ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КНИГА ПЕРВАЯ . ПРЯМАЯ ЛИНИЯ. ГЛАВА VI . ПАРАЛЛЕЛОГРАММЫ. ПОСТУПАТЕЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

ПАРАЛЛЕЛОГРАММЫ. ПОСТУПАТЕЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ.

Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве
Ниже посмотрите текст для быстрого ознакомления(формулы отображаются не корректно):

45. Частными случаями четырёхугольников являются трапеции
и параллелограммы.
Трапецией называется (черт. 45) четырёхугольник, у которого
две стороны параллельны. Эти
параллельные стороны называются
основаниями трапеции.
Параллелограммом называется
(черт. 46) четырёхугольник,
стороны которого попарно параллельны.
Теорема. В параллелограмме Черт. 45. Черт. 46.

противоположные углы равны,
а углы, прилежащие к одной и той же стороне, пополнительны.
В самом деле, в параллелограмме ABCD (черт. 46) углы А и В,
прилежащие к одной и той же стороне АВ, являются углами внутренними
односторонними при параллельных прямых AD и ВС, пересечённых
секущей АВ\ следовательно, они пополнительные. Что ка

55 ПАРАЛЛЕЛОГРАММЫ. ПОСТУПАТЕЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

сается углов Л и С, то они равны как углы с параллельными сторонами,
направленными в противоположные стороны.
П р и м е ч а н и е . Очевидно, что если известен один угол параллелограмма,
то известны и все остальные.
Обратная теорема. Если в четырёхугольнике противоположные
углы равны, то четырёхугольник — параллелограмм.
В самом деле, сумма углов любого четырёхугольника равна
четырём прямым (п. 44а).
Но если £A=Z.C и АВ = AD, то сумма четырёх углов:
Z А~{- А В -f- Z.C AD может быть написана в виде 2 А А — ) “ 2 А 5 .
Отсюда следует, что АА~{~АВ = 2d и прямые AD, ВС будут параллельны,
так как они образуют с АВ пополнительные внутренние
односторонние углы. Точно так же докажем, что АВ параллельна CD.
46. Теорема. Во всяком параллелограмме противоположные
стороны равны.
В параллелограмме ABCD (черт. 47) проведём диагональ АС.
Она разбивает параллелограмм на два треугольника ABC, CDA,
которые равны, так как имеют общую сторону АС, заключённую между
двумя соответственно равными углами:
А Ах — А (как углы внутренние накрестлежащие
при параллельных АВ и CD);
А А% — А С2(как углы внутренние накрест-
лежащие при параллельных AD и ВС).
D с Из равенства треугольников следует
Черт 47 равенство сторон:
АВ = CD; AD = BC.

В этой теореме условие состоит из двух частей: 1) две противоположные
стороны параллельны; 2 ) две другие стороны также параллельны.
Заключение состоит точно так же из двух частей: 1 ) две
противоположные стороны равны; 2) две другие также равны.
Так как заключение обратного предложения можно получить, беря
либо часть условия, либо полностью всё условие данного предложения,
и обратно, то доказанная теорема имеет две обратные теоремы.
Обратные теоремы. Четырёхугольник будет параллелограммом:
1 °. если противоположные стороны равны;
2 °. если две противоположные стороны равны и параллельны.
1 °. Предположим, что в четырёхугольнике ABCD (черт. 47)
AB = CD и AD = BC. Проведём диагональ АС. Треугольники ABC и
CDA будут равны как имеющие соответственно равные стороны.
Углы Ai и Ci будут также равны, и так как эти углы занимают по
отношению к секущей АС положение внутренних накрестлежащих,
то прямые АВ и CD, которые их образуют, параллельны.
Точно так же из равенства углов Л2 и С2 следует параллельность
прямых AD и ВС.
2 °. Предположим теперь, что AB = CD и одновременно АВ параллельна
CD. Оба треугольника ABC и CDA будут равны, так как

56 ПАРАЛЛЕЛОГРАММЫ. ПОСТУПАТЕЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

внутренние
накрестлежащие), заключённому между соответственно равными
сторонами: АС—общая сторона и AB = CD. Из равенства треугольников
следует равенство углов Л2 и С2 и параллельность сторон АБиВС.
46а. П р и м е ч а н и я : I. Четырёхугольник может иметь две равные
стороны АВ, CD, а две другие ВС, AD параллельные между
собой и в то же время не быть параллелограммом (в этом случае он
называется равнобочной трапецией).
Выбрав произвольно сторону АВ, достаточно принять за DC отрезок
DXC (четр. 48) симметричный с АВ относительно некоторой
прямой ХУ плоскости, лишь бы только эта прямая не была параллельна
АВ и пересекала бы её в точке I,
расположенной на продолжении АВ (а не
на самом отрезке АВ). Четырёхугольник
ABCDX будет иметь две параллельные стороны
(та и другая перпендикулярны к ХУ)
и две другие стороны, равные между собою
(как симметричные одна с другой относительно
ХУ); причём эти последние не
будут параллельны, так как они имеют
общую точку I. Обратно, всякий четырёхугольник,
у которого две стороны ВС и AD
параллельны, а две другие равны между
собой, будет параллелограммом или будет
иметь (случай равнобочной трапеции) ось
симметрии. Действительно, пусть ХУ б у-
дет перпендикуляром, восставленным

в середине ВС. Мы уже имеем две наклонные к прямой AD, проходящие
через С и равные АВ: 1) CDly симметричную с АВ относительно
ХУ, и 2) CD2, образующую параллелограмм вместе с точками А,
В, С; концы этих наклонных лежат на AD, так как последняя параллельна
СВ. Следовательно, точка D должна совпадать либо с Dly
либо с Z)2, так как через С можно провести к AD только две наклонные,
равные АВ.
Кажется, что это рассуждение теряет силу, если Dx совпадает
с Z)2, т. е. если CDX параллельна АВ. Но в этом случае АВ параллельна
ХУ, т. е. перпендикулярна к AD; тогда между точкой С и
прямой AD действительно нельзя провести другого отрезка, равного
перпендикуляру АВ.
II. Первое обратное предложение п. 46 существенно предполагает,
что мы имеем дело с четырёхугольниками в собственном смысле
этого слова (п. 2 1 , примечание); только в том случае, когда оба треугольника
ABC и ADC (черт. 47) расположены по разные стороны от
общей стороны АС, углы Ах и Сх этой фигуры будут внутренними
накрестлежащими.
Нетрудно построить четырёхугольник в несобственном смысле (называемый
антипараллелограммом), противоположные стороны кото-

57 ПАРАЛЛЕЛОГРАММЫ. ПОСТУПАТЕЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

AB = CD (по предыдущей теореме). Следовательно, АО = СО,
80 = DO.
Обратная теорема. Если диагонали четырёхугольника делятся
в точке пересечения пополам, то четырёхугольник — параллелограмм.
Допустим, что в четырёхугольнике ABCD (черт. 50) АО = СО,
BO = DO. Два треугольника АВО и CDO будут равны как имеющие
по равному углу (углы при точке О равны
как вертикальные), заключённому между соответственно
равными сторонами. Поэтому углы
при вершинах Л и С в этих треугольниках
будут равны и, следовательно, АВ будет параллельна
CD. Равенство треугольников ADO q
и ВСО доказывает таким же образом, что AD
параллельна ВС. Черт.50.

П р и м е ч а н и е . Мы доказали обратные теоремы в пп. 46 и 47, повторяя
в обратной последовательности первоначальные рассуждения, как это было
объяснено в п. 32, примечание 2°.
48. Прямоугольником называется четырёхугольник, у которого
все углы между собой равны и, следовательно, — все углы прямые.
Прямоугольник — параллелограмм, так как его противоположные углы
равны между собой.
Ромбом называется четырёхугольник, у которого все четыре стороны
равны. Ромб является параллелограммом, так как противоположные
его стороны равны. Следовательно, в прямоугольнике, как и
в ромбе, диагонали делятся в точке пересечения пополам.
Теорема. Диагонали прямоугольника равны между собой.
В прямоугольнике ABCD (черт. 51) диагонали АС и BD равны;
действительно, треугольники ADC и BCD равны, так как /_ ADC =
= A BCD как прямые углы, сторона DC—общая
Л В и AD = BC как противоположные стороны парал- Хлелограмма.
Следствие. В прямоугольном треугольнике
медиана, выходящая из вершины прямого угла,
—————— равна половине гипотенузы, потому что, проведя
через концы гипотенузы прямые, параллельные ка-
Черт. 51. тетам, получим прямоугольник, в котором рассматриваемая
медиана является половиной диагонали.
Обратная теорема. Всякий параллелограмм, в котором диагонали
равны, — прямоугольник.
Пусть дан параллелограмм ABCD (черт. 51), у которого диагонали
равны. Из того, что AD = BC, следует, что треугольники ADC и BCD
равны по трём сторонам. Углы ADC и BCD также равны, и так как
они пополнительны, то каждый из них прямой, откуда и следует,
что параллелограмм — прямоугольник.
Следствие. Треугольник, в котором медиана равна половине
Соответствующей стороны. — прямоугольный.

58 ПАРАЛЛЕЛОГРАММЫ. ПОСТУПАТЕЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Теорема. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят
его углы пополам.
Если четырёхугольник ABCD (черт. 52) — ромб, то треугольник
ABD — равнобедренный. Диагональ АС, являясь медианой этого
треугольника, является в то же время его высотой и биссектрисой.
Обратная теорема. Всякий параллелограмм, диагонали которого
перпендикулярны, есть ромб.

В самом деле, каждая вершина будет одинаково отстоять от
смежных вершин, так как она лежит на прямой, проходящей
через середину соединяющей их диагонали и
перпендикулярной к последней.
49. Квадратом называется четырёхугольник,
у которого все стороны равны и все углы прямые.
Таким образом, квадрат одновременно является
ромбом и прямоугольником, так что его
диагонали равны между собой, перпендикулярны
и делятся пополам.
Обратно, всякий четырёхугольник, в котором
диагонали равны, перпендикулярны и делятся
пополам, есть квадрат.
Два квадрата, имеющие по равной стороне,
равны между собой.
50. Лемма. Две фигуры F и F’ равны между собой и имеют
одно и то же направление вращения, если точки обеих фигур
соответствуют друг другу таким об разом, что треугольники ABC
и А’В’С’, образованные соответственными точками обеих фигур,
будут равны между собой и их соответственные углы будут иметь
одно и то же направление, как бы ни была выбрана точка С.
В самом деле, пусть А, В — две точки фигуры F, и А’, ВТ — точки,
им соответственные. Отрезок АВ, очевидно, должен быть равен A f B f .
Перенесём вторую фигуру и наложим её на первую так, чтобы эти
два равных отрезка совместились. Я утверждаю, что при этом обе
фигуры целиком совместятся. Пусть С будет какая-либо третья точка
первой фигуры, и Сг———— точка, ей соответственная. Так как два треугольника
ABC, ArBrC будут равны, то и углы В’А’С’ и ВАС будут
равны и одинаково направлены. Следовательно, при совмещении АГВГ
с АВ прямая АС’ должна пойти по направлению АС. Так как, кроме
того, А’С’ = АС, то точка С’ совпадает с С.
Так как это доказательство приложимо ко всем точкам обеих
фигур, то обе фигуры совпадают целиком.
П р и м е ч а н и я : I. Мы нашли достаточное условие равенства
двух фигур; это же условие является, очевидно, и необходимым.
И. Из предыдущего рассуждения следует:
Чтобы совместить две равные фигуры, соответственные углы
которых имеют одно и то же направление, достаточно совместить
две точки одной фигуры с двумя соответствующими им точками
другой.

59 ПАРАЛЛЕЛОГРАММЫ. ПОСТУПАТЕЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

51. Теорема. Если из всех точек данной фигуры провести равные
отрезки, параллельные между собой и направленные в одну
и ту же сторону, то концы этих отрезков образуют фигуру,
равную данной.
Пусть прежде всего А, В — две точки первой фигуры, которым
соответствуют точки Аг, Вг второй фигуры. Так как отрезки А А! и В В’
параллельны и равны, то четырёхугольник АВВГАГ — параллелограмм.
Следовательно, отрезки АВ и А ВТ равны и параллельны между собой
и направлены в одну и ту же сторону. Таким образом, отрезки, соединяющие
между собой соответственные точки в каждой фигуре, равны,
параллельны и направлены в одну и ту же сторону.
Далее, трём каким-либо точкам первой фигуры, образующим треугольник,
соответствуют три точки, образующие треугольник, равный
первому, и так как стороны соответственных углов этих треугольников
параллельны и направлены в одну и ту же сторону, то направления
соответственных углов одинаковы. Следовательно, обе фигуры равны.
Операция, при помощи которой мы переходим от первой фигуры
ко второй, называется поступательным перемещением. Очевидно, что
поступательное перемещение вполне определено, если даны величина
и направление какого-нибудь отрезка АА\ соединяющего одну из
точек первой фигуры с соответствующей ей точкой второй. Поступательное
перемещение обозначают поэтому такими же буквами, как и
этот отрезок, например, говорят: „перемещение АА’“.
Следствия: I. Если из всех точек прямой провести равные,
параллельные и направленные в одну и ту же сторону отрезки, то
геометрическое место концов этих отрезков есть прямая, параллельная
первой прямой.
В частности, геометрическое место точек, расположенных по
одну и ту же сторону от некоторой прямой и на данном от неё
расстоянии, есть прямая, параллельная этой прямой.
II. Две параллельные прямые на всём своём протяжении одинаково
отстоят друг от друга.
Следовательно, можно говорить о расстоянии между двумя
параллельными прямыми.
III. Геометрическое место точек, одинаково отстоящих от двух
параллельных прямых, есть третья прямая, параллельная первым.

60 ПАРАЛЛЕЛОГРАММЫ. ПОСТУПАТЕЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

УПРАЖНЕНИЯ.
Параллелограммы.
26. Биссектрисы углов параллелограмма образуют прямоугольник; биссектрисы
его внешних углов также образуют прямоугольник (доказать).
27. Отрезок любой прямой, проходящей через точку пересечения диагоналей
параллелограмма, заключённый между его противоположными сторонами,
делится в этой точке пополам (доказать).
В силу этого обстоятельства точка пересечения диагоналей параллелограмма
называется его центром.

 

61 ПАРАЛЛЕЛОГРАММЫ. ПОСТУПАТЕЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

28. Два параллелограмма, вписанных один в другой, иначе говоря, таких,
у которых четыре вершины первого соответственно лежат на четырёх
сторонах второго, имеют общий центр (доказать).
29. Угол треугольника будет острым, прямым или тупым, смотря по
тому, будет ли противоположная сторона меньше, равна или больше удвоенной
соответствующей медианы (доказать).
30. Если в прямоугольном треугольнике один из его острых углов вдвое
больше другого, то один из катетов равен половине гипотенузы (доказать).
Поступательные перемещения.
31. Найти геометрическое место точек, для которых сумма или разность
их расстояний до двух данных прямых равна данной длине.
32. Даны две параллельные прямые и две точки А и В, находящиеся
вне этих параллельных и расположенные по обе стороны от них. Найти
ломаную линию наименьшей длины, соединяющую точки А и В, если вершины
этой ломаной лежат на данных прямых, и отрезок ломаной между
обеими прямыми имеет данное направление.

62 ПАРАЛЛЕЛОГРАММЫ. ПОСТУПАТЕЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

ПАРАЛЛЕЛОГРАММЫ, ПОСТУПАТЕЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ