Длина дуги окружности

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Длина дуги окружности

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве

179. Определение. Длина дуги окружности есть предел, к которому
стремится длина выпуклой ломаной, вписанной или описанной,
концами которой служат конечные точки дуги и длины всех сторон
которой неограниченно уменьшаются.
Существование такого предела доказывается с помощью тех же
рассуждений, которые были применены для длины всей окружности»
Рассматривают сначала правильную ломаную, вписанную или описанную,
число сторон которой неограниченно удваивается; после этого
рассматривают произвольную ломаную *)*

*) Этот способ доказательства можно распространить на любую выпук*
лую дугу Л, т. е. такую дугу, что никакая её часть не пересекается с со*
ответствующей ей хордой. Для этого достаточно, чтобы любому числу т
(сколь угодно близкому к 1) можно было поставить в соответствие такую
длину s, что для любой части дуги Л, концы которой находятся друг от
друга на расстоянии, меньшем е, отношение хорды аЪ к сумме отрезков
касательных ас-\-Ьс (черт. 179) заключалось между т и 1: это условие (как
доказывается в курсах анализа бесконечно малых) всегда выполняется в
силу известных предположений относительно тех кривых, которые прихо-

167 Длина дуги окружности.

Любая дуга окружности длиннее соответствующей ей хорды,
так как она служит пределом ломаных, которые все длиннее этой
хорды и периметры которых возрастают. По аналогичной причине
эта дуга короче всякой объемлющей её ломаной, имеющей с ней
общие концы *).
Отношение дуги окружности к соответствующей хорде стремится
к единице, когда дуга стремится к нулю (если окружность
остаётся постоянной). Действительно, длина дуги а!Ьг (черт. 178)
заключена между длиной соответствующей хорды и периметром
ломаной а!А!Ь\ образованной касательными в её концах; отношение
этих двух величин стремится, как мы видели (п. 177), к единице,
когда дуга a’bf неограниченно убывает.
179а. Две равные дуги имеют одинаковую длину, так как ломаные,
служащие для определения их длин, могут быть выбраны соответственно
равными друг другу. Сумма двух дуг имеет своей длиной
сумму длин этих дуг, так как ломаные, вписанные в каждую из
этих дуг, образуют вместе ломаную, вписанную во всю дугу.
Итак, согласно основному положению, на которое мы уже несколько
раз ссылались, отношение длин двух дуг одной и той же
окружности равно отношению самих дуг (п. 17). В частности эти
длины относятся между собой как числа, измеряющие эти дуги
в градах (п. 18а) или в градусах.
Так как длина окужности радиуса R равна 2kR и эта окружность .
содержит 360 градусов, то длина дуги в один градус равна щ.
Дуга в одну минуту имеет длину в 60 раз меньшую, а именно
«Л» О л* О
1о7Ж; дУга в 0ДНУ секУндУ — 180.60 • 60 •

дится рассматривать. При этом (как и в п. 177) отношение периметра вписанной
ломаной к периметру соответствующей описанной ломаной необходимо
стремится к 1, когда число сторон неограниченно возрастает таким
образом, что каждая из них стремится к нулю.
Существование предела доказывается сначала для такой последовательности
ломаных, что вершины каждой ломаной принадлежат к числу вершин
последующей ломаной (рассуждение, применённое в
п. 176); далее переходят к общему случаю, как в п. 177.
, , Невыпуклую дугу можно разбить на несколько
выпуклых дуг.
/ *) Это рассуждение, очевидно, распространяется
Чеот 179 на длины ДУГ произвольных кривых, определяемые
Р * с помощью рассуждений, приведённых в предыдущей
сноске. В частности, прямая линия представляет собой
кратчайшее расстояние между двумя точками. Выпуклая дуга (см. предыдущую
сноску) короче любой (ломаной или кривой) линии, объемлющей
эту дугу и имеющей с ней общие концы.

168 Длина дуги окружности.

Следовательно, длина дуги окружности радиуса R, содержащая
градусов, п минут, р секунд, равна

169 Длина дуги окружности.

Околоadmin