ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

§ 241. Возрастание и убывание функции.

При исследовании изменения тригонометрических функций
в зависимости от изменения аргумента, а также в других
случаях мы; пользовались такими терминами, как «функция
возрастает», «функция убывает», не оговаривая, какой
точный смысл вкладывается в эти фразы.
Уточним эти понятия.
О п р е д е л е н и е 1. Функция f ( x ) называется возрастающей
в промежутке (а, Ь), если ббльшему значению
аргумента из этого промежутка соответствует ббльшее значение
функции, и наоборот: меньшему значению аргумента
соответствует меньшее значение функции.
Это определение1 в более краткой форме можно записать
так: если
/ ( * 2) > / ( * г) ПРИ х ь (1)
то f ( x ) возрастает в промежутке (а, Ь)> где
а < х х < х% < Ь.
Заметим, что из неравенств (1) вытекает, что
Дд; = х 2 — х г > 0 и Ду = у2 — У1 > О,
т. е. возрастающая функция характеризуется тем, что нри-
ращение аргумента и приращение самой функции одинаковы
по знаку.
График возрастающей функции есть восходящая кривая
(рис. 140), если точка движется по кривой слева направо.

415 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ.

On р е д е л е н и е 2. Функция f ( x ) называется у б ива ю —
щей в промежутке (а , Ь), если ббльшему значению аргумента
из этого промежутка соответствует меньшее значение
функции, и наоборот, т. е. если
fXx i) < / ( * i ) ПРН x 2> x v (2)
то f ( x ) убывает в промежутке (а, Ь), где
а < x t < х 2 < Ь.
Из неравенств (2), следует, что
Ах = х 2 — хл > 0, Ау = у2 — у, < 0.
Убывающая функция характеризуется тем, что ее приращение
(Ду) по знаку противоположно приращению аргумента
(Ах).

График убывающей функции есть нисходящая кривая
(рте. 141). если точка движется по кривой в направлении
слева направо.

416 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ.

§ 242. Аналитические признаки возрастания
и убывания функции.

О характере изменения функции, т. е. возрастает она
или убывает, можно судить по знаку ее производной.
Т е о р ем а . Если производная f’ ( x ) положительна
для всех значений х из промежутка (а, Ь), то функция
/ ( х ) возрастает в этом промежутке, если же
/ ‘ ( * ) отрицательна для всех значений х из промежутка
(а , Ь), то функция f (x) убывает.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Мы убедимся в справедливости
только первой части теоремы; вторая часть доказывается
аналогично.

417 416 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ.

T lo условию / ‘ (x) > 0 для всех х из ‘(а , 5), или
/ ‘( * ) =
в таком случае и ^ > 0 ^переменная— , стремясь к положительному
пределу /'(х ), Должна быть сама положительной
при значениях; близких jc предельному).
Из неравенства
Ау
Дх > 0
следует, что числитель и знаменатель дроби одинаковы по
знаку, т. е, приращения аргумента м функции имеют один
и тот же знак, что соответствует определению возрастающей
функции.
Геометрический смысл доказанной теоремы состоит
в том, что касательная, проведенная в .цюбой точке графика
возрастающей функции, образует острый угол с осью Ох:
0 < ф < | ,
. . . .
тогда как касательная в любой точке графика убывающей
функции образует тупой угол с осью Ох, тангенс которого
отрицателен (рис. 142).

Мы доказали достаточный признак возрастания функции,
что надо понимать так: из того, что производная / ‘ (х ) > 0,
следует, что / ( х ) возрастает; но этот признак является
также и необходимым, т. е : из возрастания функции во всех

418

точках промежутка- (о , $), $|е^ует, что f (хУ ‘Щ ft (производная
может обратиться в нуль в отдельных точках^ см.
примеры). В самом деле, для возрастающей функции Ах и А у
одинаковы по знаку, а потому-^- > 0,
lim
Дх>о
АУ
Дат > ‘0 . у ‘ > о
(предел положительной переменной положителен
или равен нулю).
Пр им е р 1. Показать, что функция
/ (х) = х 3 возрастает на всей числовой
оси, т* е. при любом действительном
значения аргумента-х.,:
При любом х производная / ‘ ( х )~
= Зл:2 0, причем / ‘ (0) — 0 только
при х = 0 . Это говорит о возрастании
функции при любом х (рис. 143).
Пр име р 2. Найти промежутки
возрастания и убывания функции
у = 2 * 2— 8 * -f- 5. Рис. 143.
Находим производную: у ‘ = 4 * — 8; промежуток возрастания
определяется из неравенства
4jc— 8 > 0, или лг > 2, 2 < л с < о о .
Находим промежуток убывания, для чего решаем неравенство
‘ 4жф 8 -< -‘0 ,- а?< 2 ,
или
— оо < х < 2
— промежуток убывания.
П р и м е р 3. Показать, что функция у = — монотонно
убывает для всех значений л: > 0.
Областью определения функции i является вся числовая
ось за исключением точки д: = 0.
( 1 \/ 1 —
==— -JT < Q при
всяком а .о т о говорит об убывании функции в любой
точке.

Скачать или посмотреть оригинал
«АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 19. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ» в формате PDF (416-448).

419 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ.