§ 6. Степень с рациональным показателем

ЧАСТЬ II. ГЛАВА 6
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.

Степень с рациональным показателем

Т е о р ема 1. Пусть г рационально, тогда
Г) гели а ]> 1 и f ]> 0 r
2) если 0 < ^ a< [4 и г > 0 , то а'<Щ
3) еслй й ]> 1 и г 0, то йг< 1 ;
4 ) если 0 < [й < 1 1 й г< [0 , /«о ^ > 1 .
‘Доказательство. ч1) Пусть а > 1 и г = ~ , где т и,л — натуральные
числа/ Тогда
т
~а У а1
Так как в > 1, то ат > 1 и п^,ат > 1.
2) Пусть л < 1 и г==—ш «. Положим в =’ 1 —* тогда «1>1. Имеем
«I
так как по доказанному в п. 1) o j> I.
3) Пусть а > 1 и г*=— тогда
йг= -~ ~ -< 1,
так как по доказанному в п. 1) а п > 1.
4) Пусть о < 1 и г = -— тогда
так как а» < 1 (по доказанному в п. 2)).
Те о р ема 2. Если в > 1 » рациональное г больше рационального
Гъ то а? > ari, если же 0 < V < ^ 1, ото аг <» вг‘, от. е. еелм

382 Степень с рациональным показателем. Кабинет Математики.

а ^ > 1 , то при возрастании г возрастает и степень аТ, а если
0 < ^ а < ^ 1 , то при возрастании Г степень аг убывает.
^До к а з а т е л ь с т в о . . Пусть а^> 1 и г^>Г(. Рассмотрим разность
аГ— аТ 1 = an (в^» — 1). (2)
Так как г,— Г|^>0, то ar~ri^> 1 и, следовательно» ат— art^>0, т. е.
аг]> вЯ ;
Пусть а <^ 1 и r^>rt. Рассмотрим разность
ar— ari = a^(ar~ri — i).
Так как г — 7j > О, то аГг‘< 1 и аг— аг» < 0, т. е. а ‘<
Те о р ема 3. Если с 0, то последовательность {”/ с } имеет
пределом единицу, т. е.
lim ”/ F = 1.
. Д о к а з а т е л ь с т в о . Имеем последовательность
, . \ г . , t v . г ; ……….у ? . . . . w
При й>= 1 утверждение проверяется легко. Остается рассмотреть Два случая:
с > 1 и с < 1.
Предположим сначала, ч т о с > 1 . Тогда каждый член последователь*
ности (3) больше единицы. Обозначим
С= . 1 + А1 :У 7 = 1 + Л , ; У с= 1 + А,; …; я/ с = 1 + …
Тогда последовательность (3) может быть переписана так:
1 + hi\ 1 + 1 + Ьъ\ •••; 1 + Лл; …, (4)
где Лл> 0 при любом л.
Пусть теперь л > 1, тогда (см. теорему 1 § 9 гл. V)
( \ + h nr > l + nhn. \
Но (1 + Ля)я = с> значит,
с — \ О 1 + nhn или hn < — .
Последнее неравенство показывает, что по любому заданному положительному
е можно указать столь большой номер Nt что при всехл>УУ
число hn будет меньше в. Действительно, чтобы hn было меньше с, доста-
I ^ . J._______________С-__ 1
точно, чтобы ——— < е , т. е. л > ——— . Таким образом, за N можно при-
i п с е 1,
нять любое целое число, бдльшее —-— . Отсюда вытекает, что ИтЛд =5хО,
а тогда .
Иш V * = 1 + lim hn = 1.
Пусть теперь подкоренное выражение с% меньше единицы. Положим
с1== —с . Тогда последовательность
^i» ■ • •» \f~tu •••

383 Степень с рациональным показателем. Кабинет Математики.

примет такай вид:
1 1 1
т* V7′ 3/7…V7’’
или, что все равно,
1 1 1 I
1+ v 1+ v 1+м>’ i + v •• (7)
Последовательность (4), составленная из знаменателей последовательности
(7), как показано, стремится к единице, значит, и последовательность (7)
стремится к единице, т. е. опять
1шУс7==1.

384 Степень с рациональным показателем. Кабинет Математики.

Околоadmin