Пятнадцатиугольник. ГЛАВА VII. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ. Часть 3.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Пятнадцатиугольник

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве
171.  Пятнадцатиугольник. Пусть
требуется вписать правильный выпуклый
пятнадцатиугольник. Мы сумеем вписать
этот многоугольник, если построены шестиугольник
и десятиугольник, с помощью
следующей теоремы.
Теорема. Дуга, стягиваемая стороной
правильного вписанного пятнадцатиуголь-
ника, есть разность дуг, стягиваемых сторонами шестиугольника
и десятиугольника.
Действительно, эта дуга равна одной пятнадцатой части окруж-
ности, а дробь *y 1g 1 р 1а вна разности -g- — jq.
Итак, строим в данной окружности с помощью циркуля от одной
и той же точки А (черт. 175)

хорды АВ и АС, равные соответ1)
Это же замечание позволяет, и обратно, свести вычисления, относящиеся
к многоугольнику с 4/2 4~ 2 сторонами, к вычислениям относящимся
к многоугольнику с 2п-\-\ сторонами. Действительно, многоугольник, имеющий
4/2 4-2 сторон, соответствует нечётному значению q (п. 164); поэтому
число 2/1-|-1—q будет чётным и соотношение 2р == 2/г 1—q определяет
целое число р, взаимно простое с 2/2 4-1, которому в свою очередь соответствует
многоугольник с 2п 4- 1 сторонами; достаточно вычислить сторону
и апофему этого последнего многоугольника. Так, выполнение вычислений
для пятнадцатиугольников (пп. 174 и 175) даст также и результаты, относящиеся
к тридцатиугольникам.

160 Пятнадцатиугольник. 

ственно стороне шестиугольника и стороне десятиугольника. ВС
будет искомой стороной.
Кроме правильного выпуклого пятнадцатиугольника, существуют
три звездчатых пятнадцатиугольника (п. 164), стороны которых стя-
2 4 7 ~
гивают соответственно дуги в yg» Y5 и 15 0КРУЖН0СТИ* ^ти ДУГИ>
которые, очевидно, можно получить из первого пятнадцатиугольника,
получаются, впрочем, построениями, совершенно аналогичными
построению выпуклого пятнадцатиугольника.

Дуга, стягиваемая стороной первого звездчатого пятнадцатиугольника,
равна разности дуг, стягиваемых стороной звездчатого
десятиугольника и стороной шестиугольника.
Дуга, стягиваемая стороной второго звездчатого пятнадцатиугольника,
равна сумме дуг, стягиваемых стороной выпуклого
десятиугольника и стороной шестиугольника.
Дуга, стягиваемая стороной третьего звездчатого пятнадцати-
угольника, равна сумме дуг, стягиваемых стороной звездчатого
десятиугольника и стороной шестиугольника.

В самом деле, имеем:
2_ J5______ 1_ ±_J_ I _L _1 — Ail
15““ 10 6’ 15 10 * 6’ 15 10 ‘ 6*
172. Вообще, если мы умеем вписать правильные многоугольники с
тип сторонами, где числа тип — взаимно простые, то мы умеем вписать
и правильный многоугольник с тп сторонами.
Действительно, стороны двух известных многоугольников стягивают
дуги, соответственно равные одной т-й и одной п-й части окружности.
Откладывая л; раз подряд первую дугу и отнимая у раз вторую, получаем
дугу, стягиваемую стороной искомого многоугольника, если целые числа х
и у удовлетворяют равенству
т п тп ’
или
пх — ту = 1.
Как известно, это равенство невозможно, если тип имеют общий
делитель, но если тип — числа взаимно простые, то всегда можно найти
два целых числа х и у, которые ему удовлетворяют.
Например, правильные двенадцатиугольники вписываются непосредственно
с помощью квадрата и треугольника, так как = ———————————•
12 о 4
1_
12 «“3 4
В примечании к п. 170 рассматривается частный случай этого положения,
когда из двух чисел тип одно равно двум, а другое — число не-
чётное.

чётное.
173. Г а у с с доказал, что с помощью линейки и циркуля можно вписать
в окружность любой правильный многоугольник, число сторон которого есть
простое число вида 2^ —J— 1. Таким образом, мы сможем вписать правиль-

161 Пятнадцатиугольник. 

ные треугольник ( 2 + 1 = 3 ) и пятиугольник (22 + 1 = 5), далее идут многоугольники
с 17 (= 24 + 1), 257 (= 28 + 1) и т. д. сторонами *).
Это предложение в соединении с теми, которые мы ранее доказали,
показывает, что можно вписать с помощью линейки и циркуля правильный
многоугольник с N сторонами, если число N, разложенное на простые множители,
содержит только: 1) простые множители вида 2 я + 1 , различные
между собой, и 2) множитель 2 в какой-либо степени. Доказывается, обратно,
что нельзя вписать многоугольник с помощью линейки и циркуля, если
число N не принадлежит к той категории, которую мы определили.
Таким образом, правильный многоугольник с 170 (=2 * 5 — 1 7 ) сторонами
может быть вписан, но не может быть вписан многоугольник с 9 сторонами,
так как число 9 хотя и равно степени 2, увеличенной на 1, но оно
не есть число простое, с другой стороны, хотя простые его множители, из
которых оно составлено (9 = 3 • 3), имеют вид 2п1, но они равны между
собой.
174. Чтобы вычислить сторону правильного выпуклого пятнадцати-
угольника, вписанного в окружность радиуса R, положим, что АВ и
АС (черт. 175) — соответственно стороны вписанного шестиугольника
и десятиугольника, так что ВС — искомая сторона. Из точки А опустим
на прямую ВС перпендикуляр АН; имеем ВС==ВН—СН.
Но угол АВН, как вписанный угол, опирающийся на дугу АС,
равен половине центрального угла, соответствующего стороне десятиугольника,
так что отрезок ВН равен апофеме выпуклого десятиугольника,
вписанного в окружность радиуса АВ; отсюда, так как AB — R)
ВН = ^УТо + 2/5-= £|Ло + 2/f.
Точно так же угол АСН, равный вписанному углу, опирающемуся
на дугу АСВ (так как оба эти угла — пополнительные углу АСВ)У
равен половине центрального угла, соответствующего стороне правильного
шестиугольника, так что СН есть апофема правильного
шестиугольника, вписанного в окружность радиуса АС, т. е.
СН=АСЦ = И
и, следовательно,
ВС=~ ]Ло-]f-2/5-—/3(/5”—1)J.
Ясно, что последний метод применяется каждый раз, когда тре-
буется решить следующую задачу: даны хорды двух дуг окружности
данного радиуса; найти хорду дуги, равной их разности.
В частности, чтобы вычислить сторону первого звездчатого пятна-
дцатиугольника, мы повторяем то же самое рассуждение, заменяя сторону
и апофему выпуклого десятиугольника стороной и апофемой
1) Пользуясь тем, что сумма одинаковых нечётных степеней делится без
остатка на сумму оснований, легко доказать, что для того, чтобы 2п -f- 1
было простым числом, необходимо, чтобы п было степенью двух (однако
это условие недостаточно).

162 Пятнадцатиугольник. 

звездчатого десятиугольника. Следовательно, искомая сторона будет
равна: # Г/_лг
4′ £(]/5 *-)- l) |/3 — |Ло |/5 J.
Пусть теперь требуется вычислить сторону второго звездчатого
пятнадцатиугольника.
Пусть АВ и АС — стороны шестиугольника и выпуклого десятиугольника,
но отложены в данном случае на окружности в противоположных
направлениях, так что ВС есть
искомая сторона (черт. 176).
Из точки А опустим снова перпендикуляр
АНГ на ВС. Отрезки ВН7 и СН7 равны —
один апофеме выпуклого десятиугольника,
вписанного в окружность радиуса АВ, другой
— апофеме шестиугольника, вписанного
в окружность радиуса АС. Их сумма ВС
будет, таким образом, равна:
ВС’ == Щ/ю + 2 /5~ + /Г( /5 — 1)]. Ч^Гт
Ясно, что так следует поступать каждый раз, если требуется,
зная хорды двух дуг окружности данного радиуса, найти хорду
дуги, равной их сумме.
В частности, мы найдём для стороны третьего звездчатого пятнадцатиугольника
значение
Я
4 (/5 + 1) /3 -\-у 10 — 2 /5
175. Можно вычислить апофему пятнадцатиугольника, зная его
сторону, но при этом потребуется извлечение нового квадратного
корня; вместо этого можно получить апофему (без такого извлечения
корня) приёмом, аналогичным приёму, использованному для
вычисления стороны.
На чертеже 175 мы проводим диаметр CD через точку С. Прямоугольный
треугольник BCD показывает нам, как и прежде, что
BD равна удвоенной искомой апофеме. Из точки А опускаем перпендикуляр
АК на BD. Так как угол ADB равен (как вписанный
угол) половине центрального угла, соответствующего стороне шестиугольника,
то отрезок DK равен апофеме шестиугольника, вписанного
в круг радиуса AD\ следовательно,
D K — A D v ± или
так как A D равна удвоенной апофеме правильного десятиугольника,
вписанного в данную окружность,

163 Пятнадцатиугольник. 

С другой стороны, угол ABD равен углу ACD, т. е. дополнению
половины центрального угла, соответствующего стороне правильного
десятиугольника, а следовательно, угол КАВ равен половине этого
центрального угла; поэтому отрезок ВК равен половине стороны
десятиугольника, вписанного в круг радиуса АВ, т. е.
ВК= АВ = R 4 4
Таким образом, искомая апофема будет:
в п ^ щ т =«|-/г^7^7г+()/5-_ ,)].
Аналогичное рассуждение даёт для апофемы первого звездчатого
пятнадцатиугольника значение:
Ц/ТУ] 0-2/Г+(/Г+1)];
для апофемы второго звездчатого пятнадцатиугольника — значение:
|[/Г|/Т0 + 27Г-(/Г-1)];
для апофемы третьего звездчатого пятнадцатиугольника — значение:
I [/Г/То^-2/Г-(/5″+1)].

164 Пятнадцатиугольник. 

Околоadmin