ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КНИГА ВТОРАЯ . ОКРУЖНОСТЬ. ГЛАВА I. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ОКРУЖНОСТЬЮ.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ОКРУЖНОСТЬЮ

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве
Ниже посмотрите текст для быстрого ознакомления(формулы отображаются не корректно):

57. Теорема. Через три точки, не лежащие на одной прямой
можно провести окружность и притом только одну.
Иначе говоря, окружность определяется тремя точками, не
лежащими на одной прямой.
Пусть, в самом деле, А, В, С (черт. 58) — три точки, не лежащие
на одной прямой линии. Мы уже доказали (п. 52), что перпендикуляры

восставленные в серединах отрезков
ВС, СА и АВ, проходят через одну
и ту же точку О, равноудалённую от точек
А, В и С. Окружность, описанная из
точки О, как из центра, радиусом О А, проходит
через три данные точки. Эта окружность—
единственная окружность, удовлетворяющая
поставленному условию, так как
центр окружности, которая пройдёт через
точки А, В и С, должен обязательно принадлежать трём перпендикулярам,
о которых мы говорили.
Следствие. Мы видим, что окружность не может иметь двух
различных центров, а следовательно, не может иметь и двух неравных
радиусов.
58. Теорема. Прямая не может пересекать окружность
более чем в двух точках.
Если расстояние от центра до прямой больше радиуса, прямая
не пересекает окружности. Если это расстояние меньше радиуса,
Р /1 И В Р’ прямая пересекает окружность
п двух точках.Наконец, если расстояние
равно радиусу, прямая имеет
с окружностью одну общую точку.
В последнем случае прямая назы-
q вается касательной к окружности.
Пусть дана окружность с центром
О и прямая D. Из центра О
(черт. 59) опустим на прямую D перпендикуляр ОН.
1°. Окружность не может иметь более двух общих точек с прямой
D. Это сводится к тому, что из точки О нельзя провести
к прямой D более двух наклонных, равных радиусу R (п. 30, следствие).

67 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ОКРУЖНОСТЬЮ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

2°. Если расстояние ОН больше радиуса, то расстояние от центра
любой точки прямой и подавно (п. 29) будет больше радиуса;
следовательно, все точки прямой являются внешними по отношению
к кругу.
3°. Если, напротив, ОН меньше радиуса, точка Я находится внутри
окружности, но по обе стороны от Н есть точки, расположенные
вне окружности. Чтобы в этом убедиться, отложим на прямой D от
точки Н два отрезка HP и HP, равные радиусу; расстояния ОР
и ОР будут непременно больше радиуса. Следовательно,
будем иметь две точки пересечения
с окружностью: одну между Н и Р и другую —
между Н и Р\ это будут единственные точки
пересечения (1°).
4°. Если, наконец, ОН равно радиусу
(черт. 60), то точка Н будет общей точкой
прямой и окружности, но, так же как в 2°,
убедимся, что всякая другая точка прямой
находится вне окружности.

Следствие. Через точку, взятую на
окружности, можно провести к ней касательную
и только одну, причём эта касательная перпендикулярна
к радиусу, проведённому в эту точку.
59. Предыдущее определение касательной не годится в качестве
определения касательной к произвольной кривой.
Касательной к какой-либо кривой в точке М этой кривой (черт. 61)
называется предельное положение, к которому стремится прямая ММ\
когда точка М\ описывая кривую, безгранично
приближается к М. Иначе
говоря:

Прямая МТназывается касательной
в точке Му если для всякого данного
угла е можно выбрать по обе стороны
от точки М две дуги ММХ и ММ2 такие,
чтобы для всякого положения точки
М\ взятой на одной из этих дуг, прямая ММ’ образовала бы
с прямой МТ или с её продолжением угол, меньший е *).
Покажем, что для случая окружности это определение сводится
к тому, которое мы дали выше.
Проведём в точке М окружности О перпендикуляр МТ к радиусу
ОМ и на хорду ММГ (черт. 62) опустим из центра перпендикуляр ОН.
Эта прямая является высотой равнобедренного треугольника ОММг
и в то же время биссектрисой угла при О. Угол ТММГ равен углу
МОН (как углы с перпендикулярными сторонами) и, следовательно, —
половине угла МОМ!. Но этот последний можно сделать меньше вся-
*) Можно доказать, как это вообще доказывается в теории пределов,
что если такая прямая существует, то она единственная,

68 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ОКРУЖНОСТЬЮ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

кого данного угла, если выбрать точку М! достаточно близко
к точке М.
60. Нормалью к кривой в данной точке называется перпендикуляр
к касательной в этой точке. Следовательно, нормаль к окружности
в данной точке есть не что иное,
как радиус, проведённый в эту
точку.

На любой данной окружности имеются две (и только две) такие
точки, что нормали в этих точках проходят через данную точку Р
плоскости (отличную от центра): этими точками будут концы диаметра,
проходящего через точку Р.
60а. Углом между двумя кривыми в точке их пересечения
называется угол, образованный их касательными в этой точке (черт. 63).
Следовательно, угол между двумя пересекающимися окружностями
равен углу между радиусами, проведёнными в их общую точку, или
углу, ему пополнительному.
УПРАЖНЕНИЯ.
47. Из всех точек окружности проведены отрезки, равные и параллельные
одному и тому же данному отрезку.
Найти геометрическое место концов этих отрезков.
48. Найти геометрическое место середин отрезков, соединяющих данную
точку с различными точками окружности.
49. АВ — диаметр окружности О, С — точка, взятая на продолжении
этого диаметра за точку В, CDE— секущая из точки С, которая пересёкает
окружность в точках D и Е. Если внешняя часть CD равна радиусу, то
угол ЕОА в три раза больше угла DOB (доказать).

69 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ОКРУЖНОСТЬЮ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Околоadmin