Локальные, нетеровы и артиновы модули

183 Локальные, нетеровы и артиновы модули. 

16.17. Пусть M = x1R + … + xnR. Существует гомоморфизм f: RR ^ M, при котором f (a1,… , an) = x1a1 + … + xnan.
Поскольку f сюръективен, то (Rn/I)r = M. Если теперь R — нетерово (артиново) кольцо, то нетеров (артинов) R-модуль
Rn. Следовательно, нетеров (артинов) модуль (Rn/I)r.
16.20. Пусть f 6 S. Тогда существует n 6 N со свойством M = Im fn ф Ker fn. Откуда Ker fn = 0, либо Im fn = 0. Условие
Ker fn = 0 влечет, что f — мономорфизм, значит, f — автоморфизм, т.е. f обратим. Условие Im fn = 0 влечет fn = 0.
Следовательно, 1 — f обратим. Поэтому S — локальное кольцо, каждый необратимый элемент которого по доказанному
нильпотентен.
16.21. а) Пусть M артинов и Г — множество всех прямых слагаемых B = 0 в M. Так как M Г, то Г = 0. Пусть Bo —
минимальный подмодуль из Г, Bo неразложим. Обозначим через Л множество всех подмодулей G С M, для которых существует
конечное число неразложимых модулей B1,… , Bk = 0 таких, что M = B1 ф … ф Bk ф G. Пусть Go — минимальный
подмодуль из Л. Ясно, что Go не может быть ненулевым разложимым модулем. Для нетеровости рассуждения двойственны
к вышеприведенным.
б) вытекает из а) и из предыдущего упражнения.
16.22. M — прямая сумма бесконечного числа неизоморфных простых модулей.
16.29. а) Пусть N — максимальный нильпотентный правый идеал, Nk = 0. Если Nm = 0, то (N + N1)k+m = 0. Поэтому
N — наибольший нильпотентный правый идеал, N содержится в первичном радикале rad R. Кроме того, N — двусторонний
идеал. Действительно, если r R, то rN — нильпотентный правый идеал, значит, rN С N. Если теперь A —правый идеал со
свойством An С N для некоторого n N, то A — нильпотентный правый идеал, значит, A С N. Отсюда следует, что rad R С
N, т.е. N = rad R. Пусть теперь N — левый ниль-идеал. Достаточно показать, что N С rad R. Предположим сначала, что
rad R = 0, т.е. R — полупервично. Если N = 0, то выберем 0 = x N, для которого r(x) являе(тся макс)имальным, и пусть
y R, yx = 0, а к N — наименьшее со свойством (yx)k = 0. В силу максимальности r(x) = r (yx)k-1 , откуда yx r(x),
т.е. xyx = 0. Таким образом, xRx = 0. Поскольку R полупервично, то x = 0, т.е. N = 0. Переходя к общему случаю, заметим,
что образ левого ниль-идеала N при каноническом гомоморфизме в нетерово справа кольцо R/ rad R в силу показанного
выше равен нулю. Следовательно, N С rad R.
б) вытекает из а).
16.30. 1) Так как J (N/J(N)) = 0, то можно считать, что J(N) = 0. Поэтому в силу артиновости N найдутся такие его
максимальные подмодули F1,… , Fn, что FlП.. ^Fn = 0. Поэтому N изоморфен подмодулю конечной прямой суммы простых
модулей N/Fi, значит, N сам представим в таком виде.
2) есть следствие 1).
16.31. 1) Среди степеней радикала J(R) найдется наименьший идеал, скажем, B = J(R)n. Откуда B2 = B. Допустим, что
B = 0. Пусть A — минимальный элемент в множестве правых идеалов C со свойством C С B и CB = 0. Тогда aB = 0 для
некоторого a A. Так как (aB)B = aB2 = aB = 0, то aB = A, значит, ab = a для некоторого b B. Поскольку b J(R),
то существует c R, для которого (1 — b)c = 1. Откуда a = a(1 — b)c = 0, противоречие. Следовательно, радикал J(R)
нильпотентен, он является идеалом, содержащим любой другой нильпотентный идеал.
2) Согласно а) R/J(R) — классически полупростое кольцо, поэтому по 15.84 J(M) = MJ(R) (соответственно, J(M) =
J(R)M). Далее, J(R)n = 0. Поэтому если M = U + MJ(R), то M = U + MJ(R)n = U, т.е. J(M) = MJ(R) — малый
подмодуль в Mr.
16.32. Достаточно доказать эквивалентность а) б). Положим для краткости U = J(R), и определим для каждого
модуля M число e(M) формулой e(M) = min{i 6 N \ MUi = 0}. Такое число существует, так как U — нильпотентный идеал.
Докажем эквивалентность а) б) индукцией по e(M) для всех M =0.
Пусть e(M) = 1, т.е. MU = 0. Полагая m(r + U) = mr, превращаем M в R = R/U-модуль, причем R-модули совпадают с
R-модулями. Поэтому из полупростоты R следует полупростота модуля M, для которого условия а) и б) равносильны.
Пусть теперь утверждение доказано для всех модулей с e(M) ^ к, и пусть e(M) = к +1. Тогда e(MUk) = 1. Так как
(M/MUk)Uk = 0, то e(M/MUk) < к. Поэтому условия а) и б) равносильны для MUk и M/MUk, но тогда а) и б) равносильны
и для M.
16.34. (^). Вместе с M конечно порожден и любой его эпиморфный образ. Пусть J(M) + U = M. Если U = M, то так
как M конечно порожден, U содержится в некотором максимальном подмодуле B, откуда J(M) + U С B. Противоречие.
Следовательно, J(M) мал в M.
(^). Пусть xi = xi + J(M) (i = 1,… , n) — система образующих для M/J(M). Тогда x1R + … + xnR + J(M) = M. Так как
J(M) мал в M, то x1R + . . . + xnR = M.
16.36. (^). Покажем, что каждый ненулевой подмодуль U модуля M содержит простой подмодуль E (следовательно, U П
Soc M = 0). Пусть Г = {Ui \ i 6 I} — множество всех ненулевых подмодулей модуля U. Упорядочим Г так, что Ui ^ Uj в
точности тогда, когда Uj С Ui. Пусть Л = {Aj \ j 6 J} — произвольное вполне упорядоченное подмножество в Г. Поскольку
D = Р|jej Aj = P| ej0 Aj для некоторого конечного подмножества Jo С J, то D = 0 и, следовательно, является верхней
гранью для Л в Г. По лемме Цорна в Г существует максимальный элемент E. Ясно, что E — простой подмодуль в U.
(^). Из Рiei Ai = 0, где Ai — подмодули в M, следует, что Рiei Soc Ai = 0. Поскольку Soc Ai С Soc M и Soc M конечно
копорожден, существует конечное подмножество Io С I такое, что iei0 Soc Ai = 0. Следовательно,
0 = llieio Soc Ai = Hieio(Ai П Soc M) = (Г^ю Ai) П Soc M.
Так как Soc M — существенный подмодуль, то iei0 Ai = 0.

184 Локальные, нетеровы и артиновы модули.