ТРАНСВЕРСАЛИ

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

ТРАНСВЕРСАЛИ

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве

192. Теорема. Если стороны ВС, СА, АВ треугольника ABC
(черт. 184) пересекаются с одной и той же прямой в точках а,
Ъ, с, то между отрезками, определёнными таким образом на
сторонах, имеем соотношение:
— — 1
аС’ ЪА’ сВ~ ‘ W
Чтобы это доказать, проведём через вершины треугольника до
пересечения с трансверсалью *) три прямые, параллельные какому-
*) Трансверсалью называется любая прямая, пересекающая стороны треугольника.
Прим. ред. перевода.

182 ТРАНСВЕРСАЛИ. 

одно и то же положительное направление.
Пусть а, р, ^ — расстояния вершин от трансверсали,
проведённым параллельным пря- ^
мым; имеем:
аВ р ЬС т с А
аС
откуда,
аВ
аС

JL _ _
Y г ЬА а 9 сВ~~ р ’
перемножая, получим:
ЬС с А _ftya_____ . jv
Ь А ‘ с В ~ тар ‘*

193.
JL _ _
Y г ЬА а 9 сВ~~ р ’
перемножая, получим:
ЬС с А _ftya_____ . jv
Ь А ‘ с В ~ тар ‘*
Обратная теорема
(теорема М е н е л а я). Если на
сторонах ВС, С А, АВ треугольника ABC взяты три точки а,
Ь, с, удовлетворяющие соотношению
аВ ЪС с А .
аС ‘ ЬА ‘ сВ~ ’ (2)
то эти три точки лежат на одной прямой.
Действительно, прямая ab пересекает сторону АВ в некоторой
точке сг так, что имеет место равенство:
аВ ЬС с’А
аС * ~ЬА * с’В
= 1.
Это равенство, при сравнении его с предыдущим, показывает,
что
сА с1 А
с В 7в
и что, следовательно, точки с и с совпадают.
Пр и м е ч а н и е . Эта теорема в сущности сводится к теореме,
доказанной в п. 144. Действительно, можно найти такие три отрезка
а, (3 и у (заданные по величине и по знаку), что имеют место
*) Если бы трансверсаль была параллельна стороне ВС, то точку а
следовало бы рассматривать как лежащую в бесконечности, а отношение
^c кiLак, равное 1. Искомое соотношение обратилось бы при этом
b А. с А.
в ТС7;? =С —/ Cб j, LтJ. е. в теорему п. 114. Если бы две стороны АВ и АС тре-
угольника сделались параллельными, то точка А лежала бы в бесконечности;
аВ ЬС сА аВ ЬС сА , сА
написав выражение —^ • — * т; в виДе «7^ • “л • гг » мы заменили бы — г аС ЬА сВ аС сВ ЬА ЬА
через 1 и получили бы теорему п. 117,

183 ТРАНСВЕРСАЛИ. 

равенства:
аВ |3 ЬС у
аС y ’ ЬА а
откуда в силу соотношения (2 ) следует
сА
сВ’ Р •
Вследствие этого три попарно гомотетичные фигуры, в которых
точки А, В, С будут тремя соответственными точками и а, |3, ? — тремя
соответственными отрезками,
будут иметь точки а, b, с центрами
подобия.

184 ТРАНСВЕРСАЛИ. 

Околоadmin