Смешанные группы

25. Смешанные группы.

Скачать полностью бесплатно ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ОСНОВАМ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ учебное пособие. П.А. Крылов А.А. Туганбаев А.Р. Чехлов в формате PDF.

Ниже можете посмотреть текст для быстрого ознакомления (в них формулы отображаются не корректно). Эти тексты и форма поиска справа в колонке помогут Вам быстрее найти нужную информацию на этом сайте.

25.1. 5) Достаточно доказать для случая, когда n = р — простое число. Пусть рA = T’ ф G’, где T’ — периодическая часть
группы рA. Очевидно, что T’ = рT, где T = t(A). Пусть G есть T-высокая подгруппа группы A, содержащая G’, т.е. G —
максимальная подгруппа в A со свойствами: G П T = 0 и G’ С G. Если a 6 A и ро. = b + с (b 6 T, с 6 G), то b 6 T’ = рT и,
значит, A = T ф G.

25.4. в) Допустим, что A1 = T ф G. Тогда из равенства bi = hi + gi (hi 6 T1, gi 6 G) следует, что рihi + рigi = рibi =
bo — ai = (ho — ai) + go. Приравнивая слагаемые, лежащие в T1, получаем рihi = ho — ai при г = 1, 2, …. Для одного из
наших простых чисел, пусть это будет рj, справедливо равенство рjh = ho при некотором h 6 T1. Откуда рj(h — hj) = aj,
противоречие.
25.5. Если A2 = T2 ф G, то в силу р^+1 — bi 6 T2 группа G была бы р-делимой. Это противоречит тому, что не содержит ненулевых р-делимых подгрупп.
25.9. Используйте группу из 25.3 или в группе из 25.4 возьмите такую подгруппу C, что A1 С C С п {ai) и C/T1 = Q.
Допустив существование эпиморфизма C ^ T1, рассмотрите образ элемента bo при этом отображении.
25.11. A = Ext(Q/Z, T) ф D, где D — делимая часть группы T.
25.13. Если бы группа A расщеплялась, то существовал бы такой гомоморфизм £: G ^ T, что пg = £g + рT при любом
g 6 G. Так как группа G алгебраически компактна, то группа £G должна быть ограниченной, а тогда образ £G в Т/рТ был
бы конечным. Противоречие.
25.14. Ввиду определения подгруппы р°G для предельных порядковых чисел и, достаточно показать, что если это равенство
выполняется для и, то оно выполняется и для и +1. Пусть a 6 A П ра+^ и a = рg для некоторого g 6 р°G. Тогда g 6 A, так
как G/A — группа без кручения. Откуда g 6 A П ра G = р° A и, значит, a 6 р^+A.
25.15. Пусть A — редуцированная группа и H(a) ^ H(b) для a, b 6 A. Нужно показать, что o(b) | o(a). Если o(a) = ж, то
всегда o(b) | o(a). Заметим, что если 0 = с 6 A, то hp(c) = ж тогда и только тогда, когда существует порядковое число т со
свойством с 6 ртA = рт+^. Если элемент с лежит в р-компоненте Ap группы A, то Ap, значит, и A — нередуцированные
группы. Поэтому рассмотрим случай: o(a) = k, o(b) = s, где k, s < ж. Пусть k = рк
х
1 …рпп, s = р^1 …рпп, H(a) = [и^- ] и
H(b) = [5ij] (где Иij = ж при г ^ n или j ^ k1, … , kn, Sj = ж при г ^ n или j ^ Г1, … , Тп). Так как sb = 0, то H(sb)
состоит из одних ж. Если H(sa) = H(sb), то это влечет o(b) | o(a). Поскольку иij ^ Sij, то неравенство иij < ж (г = 1, … , n)
влечет 0 ^ j ^ ki — Ti. Откуда ki ^ r и, значит, o(b) | o(a).
25.18. Пусть a, b 6 A, H(a) < H(b), a = (… , ai, …), b = (… , bi, …). Так как H(a) < H(bi) и n(Ai) П n(Aj) = 0 при
г = j, то H(ai) ^ H(bi). Поэтому существуют pi 6 End Ai, piai = bi, а тогда существует р 6 End A со свойством ро = b
(пipa = pinia, где ni: A ^ Ai — проекция).

196 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ОСНОВАМ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ. Смешанные группы.

26.7. 1) Если a, в удовлетворяют равенствам aft = s и $a = s’, то из fiafi = fts = s’ в и afia = sa = as’ следует, что
в* = eae \ B и a* = aea \ B’ — это гомоморфизмы в*: B — B’ и a*: B’ — B. Теперь равенства (aea)(eae) = s и
(eae)(aea) = s’ показывают, что в* и a* — взаимно обратные отображения, откуда B = B’. Обратно, если в*: B — B’ и
a*: B’ — B — взаимно обратные изоморфизмы, то для в = в* и a = a*s’ выполнены равенства aв = s и = s’.
2) а)^ б). Так как f — проекция, а u — автоморфизм, то (1 — f )M = ker f = u-1(ker e) = u-1(1 — e)M = (1 — e)M
и fM = u-1(eM) = eM. б) ^ а). Если v: fM — eM, w: (1 — f)M — (1 — e)M — изоморфизмы, то пусть u — такой
автоморфизм, что u(x + y) = v(x) + w(y), где x 6 fM, y 6 (1 — f)M. Тогда u-1(v(x) + w(y)) = x + y для всех v(x) 6 eM,
w(y) 6(1 — e)M. Поэтому u-1(e(u(x + y))) = u-1(e(v(x)) = u-1(v(x)) = x и, значит, u-1eu = f.
26.15. Пусть a, в 6 End A и aв + Ux — окрестность элемента aв. Так как Ux — левый идеал и и$хв С Ux, то непрерывность
умножения получается из включений (a+ U@ х)(в + Ux) С aв +и$хв +Ux С aв + Ux. Таким образом, End A — топологическое
кольцо. Предположим, что {ai}iei — сеть Коши. В рассматриваемом случае множество индексов I частично упорядочено
с помощью порядка, обратного к порядку на конечных подмножествах группы A. Сеть Коши удовлетворяет следующему
условию: если дано x 6 A, то ai — aj 6 Ux при всех i, j, больших некоторого io 6 I, т.е. при больших индексах aix — это
один и тот же элемент из A. Поэтому если определить ax как общее значение всех таких aix, то a 6 End A и a — ai 6 Ux
при всех таких i.
26.17. Пусть и 6 End A и a1, …, an — конечное подмножество группы A. Это подмножество можно вложить в конечное
слагаемое G группы A. Достаточно установить плотность Eo в End A, а для этого нужно показать, что V = Eo П(и+ Ug) = 0.
Если п: A — G — проекция, то 1 — п 6 Ug. Так как Ug — левый идеал, то и(1 — п) 6 Ug и, значит, ип = и — и(1 — п) 6V.
26.27. 1) Если A — эндоартинова группа, то среди ее вполне инвариантных подгрупп вида nA найдется минимальная mA.
Тогда mA — делимая группа и A = B ф mA, где B = A/mA и, значит, B — ограниченная группа. p-компоненты являются
вполне инвариантными подгруппами, поэтому их должно быть конечное число. Обратно, пусть группа A имеет указанный
вид. Достаточно проверить эндоартиновость групп B и D. Для этого используйте известное строение этих групп.
2) Предположим, что A — эндонетерова группа. Семейство вполне инвариантных подгрупп вида A [n] имеет максимальный
элемент A [m]; A [m] — наибольшая периодическая подгруппа группы A и, значит, A = A [m] ф C, где C — группа без
кручения. Подгруппа A [m] вполне инвариантна в A и C = A/A [m]. Прообраз любой вполне инвариантной подгруппы из
A/A [m] в A будет вполне инвариантной подгруппой группы A. Группы A [m] и C эндонетеровы, а тогда группа A также
эндонетерова.
26.34. Если End A — тело, то всякий 0 = a 6 End A есть автоморфизм. Поэтому pA = 0 или pA = A для всякого простого
p. Если pA = 0 для некоторого p, то A — элементарная p-группа. Так как A неразложима, то A = Zp. Во втором случае
A — неразложимая делимая группа; так как умножение на p является эндоморфизмом с нулевым ядром, то A — группа без
кручения. Таким образом, A = Q.
Обратно, кольца эндоморфизмов групп Q и Zp являются простыми полями характеристики 0 и p соответственно.
26.35. Если E = End A — простое кольцо, то для любого простого числа p или pE = 0, или pE = E. В первом случае легко
следует, что A — элементарная p-группа. Если pE = E для любого простого p, то E, а значит, и A делимы. Цоколь в E
служит идеалом, поэтому E — кольцо без кручения. Умножение на p-1 — эндоморфизм группы A, значит, A — группа
без кручения. Таким образом, A = фZp или A = фQ. Эндоморфизмы группы A, отображающие ее на подгруппы конечного
ранга, образуют ненулевой идеал в E. Следовательно, A — конечная прямая сумма.
Достаточность очевидна.

197 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ОСНОВАМ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ. Смешанные группы.

Околоadmin