ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КНИГА ПЕРВАЯ . ПРЯМАЯ ЛИНИЯ. ГЛАВА IV. ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. СВОЙСТВО БИССЕКТРИСЫ УГЛА.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. СВОЙСТВО БИССЕКТРИСЫ УГЛА.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве
Ниже посмотрите текст для быстрого ознакомления(формулы отображаются не корректно):

34. К прямоугольным треугольникам применимы, само собой разумеется,
признаки равенства произвольных треугольников. Например,
два прямоугольных треугольника равны, если они имеют соответственно
равные катеты (второй признак равенства произвольных
треугольников).
Кроме разобранных ранее признаков равенства треугольников,
существуют два других, которые приложимы
только к прямоугольным треугольникам.
Первый признак равенства. Два прямоугольных
треугольника равны, если они
имеют равные гипотенузы и по одному
равному острому углу.
Пусть (черт. 36) даны два прямоугольных
треугольника ABC и А’В’С, в которых
ВС — В’С\ /_В==/тВг.
Наложим второй треугольник на первый
так, чтобы их равные углы В и В1
совпали. Тогда ВГС пойдёт по направлению ВС, и так как эти
два отрезка равны, точка С попадёт в точку С. При этом ВГАГ
пойдёт по направлению В А, и, следовательно, СГАГ должна пойти по
направлению перпендикуляра, опущенного из точки С на ВА,
т. е. по направлению СА.
Второй признак равенства. Два прямоугольных треугольника
равны, если они имеют по равной гипотенузе и по одному равному
катету.

47 ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. СВОЙСТВО БИССЕКТРИСЫ УГЛА. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Пусть даны два прямоугольных треугольника ABC и А’В’С,
в которых ВС = ВГС, АВ = А’В’. Наложим второй треугольник
на первый так, чтобы совместились равные стороны АВ и А’В’.
Сторона АГСГ пойдёт по направлению АС. Мы будем иметь теперь
две наклонные из точки В к прямой АС, а именно ВС и новое положение
стороны ВГС, которые по условию будут равны и, следовательно
(п. 30), одинаково удалены от основания перпендикуляра. Таким образом,
А’С = АС, откуда и следует равенство двух треугольников.
35. Теорема. Если два прямоугольных треугольника имеют
по равной гипотенузе и по неравному острому углу, то стороны,
противолежащие неравным углам, неравны, и против большего
угла лежит большая сторона.

48 ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. СВОЙСТВО БИССЕКТРИСЫ УГЛА. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Пусть даны треугольники ABC и АТВТСГ (черт. 37), в которых
ВС = В’С’; Z£> LB\ Я утверждаю,
что АСА> А’С.
Чтобы в этом убедиться,
отложим на продолжении стороны
АС равный ей отрезок
AD и точно так же на продолжении
стороны А’С’—рав-
Черт. 37. ный ей отрезок А’В’. Мы будем
иметь прежде всего
(п. 29) ВВ = ВС = В’С = ВГВ’. Кроме того, в равнобедренном треугольнике
ВВС медиана В А будет также биссектрисой, так что угол
ВВС будет в два раза больше первоначального угла В. Точно
так же угол В’В’С будет в два раза больше первоначального
угла В\ так что мы будем иметь /_ВВСА> /_ВГВГС.
Два треугольника ВВС и В’В’С’ будут иметь тогда по неравному
углу, заключённому между соответственно равными сторонами,
откуда следует, что ВСА>В’С, а следовательно, АСА ‘ С ‘ .
36. Теорема. Биссектриса угла есть геометрическое место

точек, расположенных внутри угла и одинаково удалённых от
сторон угла.
Доказательство, как мы объяснили раньше (п. 33), состоит из
двух частей.
1°. Любая точка, лежащая на биссектрисе угла, одинаково
удалена от сторон угла.
Пусть даны угол ВАС и точка М (черт. 38), лежащая на биссектрисе
этого угла. Если из точки М опустим на стороны угла перпендикуляры
MB и ME, то два прямоугольных треугольника АМВ,
АМЕ будут равны как имеющие общую гипотенузу и равные острые
углы (при вершине А). Следовательно, перпендикуляры MB и ME
будут равны.
2°. Любая точка, расположенная внутри угла, но не на биссектрисе,
неодинаково удалена от двух сторон угла.
Пусть дана точка М’у расположенная, например, между биссектрисой
и стороной АС.

При этом угол ВАМ будет больше угла МГАС. Следовательно,
если мы опустим на АВ и АС перпендикуляры MD’ и М’Е\ то два
прямоугольных треугольника AMD’ и АМЕ будут иметь общую
гипотенузу и неравные углы при вершине А;
следовательно, МП будет (п. 35) больше ME.
Точно так же, как для теоремы п. 32, мы
могли бы доказать вместо противоположного
предложения, данного в 2 °, обратную теорему:
Всякая точка, расположенная внутри
угла и одинаково удалённая от его сторон,
лежит на биссектрисе.
Для этого пришлось бы, повторяя в обратной
последовательности первоначальные рас- Q
суждения, рассмотреть точку М (черт. 38), которая
по предположению одинаково удалена
от АВ и ЛС, и применить к двум прямоугольным
треугольникам AMD, АМЕ, в кото- Черт. 38.

рых гипотенуза — общая и MD = ME, второй
признак равенства (п, 34). Таким образом, мы доказали бы
равенство углов при Л, откуда и следовало бы, что AM есть биссектриса.
Но таким путём мы не смогли бы узнать, которое из двух расстояний
больше в том случае, когда они неравны.
Следствие. Геометрическое место точек, одинаково удалённых
от двух прямых, состоит из двух биссектрис (п. 15 а) углов,
образованных этими прямыми.

49 ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. СВОЙСТВО БИССЕКТРИСЫ УГЛА. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Околоadmin