ГЛАВА VII. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ. Часть 1.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР
Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве
160. Определения: Правильным многоугольником называется выпуклый
многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.
Правильной ломаной линией называется ломаная, у которой все стороны
равны и все углы равны и имеют одинаковое направление.
161. Теорема. Если разделить окружность на некоторое
число п равных частей, то:
1°. точки деления служат вершинами правильного многоугольника;
2°. касательные к окружности в этих точках служат сторонами
второго правильного многоугольника.
1°. Две последовательные стороны многоугольника, имеющего своими
вершинами точки деления, очевидно, симметричны относительно
радиуса, проведённого в их общую точку; два последовательных угла
этого же многоугольника симметричны относительно радиуса, перпендикулярного
к их общей стороне.
2°. Йва последовательных угла многоугольника, образованного
касательными в точках деления, очевидно, симметричны относительно
радиуса, перпендикулярного к их общей стороне; две последовательные
стороны этого же многоугольника симметричны относительно радиуса,
перпендикулярного к хорде, соединяющей их точки касания.
162. Обратная теорема. Всякий правильный многоугольник,
илиу общее, всякую правильную ломаную, можно вписать в одну
окружность и описать около другой окружности.
153 ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ.
Пусть, например, ABCDEF {черт. 170) — правильная ломаная. Опишем
около треугольника ABC окружность; центр О этой окружности
лежит на прямой, перпендикулярной к о т р е з к у и проходящей через
его середину. Я утверждаю, что эта окружность пройдёт также через
точку D. Чтобы это доказать, достаточно заметить, что стороны АВ
и CD симметричны одна с другой относительно прямой, перпендикулярной
к отрезку ВС и проходящей через его середину, потому что
отрезок, симметричный с В А, совпадает с CD по направлению (в силу
равенства углов при В и С) и по величине (так как В A —CD). Следовательно,
будем иметь OA = OD. Точно так же убедимся, что та
же самая окружность, описанная около треугольника BCD, проходит
через точку Е} и так далее.
Кроме того, стороны АВ, ВС и т. д., как равные хорды построенной
окружности, равно отстоят от её центра; следовательно, данную ломаную можно описать
около второй окружности с центром О.
Радиус этой второй окружности, или расстояние какой- либо стороны до центра, называется
апофемой правильной ломаной (или правильного многоугольника.)
многоугольника.)
П р и м е ч а н и е . Всякий
правильный многоугольник с
п сторонами может быть наложен на самого себя с помощью вращений
(а именно таких, угол которых измеряется целым числом п-х частей
окружности) и симметрий (симметрий относительно прямых,
перпендикулярных к сторонам многоугольника и проходящих через
их середины, и относительно биссектрис его углов).
163. Мы доказали существование бесчисленного множества правильных
многоугольников с каким-либо данным числом сторон я.
Докажем, что все эти многоугольники между собой подобны.
Теорема. Два правильных многоугольника с одинаковым числом
сторон подобны; коэффициент подобия равен отношению их
радиусов и отношению их апофем.
Действительно, два правильных многоугольника с одинаковым числом
сторон, вписанных в две равные окружности, очевидно, равны; они совмещаются,
если совместить обе описанные окружности и одну из вершин.
Итак, пусть даны два правильных многоугольника Р и Р\ вписанных
в окружности С и С’. Пересекая радиусы окружности С, проведённые
в вершины многоугольника Р, окружностью, концентричной с С
и равной С\ мы получим правильный многоугольник, гомотетичный
многоугольнику Р относительно центра окружности С и равный многоугольнику
Р\
П р и м е ч а н и е . В частности, углы всех правильных многоугольников
с одинаковым числом (п) сторон имеют одну и ту же величину.
154 ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ.
Легко вычислить эти углы. Так как сумма углов любого из этих многоугольников
равна 2nd — 4d, то каждый из них составит п-ю часть
этой величины и будет равен ^2—
164. Разделив окружность на п равных частей
, соединим одну из
делящих точек с точкой, отстоящей от неё на р делений, эту последнюю
точку — с точкой, отстоящей от неё также на р делений, и т. д.
до тех пор, пока мы снова не придём в одну из уже пройденных
делящих точек. Если точка Р будет первой из тех точек, в которую
мы придём во второй раз, то эта точка не может быть отличной от
той точки, с которой мы начали; действи- д тельно, если бы точка Р была концом стороны
NPy однажды уже пройденной, то мы пришли бы в точку N во второй раз
раньше, чем в точку Р.
Фигура, таким образом построенная,
представляет собой несобственный *) многоугольник
(п. 21, примечание) и называется
звездчатым правильным много-
угольником. Например, чертёж 171 изображает
звездчатый правильный пятиугольник,
полученный делением окружности
в точках А, В, С, Z), Е на пять равных частей и соединением этих точек
через два деления в порядке ACEBDA (я = 5; /? = 2).
Можно предположить числа п и р взаимно-простыми. В самом деле,
если бы эти числа имели общий наибольший делитель d, то всё происходило
бы так, как будто бы мы разделили окружность на ~ равных
частей и соединили делящие точки через каждые ^ делений.
Если пир — взаимно-простые числа, то звездчатый многоугольник
будет иметь точно п сторон. Действительно, так как каждая сторона
содержит р делений, то, построив k сторон, мы пройдём kp делений.
Мы вернёмся в исходную точку, когда мы пройдём целое число
окружностей, т. е. когда kp — число, кратное п. В арифметике доказывается,
что это обстоятельство наступает для некоторых значений k,
меньших /2, если число р — не взаимно-простое с числом п\ если, наоборот,
число р — взаимно-простое с числом я, то это обстоятельство
впервые наступает для k, равного п.
Итак, звездчатый многоугольник с п сторонами образуется, если
разделить окружность на п равных частей и соединить делящие точки
через каждые р делений, где р — любое целое число, взаимно-простое
с п и меньшее, нежели п. Однако каждый звездчатый многоугольник
получается, таким образом, двумя различными способами. Действительно,
если его сторона служит хордой дуги, содержащей р делений, то она
*) Если р не является делителем числа п; в противном случае многоугольник—
выпуклый. Прим. ред* перевода
155 ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ.
же будет и хордой дуги,, содержащей п — р делений. Так, например,
звездчатый многоугольник, изображённый на чертеже 171, получается
соединением делящих точек через каждые два деления или соединением
их через каждые три деления. В силу этого следует отбросить
половину значений /?, если мы хотим получить каждый многоугольник
только один раз. Значение р= 1 (и, следовательно, также значение
р = п—1) соответствует многоугольнику в собственном смысле
слова.
П р и м е р . Пусть п =15. Числами меньшими 15 и взаимно-просты-
ми с 15 будут, кроме 1 и 14, числа 2, 4, 7, 8, 11 и 13. При этом
нет надобности рассматривать значения р = 8, 11, 13, которые соответствуют
тем же многоугольникам, которые получаются при значениях
/7 = 7, 4, 2.
Таким образом, существует один правильный пятнадцатиугольник
в собственном смысле слова и три звездчатых пятнадцатиугольника.
165. Построение правильных многоугольников, вписанных
в данную окружность. Если мы умеем вписать в окружность
правильный многоугольник, то мы умеем и описать около той же
окружности правильный многоугольник с тем же числом сторон.
Этот последний образуется касательными к окружности в вершинах
вписанного многоугольника.
Если мы умеем вписать в окружность правильный много-
угольник, то мы умеем вписать и правильный многоугольник
с удвоенным числом сторон.
Для этого достаточно разделить на две равные части дугу,
стягиваемую стороной первого многоугольника.
166. 1°. Квадрат. Чтобы вписать в окружность О (черт. 172) квадрат,
достаточно провести два взаимно перпендикулярных диаметра АС
и BD: окружность разделится, таким
образом, на четыре равные части.
Предыдущее построение позволяет
далее построить правильный вписанный
восьмиугольник, далее правильный многоугольник
с 16, 32, … и вообще с 2п
сторонами.
Сто роиа квад рата,
круг радиуса R, равна
как из прямоугольного
АОВ (черт. 172) имеем:
АВ2 = АО2 -f ВО2 = 2R*.
Апофема правильного многоугольника,
сторона которого известна, вычисляется
по следующему правилу: квадрат апофемы равен квадрату радиуса
описанного круга без квадрата половины стороны. Это вытекает
из того, что апофема, половина стороны и радиус описанного
круга образуют прямоугольный треугольник.
156 ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ.
Итак, апофема а правильного многоугольника со стороной с,
вписанного в круг радиуса /?, равна
4.
Для квадрата эта апофема равна
«, = |/
Она равна половине стороны, что очевидно a priori.
167. 2°. Шестиугольник. Теорема . Сторона правильного вписанного
шестиугольника равна радиусу окружности. Пусть
(черт. 173)—сторона правильного шестиугольника,
вписанного в окружность
с центром О. Я утверждаю, что треугольник
ОАВ равносторонний.
Прежде всего этот треугольник —
равнобедренный. С другой стороны,
угол при точке О, заключающий между
своими сторонами шестую часть окруж-
ности, равен-тг4 d> или -~2-d. Остаётся,
следовательно, 2d — ^ для Черт. 173.
суммы углов при А и В. Так как эти два угла равны между собой,
2
то каждый из них равен yd. Рассматриваемый треугольник равноугольный
и, следовательно, равносторонний.
Апофема правильного вписанного шестиугольника равна
R]/_3
2
3°. Равносторонний треугольник. Соединяя через одну вершины
шестиугольника, получим вписанный равносторонний треугольник
АСЕ (черт. 173).
Сторона АС этого треугольника, будучи перпендикулярной к радиусу
ОВ, равна удвоенной высоте треугольника АОВ, т. е. (так
как три высоты равностороннего треугольника равны) удвоенной
апофеме шестиугольника, а потому с3 = /?]/зГ
В этом можно ещё убедиться, замечая, что точки В и Е диаметрально
противоположны ( как заключающие между собой у части
окружности у Следовательно, треугольник АВЕ — прямоугольный с
прямым углом при А, и сторона АЕ равна удвоенному перпендикуляру,
опущенному из середины О отрезка BE на сторону АВ.
157 ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ.
Апофема вписанного равностороннего треугольника равна аг—
Умея строить вписанный шестиугольник, можно построить вписанные
многоугольники с 12, 24, … и вообще 3 • 2п сторонами.
168.4°. Десятиугольник. Теорема. Сторона правильного вписанного
десятиугольника равна большему отрезку радиуса., разделённого
в среднем и крайнем отношении.
Пусть АВ (черт. 174)
— сторона правильного
десятиугольника, вписанного в
окружность с центром О. Угол при О равен
~ d, или \i-d. Сумма углов А и В
треугольника АВО равна, следовательно,
2d—-^d=-^d2, 8 и каждый из них равен
~ d. Проведём теперь биссектрису AI
Черт. 174. угла Л (/—точка пересечения этой биссектрисы
с ОВ), которая образует с ОА и
2
АВ углы в -^d. Угол AIB — внешний угол треугольника АЮ, равный
сумме двух внутренних не прилежащих к нему углов, равен в дан-
4
ном случае -g- d. Отсюда следует, что два треугольника AIB и АЮ —
равнобедренные и что АВ ==шА1= 01. На основании свойства биссектрисы
(п. 115) имеем:
01 _ОА 01 _ОВ
1В~~ АВ’ ИЛИ IB ~ 01’
что и доказывает теорему.
Следовательно, сторона правильного вписанного десятиугольника
определяется построением 9 (п. 156).
Эта сторона равна
а апофема десятиугольника:
aio = У R2 — R2 =^10 + 2/57
169. Кроме правильного выпуклого десятиугольника, существует
правильный звездчатый десятиугольник, который получается, если
соединить вершины первого через каждые две его вершины.
Стороны выпуклого десятиугольника и звездчатого десятиугольника
можно получить при помощи следующего предложения:
158 ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ.
Теорема. Разность сторон обоих правильных вписанных десятиугольников
равна радиусу, а их произведение равно квадрату
радиуса.
Пусть снова АВ (черт. 174) — сторона правильного выпуклого
десятиугольника, так что половина окружности AF разделена на
пять равных частей точками В, С, D, Е. AD — сторона звездчатого
десятиугольника; кроме того, прямая AD совпадает с биссектрисой
AI угла ОАВ, так как вписанные углы FAD и DAB отсекают на
окружности равные дуги. Радиус OD параллелен АВ, так как каждый
из внутренних накрестлежащих углов— /_ODA и /_DAB — равен
углу OAD; следовательно, треугольники AIB и DIO подобны,
и потому треугольник DIO, как и треугольник AIB, — равнобедренный
(сравнить п. 168). Отсюда имеем прежде всего:
AD — АВ = AD — AI = ID = OD.
Что касается соотношения
АВ . AD = AI. AD=OA\
то оно вытекает из подобия треугольников АЮ и AOD, имеющих
соответственно равные углы.
Итак, стороны двух правильных десятиугольников соответствуют
двум способам деления (внутреннему и внешнему) радиуса в среднем
и крайнем отношении (п. 156, построение 9).
Сторона звездчатого десятиугольника равна
cw=Rп ZV$—+ 1 j-—,
а его апофема:
alo=/ R*—R* (^J=_L)2 = * у ю _ 2 /Т.
170. 5°. Пятиугольник. Соединяя через одну вершины правильного
выпуклого десятиугольника, мы получаем правильный выпуклый
пятиугольник. Соединяя далее через одну вершины этого
правильного пятиугольника, или, что то же, соединяя вершины
правильного выпуклого десятиугольника через три, мы получаем
звездчатый правильный пятиугольник.
Сторона АС правильного выпуклого пятиугольника равна удвоенной
высоте треугольника АО В (черт. 174), выходящей из точки А.
Таким образом, её можно вычислить, зная сторону десятиугольника,
так как можно вычислить высоты треугольника, три стороны которого
известны. Однако проще заметить, что сторона выпуклого
пятиугольника равна удвоенной апофеме звездчатого десятиугольника.
Действительно, в этом можно убедиться либо из равнобедренного
треугольника АЮ, две высоты которого (т. е. половина
стороны выпуклого пятиугольника и апофема звездчатого десятиугольника)
равны, либо из прямоугольного треугольника ADF, сто
159 ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ.
рона DF которого равна стороне пятиугольника, а параллель к стороне
пятиугольника, проведённая через точку О, — апофеме звездчатого
десятиугольника. Следовательно, сторона и апофема правильного
выпуклого пятиугольника соответственно равны:
R
св = 2а,’о = §]/ 1 0 — 2 / 5 и а , = § ( /45 + 1 ) .
Точно так же убедимся из рассмотрения прямоугольного треугольника
ABF, что сторона звездчатого пятиугольника равна
удвоенной апофеме выпуклого десятиугольника, т. е.
5 = у|/Л10-]-2}/5, а его апофема: Я5==~(|/5- 1).
П р и м е ч а н и е . Аналогичное рассуждение доказывает вообще, что
вычисление стороны и апофемы многоугольника (выпуклого или звездчатого),
полученного делением окружности на 2п-\-\ равных частей и последовательным
соединением делящих точек через каждые р делений, приводится к вычислению
апофемы и стороны многоугольника, полученного делением окружности
на 4/2 -f- 2 равных частей и последовательным
соединением делящих точек через каждые q
делений, если число q связано с числом р равенством1
160 ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ.
Околоadmin
