника
с удвоенным числом сторон.
Теперь имеем из треугольника О АС:
ЛС2 = ОЛ2 + ОС2 — 2ОС • ОН — 2/?2 — 2R • ОН= 2R (R — ОН);
но ОН равно |[R} — Т а к и м образом, искомая сторона сх будет:
169 Метод периметров.
Отсюда, так как сторона квадрата равна
/?]/2, а его периметр 4/?j/2,
то сторона правильного вписанного восьмиугольника равна
R]/ 2 — /2, а его периметр 8R ]/» 2 — |/ 2,
сторона правильного вписанного шестнадцатиугольника равна
2-j- — / 2 , а его периметр 16/? |/»2
И т. д.
180а. Чтобы получить приближённое значение с избытком длины
окружности, достаточно вычислить периметр правильного описанного
многоугольника и, следовательно, решить следующую задачу.
Задана. Зная сторону правильного многоугольника, вписанного
в окружность данного радиуса R, вычислить сторону правильного
описанного около той же окружности многоугольника
с тем же числом сторон.
Искомую сторону с’ находим непосредственно, замечая, что оба
многоугольника подобны и, следовательно, их стороны относятся
между собой как их апофемы. Так как апофема описанного многоугольника
равна /?, а вписанного равна jX R* — ^;, то искомая
сторона получается из пропорции
Мы показали, как вычислить сторону с правильных вписанных
многоугольников с всё бблыиим и большим числом сторон; предыдущая
пропорция позволяет вычислять стороны соответствующих
описанных многоугольников.
181. Можно также, зная сторону с правильного многоугольника, вписанного
в окружность радиуса R, получить сразу сторону сх и апофему ах правильного
многоугольника с удвоенным числом сторон, вписанного в ту же
окружность (что даёт сторону соответствующего описанного многоугольника
без нового квадратного корня), с помощью следующего приёма.
Пусть С’ — точка, в которой продолженный радиус ОС пересекает
окружность (черт. 180); треугольник АСС’ — прямоугольный и даёт (п. 123,
примечание)
АС ■ АС’ = СС’ ■ AH = 2R = Rc
и, с другой стороны,
АС2 + АС12 = CC’S = 4/?3.
170 Метод периметров.
Умножим первое равенство на 2 и прибавим его ко второму; получим:
АС2 + АС’2 + 2АС • АС’ = (АС + АС’)2 = 4R2 + 2Rc.
Таким образом,
ЛС + ЛС’=: J/»4tf2 + 2/?c=2|/
Если после умножения первого равенства на 2 мы вычтем его из второго,
то получим:
АС2 + АС’2 — 2АС • АС = (АС’ — АС)2 = 4R2 — 2Rc.
Таким образом:
AC’-AC=VAR^Wc = 2y —-i).
Складывая и вычитая почленно эти два равенства, получим:
лс=У д ( д + 4) — у Л д ( « — 1) ;
АС = У R [ R + i r ) + Y r ( r — { ) ,
что даёт ответ на поставленный вопрос, так как отрезок АС равен искомой
стороне Ci и АС’ — удвоенной апофеме аь
Итак, мы знаем теперь, как вычислить хорду половины каждой из двух
дуг, которые стягивает данная хорда в окружности данного радиуса
171 Метод периметров.
Околоadmin
