§ 3. Понятие о степени с дробным показателем

ЧАСТЬ II. ГЛАВА 6
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.

Понятие о степени с дробным показателем

Опр е д е л ение . Если а ^> 0 и числа т и,п натуральные, то
— т
* *
Приме р . 2 = У Т ; 8 ==*/8* _ 4.
Определение дробного показателя. возникло в связи с желанием
обобщить правило извлечения корня на случай, когда показатель подкоренного
количества не делится на показатель корня. Правило
т
было выведено в предположении, что т и п натуральные и т делится
на ги Теперь^это правило можно применять и тогда, когда
т и п — любые натуральные числа.
Известно, что рациональная дробь может быть представлена в
различных видах. Например, -g1 — может быть представлена как 2 у3
и т. а Выражение с дробным показателем не зависит от’ того, в
каком виде представлен показатель. Пусть
Т = т‘ * tnq— ptu (1)
Тогда к
т *
а» = У 5й= » У й йг?, (2)
а* = , у & (3)
В силу (1) правые части равенств (2) и (3) тождественны; Поэтому
т р

375 Понятие о степени с дробным показателем. Кабинет Математики.

Определение дробного показателя не распространяется на степени
с отрицательными основаниями, так как тогда выражения с
дробными показателями не обладали бы столь простым и важным
свойством, которое указано.
Приме р . Допустим, что определение дробного показателя распространено
на степени с отрицательным основанием. Тогда
1
( — ! ) * = = — 1 .
В то же время
2
( — 1 ) * = У (—1)2 = V T = 1.
Зам ечание. Нё следует думать, что введением дробного показателя
иррациональное выражение \/ат превращается в рациональ-
т
ное а* . Если выражение п/ а т иррациональное, то и выражение
т т
а » тоже иррациональное. Выражение в* является лишь другой
формой записи выражения
§ 4. Понятие о степени с дробным отрицательным показателем
Оп р е д е л ен и е . Если а — положительное число, то
— HL
п а
3 7 6 ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ О ПОКАЗАТЕЛЕ СТЕПЕНИ [ГЛ. VJ
где т и п — любые натуральные числа.
То есть дробная отрицательная степень положительного числа
равна единице, деленной на степень того же числа с показателем,
равным абсолютной величине отрицательного показателя. Например,
2 3
Теорема . При любом целом х
jp
п/а ? — а п .
До к а з а т е л ь с т в о . Если * ]> 0 , справедливость утверждения
вытекает из определения дробного показателя.

376 Понятие о степени с дробным показателем. Кабинет Математики.

Околоadmin