§ 5. Действия над степенями с рациональными показателями

ЧАСТЬ II. ГЛАВА 6
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.

Действия над степенями с рациональными показателями

В этом параграфе буквы т, п, р, q обозначают целые положительные
числа, буква г, а также гх — любые рациональные числа.
Т е о р ем а 1. Произведение степеней с одинаковыми основаниями
равно степени с тем же основанием и с показателем, равным
сумме показателей.
Короче: при умножении степеней с одинаковыми основаниями
показатели степеней складываются, т. е.
Доказат ель ств о . Переместительный закон умножения справедлив
для любых действительных чисел. При любых рациональных г и степени
аг и ari—действительные числа, поэтому
Для доказательства теоремы достаточно рассмотреть следующие случат
Случай 1. г = 0; rt — любое рациональное число. Имеем
arar1 = ar+rt
aTar\ = a°ari = 1 * аг\ = ат\ = a0+ri = аг+\
Случай 2. г = —•; rt = у . Имеем
m jp
mq+pn m + р
«= nVy’am4+Pn ~ а nq = я л q = ar+ri.
Случай 3. г = Гл = — Имеем
JL+*. л

377 Действия над степенями с рациональными показателями. Кабинет Математики.

Случай 4. г = —- —п ;’ г1 = — —^ ;* имеем
= e д « = 1 1 — 1Г •
3 7 8 ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ О ПОКАЗАТЕЛЕ СТЕПЕНИ [гЛ. VI
m р
в*‘а*
На основании доказанного в случае 2
1 ,
Значит,
Методом математической индукции можно показать, что теорема верна
для любого количества множителей.
_ з 2
Пример, а ъа ^ = а 5 .
Пример, а 6 а 5 = <г1.
Те о р ема % Частное от деления степеней с одинаковыми основаниями
равно степени с тем же основанием и с показателем,
равным разности показателей делимого и делителя.
Короче: #/ш делении степеней с одинаковыми основаниями показатели
степеней вычитаются, т. е.
аг :аГ\ — аГгк
Доказательс тв о . На основании правила умножения степеней
ari аг~г\ 5=2 аг.
Отсюда по определению деления
аг: агг = ar~ri
Пример. e- .T j^ 2 = a-»f
Пример. (ат : ап) : аР = ат~п: а? = ат~п~Р.
Те о р ема 3. Степень произведения двух чисел равна произведению
степеней сомножителей, т. е.
{abf — artf.
ножны три сл
{ab)r = (ab)* = 1; arbr ~ aW = L
Доказательс тв о . Возможны случая:
Случай 1. г = 0. Имеем
Следовательно,
(ab)r = arhr.

378 Действия над степенями с рациональными показателями. Кабинет Математики.

Случай 2. г == ~ • Имеем
т ________________ v ___________ т_ {аЬу = (аЬ)п — У (ab)m= У атЬт— V ат n/ b m=a п Ьп — агЬг.
Случай 3. г = — — . Имеем
j
(aby^(aby * L_.
И ) А
На основании доказанного в случае 2
1 1
m т т *
(ab)n а п Ьп
Значит, ,
j I j -2L -HL
(аЬу = —— — = — 4 г • — ‘ ‘ / п т т 4тг = в » * » = « r6r.
аЛ Ьп а н Ьп
Методом математической индукции можно .показать, что теорема верна
для любого количества множителей.
Те о р ема 4. Степень дроби равна частному от деления степени
числителя с показателем, равным показателю дроби- на
степень знаменателя с показателем, равным показателю дроби.
Короче: степень дроби равна частному от деления степени
числителя на степень знаменателя, т. е.
§ 5 ] ДЕЙСТВИЯ НАД СТЕПЕНЯМИ 3 7 9
д о к а з а т е ль с т во . Возможны три случая:
Случай Л г = 0. Имеем
Следовательно,.
(±\г— а1
Ы
Случай 2. г = ~ . Имеем

379 Действия над степенями с рациональными показателями. Кабинет Математики.

Случай 3. г = — Имеем
а г
На основании доказанного в случае 2
1 1
380 ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ О ПОКАЗАТЕЛЕ СТЕПЕНИ [ГЛ. VI
а \п а п
b ) та.
Ъл
Значит,
та
/ л у _ 1 _ в * аг
\ ^ / ^ йг ‘
а л Ь я
т
ьа
Пример, —£р = i = 2.
2Т
Те о р ема 5. Результат возведения степени в степень равен
степени с тем же основанием и с показателем, равным произведению
показателей, участвующих в действии.
Короче: при возведении степени в степень показатели перемножаются,
т. е.
(аг)п = аг%
Доказ ательство. Возможны шесть случаев:
Случай /. г = 0. Имеем
(aTfi = (a°)ri = 1г1= i = а° = <*%
Случай 2. r t = 0 . Имеем
(а0г1=(*0° = 1 = в° = ягг1.
Случай 8. г > 0; Гх > 0. Положим г = —я :7 Гх = ~£ . Тогда
Л
[ 9/—-—~ п’~ в/— п г __ Ш
(aTfi = \ап ) = V ( Удт) = К V я тр = Щ/ атР = = аГи
Случай 4. г< 0 ; Гх>0. Прложим г = — г*, г2>0

380 Действия над степенями с рациональными показателями. Кабинет Математики.

На основании теоремы 4 и доказанного в случае 3
\Шаг») г‘ = (_ar»L)ri= J aLrt r-i ’
Значит,
(aTfi = ar*s ri = crrt ri = a”i.
Случай 5. r> 0; r t < 0. Положим r i = —r8, r8> 0 . Тогда
(а’У» = (arFr* = fp y f •
На основании доказанного в случае 3
1 _ 1
(агУ* ~~аГг’
Значит,
(aTfi =-Jrt — <rrr* — а” и
Случай 6. г < 0; г* < 0. Положим г = — г2, /ч = — г8| гв>0, г8 > 0.
Тогда
На основании доказанного в случае 4
1 1
(д-‘г/з д-^з •
Значит,
(‘ a7i = —д ^Vгт3- = art r* — arri
Следствие. (а*/1 = (в’1 У*
Пример. (вТ ^ _ т ) в_ аа ^
/ I Л-6
Пример. ^ 2 *з j — аъЬ~\
Из доказанных теорем вытекает, что для степеней с любыми рациональными
показателями справедливы следующие правила, которые
были ранее установлены для степеней с натуральными показателями:
1) правило умножения степеней;
2) правило деления степеней;
3) правило возведения произведения в степень;
4) правило возведения дроби в степень;
5) правило возведения степени в степень.
Пример. Вычислить при а — 2,5 и £ = 20

381 Действия над степенями с рациональными показателями. Кабинет Математики.

Решение .
1 _ А 1 _ 1 _ 1 _ 1 1 1 ? 1
д _ a 4 a *jb9 a 2 ‘ _ ‘ в 6 о 2 Ь9 Ь9 _ Г 3 Ъ _ Ь 3
JL * L — 1 1 1 2
* 12й 4 * 4 Ь 9 bX2f 4 ft3 а 3
1 1
При а = 2,5; £==20 имеем Л = j 3 = 8 3 — 4.
Ответ. Л = 4.

382 Действия над степенями с рациональными показателями. Кабинет Математики.

Околоadmin