ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КНИГА ПЕРВАЯ . ПРЯМАЯ ЛИНИЯ. ГЛАВА VII. ПРЯМЫЕ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ, ПРОХОДЯЩИЕ ЧЕРЕЗ ОДНУ ТОЧКУ.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

ПРЯМЫЕ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве
Ниже посмотрите текст для быстрого ознакомления(формулы отображаются не корректно):

Прямые, перпендикулярные
к сторонам АВ и АС треугольника и проходящие через их середины,
не могут быть параллельными (иначе АВ и АС лежали бы на одной
прямой) и пересекаются в некоторой точке
О. Требуется доказать, что эта точка
лежит также и на перпендикуляре к стороне
ВС, проходящем через её середину.
Точка О, лежащая на прямой, перпендикулярной
к стороне АВ и проходящей
через её середину, одинаково отстоит
от точек А и В; кроме того, она одинаково
отстоит от точек А и С как точка,
лежащая на перпендикуляре, восставленном
в середине стороны АС. Следовательно, она одинаково отстоит
от точек В и С и потому лежит на перпендикуляре, восставленном
в середине стороны ВС.
53. Теорема. Во всяком треугольнике три высоты пересекаются
в одной точке.
Пусть дан треугольник ABC (черт. 54). Проведём через точку А
прямую, параллельную ВС, через точку В — прямую, параллельную
АС, и через С — прямую, параллельную АВ.
Мы получим, таким образом, новый треугольник А’В’С’. Мы докажем,
что высоты треугольника ABC являются перпендикулярами, вое-

62 ПРЯМЫЕ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

ставленными в серединах сторон нового треугольника, откуда
будет следовать, что они проходят через одну точку.
Параллелограмм АВСВТ даёт намВС=АВ’; точно так же параллелограмм
А СВС даёт ВС= А С’, так что точка А является серединой В’С’.
Высота AD треугольника ABC пройдёт через середину В’С’ и,
кроме того, будет перпендикулярна
к ВГСГ, так как она перпендикулярна
к параллельной ей прямой
ВС.
Так как то же самое рассуждение
может быть повторено для двух других
высот, то теорема доказана.
54. Теорема. Во всяком треугольнике:
1°. биссектрисы трёх углов пересекаются
в одной точке;
2°. биссектриса одного из углов и биссектрисы
углов, к нему не прилежащих, пересекаются в одной точке.
1°. Проведём в треугольнике ABC (черт. 55) биссектрисы углов
В и С: они пересекаются в точке О, лежащей внутри треугольника.
Эта точка, как принадлежащая биссектрисе угла В, одинаково отстоит
от прямых АВ и ВС. Принадлежа
также биссектрисе
угла Су эта точка одинаково
отстоит от АС и
ВС. Таким образом, она
одинаково отстоит от АВ
и АС, и так как она лежит
внутри угла А, то
она находится на биссектрисе
этого угла.
2°. Так как сумма двух
внешних углов СВХ, BCY
меньше четырёх прямых,
то сумма их половин меньше,
чем два прямых. Следовательно,
биссектрисы
этих двух углов пересекаются
(п. 41, следствие)
в точке О’, лежащей внутри
угла А. Эта точка О’
будет, как и точка О, одинаково отстоять от трёх сторон треугольника.
Она будет принадлежать, таким образом, биссектрисе угла А.
55. Теорема. Отрезок, соединяющий середины двух сторон
треугольника, параллелен третьей стороне и равен её половине.
Пусть в треугольнике ABC (чер. 56) D — середина АВ, Е—середина
АС. Отложим на продолжении DE отрезок EF, равный DE.

63 ПРЯМЫЕ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Четырёхугольник ADCF будет параллелограммом (п. 47), и, следовательно,
CF будет равна и параллельна DA или, что то же самое, BD.
В таком случае четырёхугольник DBCF будет в свою очередь параллелограммом,
а потому £)£: параллельна
ВС и, как половина DF, равна половине
ВС.

56. Теорема. Три медианы треугольника
пересекаются в одной точке,
лежащей на одной трети длины каждой
из них, считая от соответствующего
основания.

Пусть в треугольнике ЛЯС проведены
сначала две медианы BE и CF
(черт. 57); я утверждаю, что их точка пересечения О находится
на одной трети каждой из них. Чтобы это показать, обозначим через
Ми N середины BG и CG. Отрезок MN,
соединяющий середины двух сторон в треугольнике
BCG, параллелен ВС и равен её половине.
Но EF также параллелен ВС и равен
её половине. В таком случае EFMN—параллелограмм,
в котором диагонали делятся в точке
пересечения пополам. Таким образом, имеем
EG = GM = MB и FG = GN=NC.
Следовательно, медиана BE проходит через Черт. 57.
точку, лежащую на трети расстояния CF. Но
таким же рассуждением можно показать, что третья медиана AD
также пройдёт через эту точку.
П р и м е ч а н и е . Точка пересечения медиан называется также
центром тяжести треугольника. Обоснование этого названия
даётся в механике.

УПРАЖНЕНИЯ.
33. Соединить данную точку с точкой пересечения двух данных прямых,
если эта последняя лежит за пределами чертежа (п. 53).
34. Во всякой трапеции середины непараллельных сторон и середины
диагоналей лежат на одной и той же прямой, параллельной основаниям
трапеции; расстояние между серединами непараллельных сторон равно полусумме
оснований; расстояние между серединами диагоналей равно полураз-
ности оснований (доказать).
35. Если из точек А, В и из середины С отрезка АВ опустить перпендикуляры
на произвольную прямую, то перпендикуляр, опущенный из точки С,
равен полусумме или полуразности перпендикуляров, опущенных из А и В,
смотря по тому, имеют ли эти два перпендикуляра одинаковое направление
или противоположные направления (доказать).
36. Середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами
параллелограмма; стороны этого параллелограмма соответственно параллельны
диагоналям данного четырёхугольника и равны половинам этих
диагоналей; его центр лежит на середине отрезка, который соединяет середины
диагоналей данного четырёхугольника (доказать).
37. Доказать, что медианы треугольника ABC проходят через одну точку,
продолжая медиану CF (черт. 57) за точку F на длину, равную FG.

64 ПРЯМЫЕ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

38. Даны три (различные) прямые, проходящие через одну точку О, и
точка А на одной из них. Доказать, что существует:
1°. треугольник с вершиной в точке Л, высотами которого служат данные
прямые (есть одно исключение);
2°. треугольник с вершиной в точке А, медианами которого служат данные
прямые;
3°. треугольник с вершиной в точке Л, для которого данные прямые
служат биссектрисами внутренних или внешних углов (есть одно исключение);
4°. треугольник, имеющий середину одной из сторон в точке Л, для
которого данные прямые служат перпендикулярами, восставленными в серединах
сторон (привести к случаю 1°).
ЗАДАЧИ К ПЕРВОЙ КНИГЕ.
39. Во всяком треугольнике наибольшей стороне соответствует наименьшая
медиана (доказать).
Треугольник, имеющий две равные медианы, — равнобедренный *).
40. Допустим, что биллиардный шар отражается от прямолинейного борта
таким образом, что две прямые, по которым он движется до и после удара,
одинаково наклонены к борту. Пусть теперь Dlt D2, … Dn — п прямых,
лежащих в одной плоскости; Л и В — две точки, расположенные с одной
и той же стороны от каждой из этих прямых. В каком направлении должен
быть пущен шар из точки Л, чтобы он прошёл через точку В, после того
как он отразится последовательно от всех данных прямых?
Доказать, что путь, по которому пройдёт шар, есть кратчайшая ломаная
линия, идущая из точки Л в точку В и имеющая вершины последовательно
на данных прямых2).
Частный случай. Данные прямые являются четырьмя сторонами прямоугольника,
взятыми по порядку, и точка В совпадает с точкой Л, которая
взята внутри прямоугольника. Показать, что в этом случае путь, пройденный
шаром, равен сумме диагоналей прямоугольника.
41. Диагонали обоих прямоугольников, рассмотренных в упражнении 26,
расположены на одних и тех же двух прямых, параллельных сторонам
данного параллелограмма [обстоятельство, аналогичное3) рассмотренному
в п. 54]; одна из этих диагоналей равна разности, а другая — сумме сторон
параллелограмма (доказать).
42. В равнобедренном треугольнике сумма расстояний от точки, лежащей
на основании, до двух других сторон есть величина постоянная (доказать).
Как изменится это предложение, если рассматриваемая точка взята на
продолжении основания?
В равностороннем треугольнике сумма расстояний внутренней точки от
трёх его сторон есть величина постоянная (доказать).
*) Относительно аналогичного свойства высот см. упражнения 19—20 и
биссектрис — упражнения 361—361а (в конце тома).
2) Если имеется только одна прямая, задача сводится к той, которая
была рассмотрена в упражнениях 13—14.
После того как решена эта первая задача, надо найти способ, который
позволял бы из найденного уже решения для случая одной прямой получить
решение для случая двух прямых, перейти затем к случаю трёх прямых
и т. д.
8) Аналогия, на которую указывает автор, состоит в том, что в п. 54
изучается расположение биссектрис в треугольнике, а здесь — расположение
биссектрис в параллелограмме. Прим, ред. перевода.

65 ПРЯМЫЕ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Как изменится это предложение, если рассматриваемая точка становится
внешней?
43. Если в треугольнике ABC через середину стороны ВС провести
перпендикуляр к биссектрисе угла А, то эта прямая образует на каждой
44. Пусть ABCD и DEFG — два квадрата, помещённые рядом таким
образом, что стороны DC, DE имеют одно и то же направление и стороны
AD, DG являются продолжением одна другой. На AD и на продолжении DC
отложены два отрезка АН и СК} равные DG. Доказать, что четырёхугольник
НВКЕ—также квадрат.
45. На сторонах АВ, АС треугольника вне этого треугольника постро-
ты ABDE, ACFG (D и F—противоположные вершины по отно-
1°, что отрезок EG перпендикулярен к медиане, выходящей из Л, и вдвое
длиннее этой медианы;
2°. что четвёртая вершина / параллелограмма, у которого три другие
вершины будут Е, Л, G (Е и G — противоположные вершины), лежит на
высоте данного треугольника, выходящей из Л;
3°. что CD, BF соответственно равны и перпендикулярны BI, С1 и
пересекаются также на высоте, выходящей из А.
46. Даны прямой угол АОВ и две взаимно перпендикулярные прямые,
выходящие из точки Р. Первая прямая пересекает стороны данного угла
в точках А и В; вторая пересекает те же стороны в точках С и D. Доказать,
что перпендикуляры, проведённые из точек D, О, С к прямой ОР,
отсекают на АВ два отрезка, равные соответственно АР и РВ, но расположенные
в обратной последовательности.

66 ПРЯМЫЕ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Околоadmin