ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КНИГА ВТОРАЯ . ОКРУЖНОСТЬ. ГЛАВА III. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ ОКРУЖНОСТЕЙ.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ ОКРУЖНОСТЕЙ

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве
Ниже посмотрите текст для быстрого ознакомления(формулы отображаются не корректно):

68. Две окружности не могут иметь более двух общих точек
по теореме п. 57.
Теорема. Если две окружности пересекаются, то прямая,
соединяющая их центры, перпендикулярна к общей хорде и делит
её на две равные части. Если они имеют только одну общую
точку, то эта точка лежит на линии центров, и обратно.
В самом деле, линия центров обеих окружностей является их
общей осью симметрии. Если две окружности пересекаются в некоторой
точке, не лежащей на линии центров, то второй их общей точкой
будет точка, симметричная с первой относительно линии центров.
Если общая точка — единственная, то она необходимо должна
лежать на линии центров.
Обратно, если имеется общая точка, лежащая на линии центров,
то эта точка будет единственной общей точкой. Действительно, вторая
общая точка окружностей лежала бы либо на линии центров,
либо вне её: в первом случае обе окружности имели бы общий
диаметр, во втором случае существовала бы и третья точка пересечения.
В обоих случаях окружности совпадали бы между собой.
69. Говорят, что две кривые касаются друг друга, если они
имеют общую касательную в их общей точке.
‘На основании предыдущей теоремы это определение в случае
двух окружностей сводится к следующему:
Две окружности касаются друг друга, если они имеют только
одну общую точку, потому что общая точка, через которую проходит
общая касательная к окружностям, необходимо является точкой
линии центров, и обратно
(п. 58, следствие).

70. Пусть О, Ог — центры
двух окружностей, радиусы
которых R, Rr; предположим
для определённости, что
/?r=g/?.
При этом могут иметь место
следующие пять случаев:
l°.OOf >/? + /?’ (черт. 71).
Предположим, что М —
точка, лежащая на окружности
О1 или внутри её, так что OrM < Rf. Тогда (на основании п. 26,
следствие) будем иметь: ОМ S OOf — О’М ^>R -f- Rr — OrM R.
Таким образом, всякая точка, взятая внутри или на второй окружности,
является внешней по отношению к первой, а всякая точка внутри
или на первой окружности — внешней по отношению ко второй.
Две окружности, как говорят, расположены одна вне другой.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ ОКРУЖНОСТЕЙ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

2°. OOr = R-\-Rr. В таком случае 00′ можно рассматривать как
сумму двух отрезков ОЛ и О’А (черт. 72), соответственно равных R
и R!. Точка А — общая; кроме того, ко всякой другой точке можно
применить предыдущие рассуждения. Следовательно, окружности
касаются друг друга внешним образом.

3°. R -j- R! OOf R — Rr. В этом случае R заключается между
суммой и разностью двух отрезков ООг и Rr.
Таким образом, из двух точек А и В, в которых окружность О
пересекает линию центров, одна внешняя, а другая—внутренняя относительно
окружности—О'(черт. 73); отсюда следует, что окружность О,
представляющая собой линию, идущую из точки А в точку В, встретит
вторую окружность в точке, отличной от А и В, т. е. в точке,
не лежащей на линии центров. Следовательно, обе окружности имеют
две общие точки. Окружности называются пересекающимися.
4°. OOr = R — Rr. В этом случае 001 можно рассматривать как
разность двух отрезков О А и О1 А (черт. 74), соответственно равных

R и R\ Точка А их линии центров — общая, так что окружности
касаются.
Пусть М — точка, лежащая на окружности Ог или внутри этой
окружности. Мы будем иметь
ОМ g OOr + О’М g OOr + Rr,
т. е. ОМ < R.

74 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ ОКРУЖНОСТЕЙ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Круг О’ целиком, за исключением только точки А, находится
в этом случае внутри круга О. Окружности касаются друг друга
внутренним образом.
5°. 00′<^R— R’ (черт. 75). Пусть снова М— точка, находящаяся
внутри или на окружности О’.
Тогда получим:
ОМ ^ 00’ + О’М ^ 00′ -f- R’ < R.
Следовательно, круг О’ полностью находится внутри круга О.
Две окружности лежат одна внутри другой.
71. Перечисленные выше случаи охватывают все возможности.
Отсюда следует, что предложения, обратные предыдущим заключениям,
также справедливы. Например, если две окружности пересекаются, то
расстояние их центров заключается между суммой радиусов и их
разностью; действительно, если бы это расстояние было больше
суммы радиусов, то окружности лежали бы одна вне другой; если
бы это расстояние было равно той же сумме, то обе окружности
касались бы друг друга внешним образом, и т. д.
Впрочем, каждое из этих положений можно доказывать и непосредственно.
Так, в случае пересекающихся окружностей точка пересечения
образует с двумя центрами треугольник, и теоремы п. 26
приводят к предыдущему заключению.
Итак, мы можем сформулировать следующую теорему.
Теорема. 1°. Если две окружности расположены одна вне
другой, то расстояние между их центрами больше суммы радиусов,
и обратно.
2°. Если они касаются друг друга внешним образом, то расстояние
между их центрами равно сумме радиусов, и обратно.
3°. Если они пересекаются, то расстояние между их центрами
заключается между суммой радиусов и их разностью, и обратно.
4°. Если они касаются друг друга внутренним образом, то
расстояние между их центрами равно разности радиусов, и обратно.
5°. Если одна окружность лежит внутри другой, то расстояние
между их центрами меньше разности радиусов, и обратно.
Можно сказать ещё и так: дзе окружности находятся одна вне
другой, одна внутри другой, пересекаются или касаются друг
друга, смотря по тому, отсекают ли они на линии центров
отрезки, из которых один лежит вне другого, внутри другого
пли один частично перекрывает другой, или, наконец, оба отрезка
имеют общий конец.
72. Если две окружности, вначале пересекающиеся, изменяются
таким образом, что становятся касательными в точке А, то их точки
пересечения неограниченно приближаются одна к другой и к точке А
(см. упр. 55).
Поэтому, как и выше (п. 67), говорят, что две окружности, ка-
сающиеся друг друга, имеют две общие точки, слившиеся между
собой.

75 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ ОКРУЖНОСТЕЙ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

УПРАЖНЕНИЯ
55. Пусть О — центр окружности радиуса R; О* — центр другой окружности
радиуса R\ которая пересекает первую окружность; А — одна из
точек, в которых прямая ООг пересекает окружность О; В— произвольная
точка, взятая на этой же самой окружности, и в частном случае сколь
угодно близко от А.
Показать, что:
1°. в том случае, когда точка О’ лежит на продолжении отрезка О А за
точку А, одна из точек пересечения обеих окружностей лежит на меньшей
дуге АВ, если разность R + R*— OOf меньше ОВ + О’В—ООг;
2°. в том случае, когда точка О1 лежит на самом отрезке ОА, то же
обстоятельство имеет место, если разность 00’— (R— R’) меньше разности
OO’ — iOB — O’B);
3°. в том случае, когда точка Of лежит на продолжении отрезка О А за
точку О, то же обстоятельство имеет место, если разность 00′ — (R’ — R)
меньше разности 009 — (ОгВ — ОВ),
56. Найти наименьший и наибольший отрезки, которые можно провести
между двумя окружностями.
57. Найти геометрическое место центров окружностей данного радиуса,
касающихся данной окружности.
58. Если через точку прикосновения двух касающихся окружностей
провести произвольную прямую, то она пересечёт обе окружности в двух
других точках, таких, что радиусы, проведённые в эти точки, параллельны
между собой (доказать).
59. Две окружности, касающиеся друг друга внутренним образом,
остаются касающимися друг друга, если, не изменяя положения центров,
увеличить или уменьшить оба радиуса на одну и ту же величину (доказать).
Две окружности, касающиеся друг друга внешним образом, остаются
касающимися друг друга, если, не изменяя положения центров, уменьшить
один из радиусов и увеличить другой на ту же самую величину (доказать).

76 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ ОКРУЖНОСТЕЙ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Околоadmin