ДОПОЛНЕНИЯ К ТРЕТЬЕЙ КНИГЕ. Глава I. Знаки отрезков. Соглашение о знаках; основное тождество
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР
Знаки отрезков
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР
Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве
185. До сих пор |<ы измеряли прямолинейные отрезки существен^
но положительными числами. Однако если приходится сравнивать от-
резки, лежащие на одной и той же прямой, то оказывается предпоч-
тительным поставить^ соответствие этим отрезкам как положительные,
так и отрицательные числа, пользуясь некоторым соглашением, кото-
рое мы сейчас установим.
Выберем на рассматриваемой прямой Х’Х (черт. 182) раз навсег-
да определённое направление, которое назовём положительным на-
правлением, например направление Х’Х, показанное на чертеже стрел-
кой. Произвольному отрезку АВ мы ставим в соответствие чис-
ло, измеряющее его длину, взятое со знаком -}-, если этот от-
резок имеет положительное направление, и со знаком —, если он
имеет противоположное направление.
Следует заметить, что знак отрезка существенно зависит от по-
рядка, в котором заданы две его конечные точки, а именно
АВ = — В А.
186. Предыдущее соглашение позволяет писать некоторые соот-
ношения в форме, не зависящей от расположения рассматриваемых то-
чек.
Пусть, например, А, В, С — три точки на одной прямой; отре-
зок ВС равен сумме или разности отрезков АВ и АС, смотря по тому,
в каком порядке следуют друг за другом три точки. Если отрезки
задаются по величине и по знаку, то оба эти соотношения заме-
няются одним соотношением
АВ-\~ВС-{-СА = 0, A)
которое имеет место независимо от расположения данных точек.
Действительно, если, двигаясь по прямой ABC в положительном
направлении, мы встречаем эти точки в порядке А, В, С (как на
черт. 182), то отрезки АВ, АС и ВС положительны и мы имеем
ЛС= АВ-\-ВС, что равносильно соотношению A).
178 Соглашение о знаках; основное тождество.
Но это соотношение не изменится, если переставить две из вхо-
дящих в него точек; например, переставив В и С, имеем равенство
АС-\-СВ-\-ВА = 0,
эквивалентное предыдущему; следовательно, предыдущее равенство
верно, если порядок точек таков: А, С, В.
Далее известно, что с помощью последовательных перестановок
двух элементов можно изменить порядок элементов произвольным об-
разом. Следовательно, равенство A) верно во всех случаях.
Это равенство непосредственно распространяется на любое число
точек, лежащих на одной прямой. Например, пять точек А, В, С, D, Е
на одной прямой Х’Х дают равенство
АВ -\- ВС 4- CD -\- DE + ЕА — 0.
Чтобы его доказать, заметим, что искомое равенство доказано
для случая трёх точек. Следовательно, достаточно установить, что
если это равенство справедливо для некоторого числа точек, то оно
справедливо и для числа точек, на единицу большего. Мы можем по-
этому предположить, что оно уже доказано для случая четырёх то-
чек, и написать:
АВ + ВС 4- CD + DA = 0.
С другой стороны, три точки A, D, Е дают:
AD 4- DE 4- ЕА = 0.
При почленном сложении обоих равенств два члена DA и AD
уничтожаются, и получается искомое равенство.
187. Возьмём на прямой Х’Х некоторую неподвижную точку О
(черт. 182) и будем определять положение какоИ-либо точки с по-
мощью отрезка ОА, данного по величине и по знаку. Этот отрезок
называется абсциссой точки А относительно начала О. Очевидно,
что абсолютная величина и знак абсциссы вполне определяют поло-
жение точки А.
Если две точки А и В даны своими абсциссами относительно од-
ного и того же начала О, то расстояние АВ определяется равенст-
вом
АВ=ОВ — ОА,
которое эквивалентно равенству A) предыдущего пункта.
179 Соглашение о знаках; основное тождество.
Околоadmin
