ГЛАВА V. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
§ 1. Особенность дробных выражений
Глава V. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ.
На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).
Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.
Д. К. ФАДДЕЕВ и И. С. СОМИНСКИЙ
АЛГЕБРА
Особенность дробных выражений
Как говорилось уже (гл. III, § 2), алгебраическое выражение
называется дробным, если в числе указанных в нем действий есть*
деление на выражение, содержащее буквы. Это является причиной
некоторых особенностей дробных алгебраических выражений по сравнению
с .выражениями целыми.
Мы знаем, что действия сложения, вычитания и умножения выполнимы
всегда, каковы бы ни были числа, над которыми производятся
эти действия. Поэтому и всякое целое алгебраическое выражение
имеет смысл при всевозможных численных значениях входящих
в него букв. Иначе обстоит дело с выражениями дробными. Из-за
того, что деление на нуль невозможно, всякое дробное выражение
не имеет смысла при таких значения^ букв, при которых знаменатель
обращается в нуль.
Например, выражение
3 + л:
3 — х
теряет смысл при лг = 3. При всех, остальных значениях х это
выражение имеет смысл* ибо 3 — х обращается в нуль только
при х = 3.
Точно так же выражение
5 — х
(2 + *) (3 — лг)
теряет смысл при х = — 2 и при х = 3 , а при всех остальных
значениях для х имеет смысл.
Выражение
аЬ
а — b
теряет смысл при а = Ь и имеет смысл при любых неравных значениях
а и Ъ и т. д.
110 Алгебра. Особенность дробных выражений, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Рассмотрим, наконец, следующее алгебраическое выражение:
аг
d| •
или, что то же самое,
а8: а \
По смыслу действия деления, с? : а9 есть такое число, которое,, будучи
умножено на а9, дает а3. Очевидно, что таким числом является а,
ибо а*а8 = а3.
Таким образом,
а8
Однако, это равенство верно не при всех численных значениях а.
Именно,, если а = 0, то правая часть равенства есть 0, а левая
превращается в выражение Это выражение, как мы уже видели,
приходится рассматривать как не имеющее смысла.
Итак, равенство
а*:а* = а
оказывается верным при всех значениях а, кроме значения а — 0.
Точно так же равенство
(аг9 — А) :{х — 2) — х — \ — 2
верно при всех значениях х , кроме х — 2. Действительно,
i « _ 4 = (AT — 2)(лг + 2),
и следовательно, по определению деления, если хф 2 , то
лг8- 4
•2
А при х = 2 левая часть равенства теряет смысл.
Как было сказано раньше, тождеством называется равенство двух
выражений, верное при всех допустимых значениях входящих в него
букв, причем под допустимыми значениями’ понимаются такие, при
которых оба сравниваемых выражения имеют смысл.
В силу этого определения равенства
а} = а и (лг9 — 4): (аг — 2) = л ;+ 2
следует рассматривать как тождества. Однако при тождественных
преобразованиях с дробными выражениями необходимо помнить о том,
что при fex значениях букв, при которых одна или обе части равенства
теряют смысл, и все «тождество» превращается в равенство,
лишенное смысла. Особенно важно помнить об этом в случае, когда
дробное выражение получается в результате решения какой-либо
задачи. В этом случае необходимо подвергнуть отдельному иселедо-
111 Алгебра. Особенность дробных выражений, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
ванию такие числовые значения для букв, при которых дфобное
выражение теряет смысл.
Пример. При каких значениях у имеет место равенство
Реше н и е . Очевидно, что у находится посредством действия
деления. Именно,
Форма ответа у = х — \ — 2 такова, что при любом значении числа х
у получает вполне определенное значение. Так, при х = 0 j/ = 2;
при х = 1 у — 3 и т. д. В частности, нри х — 2 у = 4.
Однако последнее утверждение неточно. Действительно, при х — 2
наше равенство превращается в такое:
и л и ‘0 ^ = 0, верное при любом значении у у а не только при у = 4.
Поэтому точный ответ на поставленный вопрос будет такой:
при х ф 2 у ~ х — \ -%
при х = 2 у может быть равен любому числу.
При каких значениях букв имеют смысл следующие алгебраические
выражения:
112 Алгебра. Особенность дробных выражений, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Околоadmin
Comments