ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КНИГА ВТОРАЯ . ОКРУЖНОСТЬ. ГЛАВА I V . СВОЙСТВА ВПИСАННОГО УГЛА.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

СВОЙСТВА ВПИСАННОГО УГЛА

Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве
Ниже посмотрите текст для быстрого ознакомления(формулы отображаются не корректно):

73. Углом, вписанным в окружность, называется угол, образованный
двумя хордами, имеющими общий конец; таким образом, вписанный
угол есть угол, вершина которого находится на окружности.

Теорема. Всякий вписанный в окружность угол измеряется
половиной дуги, заключённой между его сторонами.
Он равен половине центрального угла, заключающего ту же
дугу.
Заметим, что первая часть этой теоремы предполагает соглашение,
установленное в п. 17 (следствие)1).
Мы будем различать три случая:
*) Вторая часть имеет пока смысл только тогда, когда дуга, заключённая
между сторонами угла, меньше полуокружности (п. 13), следовательно,
когда вписанный угол меньше 90°, т. е. прямого угла.
Однако в тригонометрии приходится рассматривать (см. учебники тригонометрии)
центральные углы, превосходящие 180°; это позволяет высказать
теорему, приведённую в тексте, для всех случаев.

СВОЙСТВА ВПИСАННОГО УГЛА ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

П е р в ы й с л у ч а й . Одна из сторон вписанного угла проходит
через центр.
Пусть 2 ВАС— вписанный угол (черт. 76), сторона которого АС
проходит через центр. Соединим В с О. Мы образуем, таким образом,
равнобедренный треугольник ОАВ, в котором углы А и В равны.
Внешний угол ВОС этого треугольника равен сумме ^ А -[- В и,
следовательно, равен удвоенному углу А.
Так как угол ВОС измеряется дугой ВС,
то угол ВАС измеряется половиной той
же дуги.
В т о р о й с л у ч а й . Центр находится
внутри вписанного угла.
Пусть Z, BAD — вписанный угол
(черт. 76). Проведя прямую АО, которая
пересечёт окружность в точке С, мы разбиваем
вписанный угол на две части:
£ВАС, LCAD, для каждой из которых
наша теорема уже доказана (1-й случай).
Таким образом (в соответствии с п. 18), Черт. 76.
имеем:

= у дуги ВС, Z.CAD~y дуги CD;
складывая, получим:
/, BAD=y дуги BD.
Т р е т и й с л у ч а й . Центр находится вне вписанного угла.
Пусть £ЕАВ— вписанный угол (черт. 76). Проводя опять
диаметр АС, мы сможем написать:
ZmBAC==Y дуги ВС, /_ЕАС = ~ Дуги ЕС,
откуда, вычитая,
ЕАВ = ~ дуги ЕВ.
Следствия: I. Все углы, вписанные в одну и ту же дугу
окружности, равны как имеющие одну и ту же меру.
II. Угол, вписанный в полуокружность, — прямой как измеряющийся
четвертью окружности.
74. Теорема. Угол, образованный касательной и хордой, выходящей
из точки касания, измеряется половиной дуги, отсекаемой
этой хордой.
Угол ВАТ, образованный касательной АТ и хордой АВ (черт. 77),
можно рассматривать как предельное положение угла, образованного
хордой АВ с хордой АА\ когда точка Аг безгранично приближается
к точке А.

77 СВОЙСТВА ВПИСАННОГО УГЛА ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Впрочем, доказательство, данное для третьего случая предыдущей
теоремы, применимо и в данном случае; равенство /_EAC = ~ дуги ЕС
должно быть просто заменено равенством £ ТАС — ~ дуги АС,

которое вытекает из того, что угол ТАС— прямой, а дуга АС
равна полуокружности.
75. Теорема. Угол, образованный двумя секущими, пересекающимися
внутри окружности, измеряется полусуммой дуг, заключающихся
одна — между его сторонами,
другая — между их продолжениями.

Пусть продолжения сторон угла ВАС
(черт. 78) пересекают окружность в точках
В’ и С. Соединим В с С. Углы С’и В
измеряются соответственно дугами ВС и В’С.
Но эти два угла в сумме составляют угол А,
внешний для треугольника ABC’.
76. Теорема. Угол, образованный двумя
секущими, пересекающимися вне окружности,
измеряется полу разностью дуг, заключённых
между его сторонами.
Пусть угол ВАС (черт. 79) образован
секущими АВ’В, АС С. Проведём опять
ВС. Угол ВСС — внешний по отношению
к треугольнику ABC — равен сумме
LA-\- ^В. Следовательно, угол А можно
Черт. 79. вычислить как разность /_ВСС— ^В\
это доказывает теорему, так как угол ВС’С заключает дугу ВС, а
угол В — дугу В’С.
П р и м е ч а н и е . Если одну из секущих, например АВ’В, заменить
касательной АТ (черт. 80), то теорема и её доказательство имеют
место без всяких изменений, при условии, что точка Т одновременно
играет роль точки В и точки В\ одним словом, при допущении, что

78 СВОЙСТВА ВПИСАННОГО УГЛА ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

касательная имеет с окружностью две общие точки, слившиеся в
точке Г, в согласии с условием п. 67.
77. Теорема. Геометрическое место точек, расположенных по
одну сторону от прямой, из которых данный отрезок этой прямой
виден под данным углом, есть дуга окружности, имеющая
своими концами концы данного отрезка.

Пусть АВ — данный отрезок прямой; М — точка искомого геометрического
места *), иначе говоря, такая точка, что угол АМВ равен
данному углу (черт. 81). Если через точки Л, Ж
и В провести дугу окружности, ограниченную
точками А и В, то всякая точка этой дуги
принадлежит искомому геометрическому месту,
так как угол АМВ равен углу АМВ (п. 73).
Напротив, всякая другая точка N плоскости (расположенная
с той же стороны от прямой АВ)
лежит или внутри или вне окружности, которую
мы только что провели. В первом случае
угол ANB больше данного угла (п. 75); во
втором случае меньше его (п. 76), и, следовательно,
точка Nne будет точкой искомого геометрического
места, что и требовалось доказать.
Построенная таким образом дуга называется
дугой, вмещающей данный угол попирающейся
на отрезок АВ.
Если бы мы отказались от условия, чтобы
точки искомого геометрического места находились
с определённой стороны от ЛЯ, то ясно, что геометрическое
место точек состояло бы из двух дуг, симметричных
друг с другом относительно АВ.

78. Если данный угол — прямой, предыдущая
формулировка, в соединении со
следствием II п. 73, показывает нам, что геометрическое
место точек, из которых
данный отрезок виден под прямым углом,
есть окружность, для которой этот
отрезок служит диаметром.
Черт. 81. Это вытекает также из двух следствий
п. 48.
79. Четыре произвольно взятые точки вообще не будут лежать
на одной окружности, потому что три из них определяют окружность,
которая, в общем случае, не пройдёт через четвёртую точку. Условие,
при котором четыре точки лежат на одной окружности, даёт
нам следующая теорема:
*) Такие точки несомненно существуют. Мы полупим одну из них, проведя
через точки А и В прямые, параллельные сторонам некоторого угла,
равного данному углу, и выбирая ту или другую из двух новых вершин
построенного таким образом параллелограмма.

79 СВОЙСТВА ВПИСАННОГО УГЛА ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Теорема. Во всяком выпуклом четырёхугольнике, вписанном
в окружность, противоположные углы — пополнительные.

Во вписанном четырёхугольнике ABCD (черт. 82) угол А измеряется
половиной дуги BCD; угол С измеряется половиной дуги BAD.
Дуги BCD и BAD составляют в сумме полную
окружность; поэтому сумма /.А-\- Z.C равна
центральному углу, который соответствует
полуокружности, т. е. равна двум прямым.
80. Обратная теорема. Если в выпуклом
четырёхугольнике противоположные углы
пополнительные, то четырёхугольник может
быть вписан в окружность.
Пусть в четырёхугольнике ABCD (черт. 82)
углы А и С—пополнительные. Дуга BD окружности
BAD, не содержащая точки Д,
является геометрическим местом точек, из которых отрезок BD
виден под постоянным углом (п. 77), пополнительным к углу А
(п. 79). Эта дуга проходит, следовательно, через точку С.
81. П р и м е ч а н и е . Во всяком четырёхугольнике можно рассматривать
четыре угла /,А, /_В, /_С, и далее, проведя
диагонали АС и BD, ещё восемь углов, которые обозначены цифрами
с 1 по 8 на чертеже 83.
Если четырёхугольник вписанный, то:
1°. /_А и /JC—пополнительные;
2°. £В и — пополнительные;
3°. /_1 и равны (как вписанные в одну и ту же дугу);
точно так же:
4°. и j/_8 равны;
5°. /_2 и U равны;
6°. и £6 равны.
Обратно, если какое-либо одно из этих условий имеет место, то
четырёхугольник — вписанный (пп. 77, 80).
Таким образом, каждое из условий 1, 2, 3, 4, 5, 6 влечёт за
собой все остальные.

82. Условия 1° и 2°, указанные в предыдущем
примечании, могут быть представлены
в форме, которая их сближает с условиями
3°—6°.
Заметим прежде всего, что точки А к В
(черт. 83) находятся с одной и той же стороны
от CD; следовательно, треугольники CD А и CDB
имеют одно и то же направление вращения,
так что равные углы DAC и DBC имеют одинаковое
направление. То же самое имеет
место для углов АСВ, ADB и т. д. Напротив, углы DAB и DCB
имеют противоположное направление, так как Л и С находятся по
разные стороны от BD. Продолжим DA за точку А по направлению

АХ; таким образом получается угол ХАВ одного направления с углом
DCB. Мы видим, что эти два одинаково направленных угла
равны, если углы DAB и DCB — пополнительные, и мы приходим
к следующему заключению:
Если четыре точки А, В, С, D лежат на одной окружности,
то углы одного направления, образованные, с одной стороны, прямыми
АС и AD и, с другой стороны, прямыми ВС и BD, равны
между собой; кроме того, при этом выполняются все те условия,
которые получаются из этого последнего условия любой
перестановкой букв А, В, С и D.
Обратно, любое из шести получаемых, таким образом, условий
влечёт за собой возможность вписать данный четырёхугольник в
окружность и, следовательно, выполнение пяти остальных условий.
82а. Формулировка п. 77 может быть точно так же заменена
следующей: геометрическое место вершин равных и одинаково
направленных углов, стороны которых (или их продолжения)
проходят через две данные точки, есть окружность, проходящая
через эти две точки.
Так как всякая окружность может быть получена таким путём,
то эту формулировку можно рассматривать как новое определение
окружности, которое равносильно первоначальному и может в случае
надобности его заменить.
УПРАЖНЕНИЯ.
60. Найти геометрическое место середин хорд окружности, которые проходят
через заданную точку.
61. На каждом из радиусов окружности откладывают от центра отрезок,
равный расстоянию конца этого радиуса до одного определённого
диаметра. Найти геометрическое место концов построенных таким образом
отрезков.
62. Дана окружность и её хорда АВ. Пусть CD — подвижная хорда той
же окружности, имеющая постоянную длину. Найти:
1°. геометрическое место точек пересечения I прямых АС и BD;
2°. геометрическое место точек пересечения К прямых AD и ВС;
3°. геометрическое место центров окружностей, описанных около треугольников
ICD и KCD. Показать, что эти два геометрических места соответственно
равны двум предыдущим.
63. Пусть А и В — заданные точки некоторой окружности и М — переменная
точка той же окружности. На продолжении отрезка AM откладывают
отрезок MN = MB. Найти геометрическое место точек N.
64. Показать, что прямая, соединяющая середины дуг АВ и АС> где
А, В и С — три точки одной окружности, отсекает на хордах АВ и АС
равные отрезки, считая от точки А.
65. Если через точки пересечения А и В двух окружностей провести
две произвольные секущие, то хорды, соединяющие между собой новые
точки пересечения этих прямых с двумя окружностями, параллельны (доказать).
66. Биссектрисы углов любого четырёхугольника образуют четырёхугольник,
который может быть вписан в окружность. То же имеет место для
биссектрис внешних углов (доказать).
67. Через середину С дуги АВ проводят две произвольные прямые,
которые пересекают окружность в точках Д Е и хорду АВ в точках F, G.
Доказать, что четырёхугольник DEGF может быть вписан в круг.

80 СВОЙСТВА ВПИСАННОГО УГЛА ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

 

68. Дана окружность и на ней определённая точка Я, далее дана прямая
и на этой прямой определённая точка Q. Через точки Р и Q проводят
произвольную окружность, которая второй раз пересекает данную окружность
в точке R, а данную прямую—в точке S. Доказать, что прямая RS
пересечёт данную окружность в одной и той же точке, как бы ни была
выбрана вторая окружность.
69. Две окружности пересекаются в точках Ли В. Через точку А проведена
произвольная секущая, которая второй раз пересекает окружности
в точках С и С1. Показать, что хорда СО видна из точки В под одним
и тем же углом, как бы ни была выбрана секущая, и что этот угол равен
углу между радиусами, проведёнными в точки С и С’.
Через точку А проведена вторая секущая, пересекающая окружности
в точках D и Dr. Показать, что угол между хордами CD, C f D f равен тому
же углу или углу, ему пополнительному.
Как изменится эта формулировка, когда обе секущие сольются?
70. Во всяком треугольнике точки, симметричные с точкой пересечения
высот относительно трёх сторон треугольника, лежат на описанной окружности
(доказать).
71. Доказать, что высоты треугольника являются биссектрисами углов
треугольника, образованного их основаниями.
Применить метод п. 82 к четырёхугольникам, образованным двумя сторонами
и двумя высотами, доказав, что эти четырёхугольники вписанные, и
используя вытекающие отсюда угловые свойства.
Тот же путь доказательства применим в ряде других вопросов, и в частности
в следующем *):
72. Основания перпендикуляров, опущенных из любой точки окружности
на три стороны вписанного треугольника, лежат на одной прямой (прямая
Симеона).
Обратно, если основания перпендикуляров, опущенных из какой-либо
точки плоскости треугольника на три его стороны, лежат на прямой линии,
то эта точка лежит на описанной окружности (доказать).

 

82 СВОЙСТВА ВПИСАННОГО УГЛА ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

СВОЙСТВА ВПИСАННОГО УГЛА