Длина окружности. Отношение длиныокружности к диаметру
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР
Знаки отрезков
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР
Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве
176. Теорема. Пусть Р—периметр правильного описанного
около окружности многоугольника, р — периметр правильного
вписанного в ту же окружность многоугольника с тем же числом
сторон. Если безгранично удваивать число сторон, то Р и р стремятся
к одному и тому же пределу L.
Пусть a b e d . . . (черт. 177) — вписанный в окружность многоугольник
и ABCD… — описанный многоугольник, стороны которого имеют
своими точками касания вершины первого многоугольника. Удвоим
число сторон этих многоугольников, деля на две равные части каждую
из дуг ab, be, cdy … так, чтобы образовался новый правильный
вписанный многоугольник aebfeg… и соответствующий новый
описанный правильный многоугольник EFGHKL.. . (черт. 177). Поступим
с новыми многоугольниками так же, как с первоначальными,
и так далее до бесконечности.
Я утверждаю, что периметры р вписанных многоугольников и периметры
Р описанных многоугольников стремятся к общему пределу.
Мы докажем это, основываясь на следующих соображениях:
1°. Периметры р возрастают; например, многоугольник aebfeg…
имеет больший периметр, чем многоугольник abed. . . , так как последний
многоугольник лежит внутри первого.
164 Длина окружности.
2°. Периметры Р убывают; например, многоугольник EFGHKL…
имеет меньший периметр, чем многоугольник ABC. . . , так как первый
многоугольник лежит внутри второго.
3°. Любой периметр р меньше любого периметра Р, так как всякий
вписанный многоугольник лежит внутри любого описанного
многоугольника.
Величина р постоянно возрастает, оставаясь всё время меньше
некоторого постоянного значения (именно меньше какого-либо из
значений Р)у и, следовательно, стремится к пределу.
Точно так же величина Р постоянно убывает, оставаясь всё время
больше определённого значения (именно больше какого-либо из
значений /?), и, следовательно, также стремится к пределу1).
Оба эти предела равны. Действительно, два правильных многоугольника,
вписанный и описанный, с одинаковым числом сторон —
подобны, и их периметры относятся, как их апофемы. Апофема описанного
многоугольника равна радиусу R данной окружности, так что
р а *
где а обозначает апофему вписанного многоугольника.
Но при неограниченном удвоении числа сторон апофема а стре-
миться к R. Таким образом, предел отношения —Р , т. е. отношение
обоих предыдущих пределов, равен 12).
*) Автор предполагает известными следующие предложения теории пределов:
Если переменная величина возрастает, оставаясь всё время меньше некоторого
постоянного числа, то эта величина стремится к некоторому пределу.
Если переменная величина убывает, оставаясь всё время больше некоторого
постоянного числа, то эта величина стремится к некоторому пределу.
Прим. ред. перевода.
2) Автор точно так же предполагает известным следующее предложение:
Предел отношения двух переменных величин равен отношению пределов
этих величин, если предел второй из них не равен нулю. Прим. ред. перевода,
165 Длина окружности.
177. Я утверждаю теперь, что периметр всякого выпуклого многоугольника,
вписанного или описанного х), все стороны которого
неограниченно убывают, также стремится к пределу L, рассмотренному
в предыдущей теореме.
В частности, этот предел не зависит от выбора исходного правильного
многоугольника abed …
Действительно, пусть а!ЬгсТ . . . (черт. 178) — какой-либо вписанный
многоугольник, АГВ\ .. —выпуклый описанный многоугольник, образованный
касательными в точках а!, Ь\
с\ . . . ; и пусть рт и Рг — периметры этих
двух многоугольников.
Рассмотренный в предыдущем пункте
предел L заключён между рг и Р’, так
как //, например, меньше какого-либо
из периметров Р, рассмотренных в предыдущем
пункте и имеющих своим пре-
Черт. 178.
делом L, так что мы имеем: p r ^ L \
точно так же находим, что Pr > L.
С другой стороны, прямая О А’ пересекает сторону а!Ьг в её середине
Ну и из прямоугольных треугольников Оа Н и ОагА’, которые
подобны как имеющие общий острый угол, мы имеем:
а’А’ + А’Ь’ _а’А’ _ R
а’Ь’ ~ а’Н — ОН *
Точно так же
Ь’В’ + В’с’ __ R
b’c’ — ОК’
(где К обозначает середину стороны brcr) и т. д.
Рассмотрим левые части всех этих равенств и возьмём сумму
числителей и сумму знаменателей: мы получим, таким образом, отношение,
заключённое между наибольшим и наименьшим из первоначальных
отношений, так что
где / заключено между наибольшим и наименьшим из значений -qjj,
R
О К ’ » ‘ ‘
Если теперь многоугольник изменяется так, что все его сторону
неограниченно уменьшаются, то все расстояния, аналогичные О//, стре^
мятся к ‘R и все отношения -5-,О -5Н— ^кО1.К Т оЛ ж Vе самое относится
н к
В ‘
г) При этом, однако, предполагается! что окружность расположена ену-s
три описанного многоугольника,
166 Длина окружности.
а’А’ + А’Ь’ _а’А’ _ R
а’Ь’ ~ а’Н — ОН *
Точно так же
Ь’В’ + В’с’ __ R
b’c’ — ОК’
(где К обозначает середину стороны brcr) и т. д.
Рассмотрим левые части всех этих равенств и возьмём сумму
числителей и сумму знаменателей: мы получим, таким образом, отношение,
заключённое между наибольшим и наименьшим из первоначальных
отношений, так что
где / заключено между наибольшим и наименьшим из значений -qjj,
R
О К ’ » ‘ ‘
Если теперь многоугольник изменяется так, что все его сторону
неограниченно уменьшаются, то все расстояния, аналогичные О//, стре^
мятся к ‘R и все отношения -5-,О -5Н— ^кО1.К Т оЛ ж Vе самое относится
н к
В ‘
г) При этом, однако, предполагается! что окружность расположена ену-s
три описанного многоугольника,
167 Длина окружности.
Околоadmin
