Перестановки

Оп р е д е л е н и е . Перестановками из п элементов
называются такие соединения, в каждое из которых входят
все данные п элементов; одна перестановка отличается от
другой только порядком элементов. Например, из трех элементов
а, Ь и с можно образовать всего 6 различных перестановок:
abc, acb, bac, bca, cab, cba.

329 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Перестановки.

Принято число всевозможных перестановок из я элементов
обозначать Р п. На перестановки можно смотреть как
на особый случай размещений, когда число элементов, входящих
в каждое размещение, равно числу всех элементов,
т. е. т = п. Отсюда имеем такую формулу для числа перестановок
из я элементов:
Р п = А п = я (а — 1)(я — 2 )(я — 3> . . . [я — (я — 1)1,
1
или, написав произведение сомножителей в обратном порядке:
Р я = 1 • 2 • 3 • 4 . . . (я — 2) (я — I) я.
Число всех перестановок аз я элементов равно произведению
последовательных н ат у р а л ьны х чисел от 1
-до п включительно.
Пример 1. Р5 = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120.
П р и м е р 2. Сколькими различным! способами друг относительно
друга могут разместиться за столом 10 лиц?
/>10= 1 • 2 • 3 • 4 . . . 10 = 3628 800.
Пр и м е ч а н и е . Произведение я натуральных чисел от 1
до я сокращенно обозначается хак|
1 — 2 * 3 . . . ( я — 1)я = я1 (читается: я-факториал). Например,
41 = 1 — 2 -3 — 4 = 24.

§ 185. Сочетания

З а д а ч а . В турнире участвовало 12 шахматистов; каждый
из них сыгран с каждым из остальных по одной партии.
Сколько всего было сыграно партий?
В этой задаче элементам*! являются 12 шахматистов;
в каждой сыгранной партии участвовало два элемента — два
игрока; порядок элементов не играет роли, т. е. в данном
случае не учитывается, кто из них играл белыми, кто черными.
Соединения, в которых порядок элементов не
и гр а ет роли, называются сочетаниями. Одно сочетание
должно отличаться от другого по крайней мере одним элементом.
Число сочетаний из я элементов но’ т обозначается через Ся
или например, С | означает число всех сочетаний из
восьми элементов по три в каждом. В качестве примера со

330 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Перестановки.

ставим все сочетания из пяти элементов а, Ь, с, d, в па
два, они будут:
ab, ас, ad, ае, be, bd, be, cd, ce, de,
C |= 10.
Если мы в каждом сочетании из пяти элементов по два
произведем всевозможные перестановки элементов, то полу*
чим все размещения из тех же пяти элементов по два; их
будет в два раза больше, т. е. 20, ибо каждое сочетание
порождает два размещения; например, сочетание ab дает два
размещения: ab, Ьа. Но к этому результату мы могли
прийти, непосредственно применяя уже известную нам формулу
л | = 5 • 4 — 20,
Поставим такой вопрос: как по числу всех размещений
из я элементов по т в каждом найти число всех сочетаний
из тех же п элементов по т?
Для одного частного случая мы этот вопрос разрешили,
а именно:
С| = Л* : 2.
Возьмем еще другой пр птвр. составим вес сочетания из
четырех элементов по три; их будет всего четыре:
abc, dbd, acd, bed.
Если в каждом из этих сочетаний произведем всевозможные
перестановки элементов, то получим все размещения из четырех
элементов по три: этих размещений будет во столько раз
больше сочетаний сколько можно образовать перестановок
из трех элементов, т. е. Р 3 — 1 • 2 • 3 = 6; следовательно,
размещений должно быть всего 4 • 6 = 24.
Следующая таблица наглядно поясняет сказанное:

Справедливо и обратное: число всех сочетаний из четырех
элементов по три в каждом меньше числа’ размещений

331 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Перестановки.

•из Четырех элементов по три во столько раз, сколько можно
образовать перестановок из трех элементов, т. е..
_ С\ = л 1 : Р3.
Если распространить предыдущие рассуждения на общий
случай, то будем иметь следующую формулу:
Гпт —— Sлinт -‘• *Р га>
или в раскрытой форме:
п т _ п (л — 1) (п — 2) … [п — (m — 1)]
п ~~ 1-2-3 .. . т
Пр и м е р 1. С?2 = — ^ ^ — = 6 6 .
Число всех партий, сыгранных участниками турнира,
таким образом, равно 66.
Пр и м е р 2. Сколько можно провести различных плоскостей
через 8 точек пространства, если никакие четыре из
них не лежат в одной плоскости?
Плоскость определяется тремя точками, не принадлежащими
одной прямой: следовательно, всех плоскостей будет

332 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Перестановки.