Свойство гармонических точек.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР
Свойство гармонических точек
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР
Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве
188. Если точка С взята на прямой АВ, то отношение С^ А отрицательно,
если точка С лежит между точками А и В, и положительно,
если точка С лежит вне отрезка АВ.
Поэтому существует только одна точка, которая делит данный
отрезок в определённом отношении, заданном по величине и по
знаку. Если точки С и D гармонически сопряжены относительно
179 Свойство гармонических точек.
концов отрезка АВ, то отношения ^ и ^ равны по абсолютной
величине и имеют противоположные знаки.
189. Пусть О —середина отрезка CD (черт. 183), концы которого
гармонически сопряжены относительно концов отрезка АВ,
При этом мы будем иметь:
ОС2 = О А • ОВ.
Действительно, определим точки А, В, С и D с помощью их
абсцисс относительно начала О.
Равенство ^4 = DA
СА
СВ’
DA
DB
ОС— О А
даёт
СВ DB ОВ — ОС
OA—OD
— О В — OD *
Составим одно отношение,
взяв сумму предыдущих членов
двух последних отношений и сумму их последующих членов,
и другое отношение, взяв разности тех же членов. Замечая, что
OD = — ОС, мы получим таким образом:
СА
‘ СВ:
DA
‘ DB:
ЮС
: 2 ОВ’
20 А
: 20С *
Итак, мы имеем следующую теорему.
Теорема. Половина прямолинейного отрезка есть среднее пропорциональное
между расстояниями середины отрезка до двух
точек, делящих его гармонически.
Мы видим, кроме того, что общее значение отношений ^
и рОаСвн о общем,у значению отношений —св И СА DA
Обратная теорема. Если от середины О отрезка CD от-
ложить в одном и том же направлении два отрезка О А и ОВ,
имеющие своим средним пропорциональным половину данного
отрезка, то точки А и В делят гармонически данный отрезок CD.
Действительно, из равных отношений ‘ОС О А qq — ‘qq получаются с помощью
сложения и вычитания предыдущих и последующих членов
отношения, им равные:
ОА — ОС__ ОА + ОС a
ОС — ОВ ОВ + ОС *
180 Свойство гармонических точек.
отсюда, принимая во внимание равенство OD = — ОС, имеем:
_ СА DA
СВ DB ’
Следствие. Если два отрезка гармонически сопряжены, то
окружность, описанная на одном из них, как на диаметре, пересекает
под прямым углом любую окружность, проходящую через
концы второго отрезка (черт. 183).
Действительно, квадрат радиуса первой окружности равен степени
её центра относительно второй окружности.
Обратно, если две окружности пересекаются под прямым
углом, то любой диаметр одной окружности делится гармонически
другой окружностью.
190. Если две прямые параллельны, то мы выбираем, вообще
говоря, одно и то же положительное направление на обеих прямых.
Благодаря этому соглашению мы можем сказать, что отношение
отрезков ВС и DE, отсекаемых сторонами некоторого угла на
двух параллельных секущих, равно по величине и по знаку отношению
отрезков АВ и AD, которые эти параллельные отсекают
на одной из сторон угла (черт. 123, 124 и 125, п. 117).
Это равенство было доказано в п. 117 для абсолютных величин
отрезков. Кроме того, оба отношения имеют один и тот же знак:
отрезки ВС и DE будут иметь одно и то же направление (черт. 123
и 124) или противоположные направления (черт. 125) одновременно
с отрезками АВ и AD.
Пусть в частности даны две гомотетичные фигуры; очевидно,
возможно считать их коэффициент подобия положительным или отрицательным,
смотря по тому, будет ли гомотетия прямой или обратной.
При этом коэффициент подобия равен по величине и по знаку
отношению двух каких-либо соответственных отрезков.
181 Свойство гармонических точек.
Околоadmin
