ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КНИГА ПЕРВАЯ . ПРЯМАЯ ЛИНИЯ.ГЛАВА V. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

 

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ

Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве
Ниже посмотрите текст для быстрого ознакомления(формулы отображаются не корректно):

37. Если две прямые линии пересечены одной и той же секущей
(черт. 3 9), то эта секущая образует с данными прямыми восемь углов,
перенумерованных на чертеже, взаимное расположение которых
характеризуется следующими названиями:
*) Высотой (медианой, биссектрисой), с о о т в е т с т в у ю щ е й данной
стороне, называется высота (медиана, биссектриса), проведённая из противолежащей
вершины. Прим. ред. перевода.

49 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Два угла, такие как /_3 и /5, находящиеся между двумя данными
прямыми и по разные стороны от секущей, называются внутренними
накрестлежащими.
Два угла, такие как 3 и Z. расположенные между двумя
данными прямыми, но по одну сторону от секущей, называются
внутренними односторонними.
Два угла, такие как и /.2, расположенные по одну сторону
от секущей и обращённые — один к части плоскости, заключённой
между двумя прямыми, другой к части плоскости, внешней по отношению
к данным прямым, называются
соответственными.
38. Параллельными прямы-
o’ ми называются две прямые,
лежащие в одной и той же плоскости,
которые, сколько бы
их ни продолжать в обе стороны,
не пересекаются между
собой.
Теорема. Две прямые линии,

пересечённые одной и
той же третьей, парал-
Черт. 39.

50 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

39. Теорема. Через точку, взятую вне прямой, можно провести
прямую линию, параллельную этой прямой.
Пусть даны точка О и прямая ХУ (черт. 39). Соединим точку О
с произвольной точкой А прямой ХУ и проведём прямую 00′,
которая с О А образует такой угол, что АОО’-\- / mOAY=cld *);
она и будет параллельна ХУ.
40. Предыдущее построение может быть выполнено бесчисленным
числом способов, потому что точка А может быть взята произвольно
на прямой ХУ. Может показаться, что оно даёт бесчисленное множество
различных параллельных линий.
Однако это не так в силу следующей аксиомы.
Аксиома*). Через точку, взятую вне прямой, можно провести
только одну прямую, параллельную этой прямой.
Следствия: I. Две различные прямые, параллельные одной и
той же третьей, параллельны между собой, так как, если бы они
имели общую точку, то через эту
точку можно было бы провести две /
прямые, параллельные третьей. Д Е/ В
II. Если две прямые параллель-
/ 3′ ны, то всякая третья прямая,
которая пересекает первую, пересе- /
чёт и вторую; иначе две прямые, /
параллельные второй прямой,пере- /
секались бы между собой 3). С F/ D
41. Теорема п. 38 допускает об- /
ратную теорему, которую мы сейУ
час докажем. /х
Обратная теорема. Если две Церт
параллельные прямые пересечены
одной и той же секущей, то:
1°. внутренние односторонние углы являются углами пополнительными;
2°. внутренние накрестлежащие углы равны;
3 °. соответственные углы равны.
Доказательство будет одним и тем же для всех трёх случаев.
Пусть даны две параллельные дрямые АВУ CD, пересечённые
секущей EFX (черт. 40). Я утверждаю, например, что соответственные
углы— /_ХЕВ и Z.XFD — равны. В самом деле, прямая ЕВ\ образующая
при точке Е с прямой EF угол ХЕВ\ равный углу XFDy
будет параллельна CD и потому совпадёт с ЕВ.
]) Буква d — начальная буква французского слова droit (прямой) — служит
для обозначения прямого угла.
2) Эта аксиома известна под именем постулата Евклида. В действительности
её следует рассматривать как часть определения основных понятий
геометрии (см. Прибавление В в конце тома).
3) Здесь мы имеем новый пример доказательства от противного (см. п. 24,
примечание 1°).

51 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Следствия: I. Если две прямые линии образуют с одной и той
же секущей два внутренних односторонних угла, сумма которых
отлична от двух прямых, то они непараллельны и пересекаются
с той стороны от секущей, где сумма углов меньше двух прямых.
II. Если две прямые линии параллельны, то всякий перпендикуляр
к одной из них является, перпендикуляром и к другой.
Действительно, он непременно пересечёт вторую прямую (п. 40,
следствие II) и образует с ней прямой угол на основании теоремы,
которую мы только что доказали.
П р и м е ч а н и я : I. Равные соответственные углы ХЕВ и XFD
имеют одно и то же направление вращения.
О двух параллельных полупрямых ЕВ и FD, расположенных по
одну и ту же сторону от секущей, говорят, что они параллельны
и направлены в одну и ту же сторону.
II. Мы применили здесь новый способ доказательства обратных
теорем, отличный от тех, которыми мы пользовались в п. 32, и который
состоит в доказательстве обратной теоремы с помощью соответствующей
прямой теоремы. Заметим, что в данном случае это доказательство
существенно основывается на том обстоятельстве, что
прямая, проходящая через точку/: и параллельная CD, — единственная.
42. На основании теоремы п. 38 и ей обратной данное выше определение
параллельных прямых в точности сводится к следующему.
Две прямые параллельны, если они образуют с какой-нибудь
секущей равные соответственные углы (или равные внутренние
накрестлежащие углы, или пополнительные внутренние односторонние
углы).
Это последнее определение следует, вообще говоря, предпочитать
первоначально данному определению, которому оно равносильно.
Выражение параллельные прямые часто заменяют выражением
прямые, имеющие одно и то же направление, смысл которого ясен
из предыдущих предложений.
П р и м е ч а н и е . С этой точки зрения две совпадающие между
собой прямые должны рассматриваться как частный случай двух
параллельных прямых.
43. Теорема. Два угла, стороны которых соответственно
параллельны, или равны, или являются пополнительными углами:
они равны, если обе пары их соответственных сторон направлены
в одну и ту же сторону или обе пары их соответственных сторон
направлены в противоположные стороны; они пополнительны,
если одна пара сторон направлена в одну и ту же сторону, а
другая пара сторон — в противоположные стороны.
Прежде всего два угла, у которых одна сторона общая, а две
другие параллельны и направлены в одну и ту же сторону (черт. 41),
равны как соответственные. Следовательно, два угла, стороны которых
параллельны и направлены в одну и ту же сторону, равны между
собой, так как сторона одного из них образует в пересечении со
стороной другого третий угол, равный каждому из данных углов.

52 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Если два угла имеют пару параллельных сторон, направленных
в одну и ту же сторону, и пару параллельных сторон, направленных
в противоположные стороны, то, продолжая одну из сторон второй
пары, мы получим угол, пополнительный первому и равный второму.
Если обелары сторон направлены в противоположные стороны,
то, продолжив обе стороны первого угла, мы получим угол, равный
первому как вертикальный, а с другой
стороны, равный и второму.
П р и м е ч а н и е . Два соответственных
угла, а следовательно, также и
два угла, обе пары сторон которых
параллельны и направлены в одну сторону,
имеют одинаковое направление.
Поэтому можно сказать ещё так:

Два угла, имеющие соответственно
параллельные стороны, равны или пополнительны,
смотря по тому, имеют
ли оба угла одинаковое направление
или различные направления.
Теорема. Два угла, стороны которых соответственно перпендикулярны
друг другу, равны или являются углами пополнительными,
в зависимости от того, имеют ли оба угла одинаковое
направление или различные направления.

Пусть углы ВАС, ВТАГСГ (черт. 42) таковы, что АГВГ и АС соответственно
перпендикулярны к АВ и АС. Проведя перпендикуляр
АВХ к прямой АВ, перевернём
угол ВХАС и наложим его
на самого себя так, чтобы сторона
АВХ пошла по АС; прямая
АВ, перпендикулярная к АВи займёт
положение АСЪ перпендикулярное
к АС. Таким образом, мы
имеем угол ВАСА равный данному
углу ВАС и одного с ним
направления (так как он представляет
собой перевёрнутый угол
который имеет направление, противоположное углу ВАС);
стороны угла ВХАСХ соответственно перпендикулярны сторонам угла
ВАС, а следовательно, параллельны сторонам угла ВА С. Так как
углы ВХАС\, ВАС будут равными или пополнительными, смотря
по тому, имеют ли они одинаковое направление или различные
направления, то то же будет иметь место и для данных углов.
Черт. 42.
САВ,
44. Теорема. Сумма углов треугольника равна двум прямым.
В треугольнике ABC (черт. 43) продолжимте по направлению СХ
и проведём СЕ параллельно АВ. Мы образуем при точке С три угла
(на чертеже они обозначены: ], 2, 5), сумма которых равна двум прямым.
Но эти три угла соответственно равны трём углам треугольника,

53 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

в силу того, что 1 является углом С треугольника; 2 равен
углу А (как углы внутренние накрестлежащие, образованные секущей
АС с параллельными прямыми АВ, СЕ); 3 равен углу В (как
углы соответственные, образованные секущей ВС с теми же параллельными
прямыми).
Следствия: I, Внешний угол треугольника равен сумме внутренних
углову к нему не прилежащих.
II. Острые углы прямоугольного треугольника суть углы дополнительные.

III. Если два треугольника имеют
по два соответственно равных угла,
то и третьи их углы равны.
44а. Теорема. Сумма внутренних
углов выпуклого многоугольника1)
равна двум прямым, умноженным на
число сторон многоугольника, уменьшенное
на два.
Пусть дан многоугольник ABCDE (черт. 44). Соединяя точку А
с другими вершинами диагоналями, мы разобьём этот многоугольник
на треугольники. Треугольников будет на два меньше числа сторон,
потому что точка А взята за общую вершину
всех этих треугольников, так что все
стороны многоугольника являются основаниями
треугольников, кроме тех двух, которые
примыкают к А. Сумма углов всех этих
треугольников даёт сумму углов многоугольника.
Теорема, таким образом, доказана.
Если п — число сторон многоугольника, то
сумма его углов будет 2d (п — 2) или(2я — 4) d.

Следствие. Сумма внешних углов вы- Черт. 44.
пуклого многоугольника, образованных продолжением
всех сторон в одном и том же направлении, равна
четырём прямым.
Сумма каждого внешнего угла с соответствующим ему внутренним
углом равна 2 прямым. Складывая углы, расположенные при п вершинах,
получим 2п прямых; из них 2п — 4 прямых дают сумму внутренних
углов.
Сумма внешних углов составляет, следовательно, 4 недостающих
прямых угла.

54 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

ках М и АГ со сторонами АВ и АС, то отрезок ММ равен сумме отрезков
ВМ и CN (доказать).
Как изменится это предложение, если провести прямую, параллельную
ВСу через точку пересечения биссектрис внешних углов при В и С;
через точку пересечения биссектрисы угла при В с биссектрисой внешнего
угла при С?
Сумма углов многоугольника.
22. Доказать теорему п. 44а, разбивая многоугольник на треугольники
прямыми, выходящими из одной и той же внутренней точки многоугольника.
23. В произвольном данном треугольнике ЛВС проведены из точки А
к стороне ВС две прямые AD и АЕ, из которых первая образует с АВ
угол, равный углу С, в то время как вторая образует с АС угол, равный
углу В. Доказать, что треугольник ADE равнобедренный.
24. Во всяком треугольнике ABC:
1°. биссектриса угла А образует с высотой, выходящей из вершины А,
угол, равный полуразности углов В и С;
2°. биссектрисы углов В и С образуют между собой тупой угол, равный
прямому, сложенному с углом А
3°. биссектрисы внешних углов В и С образуют между собой острый
д
угол, дополнительный к углу (доказать).
25. В выпуклом четырёхугольнике:
1°. биссектрисы двух последовательных углов образуют между собой
угол, равный полусумме двух других углов;
2°. биссектрисы двух противоположных углов образуют между собой
угол, пополнительный к полуразности двух других углов (доказать).

55 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ