§ 12. Сложение и вычитание действительных чисел
Ч А С Т Ь II. ГЛАВА I. СТЕПЕНЬ, КОРНИ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).
Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.
Совокупность действительных чисел шире совокупности рациональных
чисел— к рациональным числам присоединяются еще новые,
иррациональные числа. Основные арифметические действия же определены
пока только в применении к рациональным числам. Теперь
необходимо распространить действия на все действительные числа.
Этот вопрос требует специального рассмотрения, потому что при расширении
совокупности чисел мы должны и действия над ними понимать
в каком-то новом смысле, обобщающем прежний.
Отрывок из Камеди Клаб ‘Балкон наш’.
понимать
в каком-то новом смысле, обобщающем прежний.
Ограничимся сначала положительными действительными числами
и начнем с рассмотрения действия сложения. Дадим следующее определение.
Суммой двух положительных действительных чисел (рациональных
или иррациональных)’ навивается длина отрезка, получающегося сложением
отрезков, длинами которых являются слагаемые числа. (Сложение
отрезков здесь следует понимать в том же смысле, как в геометрии.
Именно, чтобы сложить отрезки, нужно их «приложить» один к другому,
т. е ., взяв некоторую точку на прямой,, отложить от нее отрезок,
равный одному из слагаемых отрезков, и от его конца отложить
в ту же сторону отрезок, равный второму слагаемому. Отрезок, соединяющий
начало первого отрезка с концом второго» и есть сумма
данных отрезков.)
Сложение действительных чисел, согласно этому определению,
является обобщением хорошо известного нам сложения положительных
рациональных чисел. Действительно, если длины слагаемых отрезков
выражаются рациональными числами, то в геометрии доказывается, что
длина суммы отрезков равна сумме длин слагаемых отрезков. Если же
один или оба отрезка несоизмеримы с единицей масштаба, т. е. длина
одного из них или обоих не может быть выражена рациональным
числом, то действие сложения отрезков сохраняет смысл и длина
суммы двух отрезков, в силу данного выше определения действия
сложения действительных чисел, тоже равна сумме длин слагаемых
отрезков.
Из данного определения можно установить справедливость переместительного
и сочетательного законов сложения
a -f- b — b -f- a; {a -j- b) -f- с = a -j- (b -f- с).
Мы не будем на этом останавливаться.
Далее, если а, Ъ и с — положительные числа и а^>Ь, то
a -f- с ]> Ъ с.
Действительно, отрезки с длинами а и b можно расположить так,
что они будут иметь общий конец N и отрезок MN с длиной b окажется
частью отрезка KN
с длиной а (см. рис. 37).
Приложив к точке N отрезок
NP длины с, мы
получим, что МР есть часть
КР. Но, согласно определению
сложения действительных чисел, длина КР равна а-{-с, длина
242 Алгебра Сложение и вычитание действительных чисел, Выставка ко дню учителя в библиотеке
Если а, Ъ, с% d — действительные положительные числа и а^>Ь,
c > d , то
cl “j— с b —d.
Действительно, a — ^ c ^ b — ^ — c ^ b — ^ d . .
Установим теперь, как производится сложение положительных действительных
чисел, записанных в виде бесконечных десятичных дробей.
Обратимся к численному примеру. Из таблиц известно, что
|/1Г = 1,73205080..*
1/2 = 1,41421356…
Составим, например, десятичные приближения с тремя знаками после
запятой с недостатком и с избытком к каждому из этих чисел. Это
будут 1,732 и 1,733 для У з и соответственно 1,414 и 1,415 для У 2 .
Отсюда заключаем, что 1 ,7 3 2 < ]/3 <[1,733 и 1 ,4 1 4 < у г2 < 1,415.
Следовательно, в силу только что доказанных Ьвойств неравенств,
3,146< ] / Т + У 2 < 3 ,1 4 8 ,
т. е. истинным трехзначным приближением (с недостатком) к числу
У З ~1~]/г2 является 3,146 или 3,147.
Таким образом, взяв в записи для У З и У~2 по три цифры после
запятой и сложив полученные приближения с недостатком, мы получаем
трехзначное приближение для У з -J- У 2 f в котором последняя
цифра не достоверна — может быть, ее нужно увеличить на одну
единицу.
Таким же образом, исходя из восьмизначных приближений, мы
получим, что У з + У 2 3,14626436. Последняя цифра здесь не
достоверна, ибо, привлекая, как раньше, приближение с избытком,
мы получим 3,14626436 < ] / з — \ -У 2 <3,14626438, так что, может
быть, в десятичном восьмизначном приближении (с недостатком) следует
последнюю цифру увеличить на одну единицу.
Для того чтобы узнать, нужно ли это сделать, надо знать девятые
цифры для У з и |^ 2 . Если окажется, что их сумма меньше 9,
то восьмой цифрой в записи числа У з -\~У~2 является цифра 6.
Если сумма девятых цифр больше 9, то восьмой цифрой в записи
У 3 -\~У2 является 7. Если, наконец, сумма девятых цифр равна 9,
то для установления точной восьмой цифры для У 3 -\~ У 2 пришлось
бы привлечь десятые, а может быть, и одиннадцатые (если бы
оказалось, что и сумма десятых цифр равна 9) цифры.
Выскажем теперь в общем виде некоторые выводы из проведенного
исследования.
Если действительные числа х и у заданы при помощи бесконечных десятичных
дробей, то чтобы получить m-значное приближение (с недостатком
243 Алгебра Сложение и вычитание действительных чисел, Выставка ко дню учителя в библиотеке
к их сумме х + у , нужно сложить m-значные десятичные приближения (с недостатком)
для чисел х и у . При этом последняя цифра будет недостоверной,
возможно, что ее нужно увеличить на одну единицу, что можно выяснить,
только зная следующие цифры.
Чтобы получить надежные границы для х + у , нужно взять т-значные
приближения с недостатком и с избытком к слагаемым числам и соответственно
сложить их. В результате мы получим два числа, йежду которыми
заключена сумма х — \ — у . Разность между полученными границами равна двум
единицам последнего знака, т. е. может быть сделана сколь угодно близкой
к нулю.
Перейдем теперь к действию вычитания положительных действительных
чисел в предположении, что уменьшаемое больше вычитаемого.
Вычитание определяется как действие, обратное сложению, т. е.
как действие, посредством которого по данной сумме и одному из слагаемых
определяется второе слагаемое. Геометрический смысл вычитания
в рассматриваемом случае ясен (рис. 38)
Если действительные числа х и у заданы при помощи бесконечных
десятичных дробей, то, чтобы получить /гс-значное десятичное приближение
к разности х —у , нужно вычесть /я-значные десятичные приближения
(с недостатком) для чисел х и у . Так же, как при сложении,
последняя цифра будет недостоверной, может быть, ее следует
уменьшить на одну единицу.
Чтобы получить надежные границы для х —у у следует из приближения
с недостатком для х вычесть приближение с избытком для у ,
а из приближения с избытком для х приближение с недостатком для у.
Разность между полученными таким образом границами равна двум
единицам последнего знака.
Так, 1^3 = 1,73205080…, ^ 2 = 1,41421356… Отсюда следует,
что
0,31783723 < 1 ^ 3 — V 2 <0,31783725.
После того как действия сложения и вычитания для положительных
действительных чисел определены, они распространяются на действительные
числа любых знаков по тем же правилам, как это делается
для рациональных чисел.
Так, сумма двух отрицательных действительных чисел равна сумме
их абсолютных величин со знаком минус, сумма двух чисел, имеющих
противоположные ^наки, равна по абсолютной величине разно
244 Алгебра Сложение и вычитание действительных чисел, Выставка ко дню учителя в библиотеке
сти абсолютных величин слагаемых и берется со знаком слагаемого,
имеющего большую абсолютную величину. Наконец, разность двух
любых действительных чисел равна сумме уменьшаемого и числа, противоположного
вычитаемому.
245 Алгебра Сложение и вычитание действительных чисел, Выставка ко дню учителя в библиотеке
Околоadmin
Comments