Применение свойств параллельных проекций
в теме «Параллельность в пространстве»

Глава II. ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЙ
И РЕШЕНИЕ КОНСТРУКТИВНЫХ ЗАДАЧ В IX—X КЛАССАХ

А. Б. ВАСИЛЕВСКИЙ

Главная страница РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по СТЕРЕОМЕТРИИ

Научно-исследовательский институт
педагогики Министерства просвещения БССР

Скачать PDF файл Бесплатно ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по СТЕРЕОМЕТРИИ

Ниже текст только для быстрого ознакомления с темой. В нём формулы отображаются некорректно. Качественный текст смотрите в оригинале (формат PDF) по ссылке выше.

Со свойствами параллельных проекций и правилами изображений
пространственных фигур ученики знакомятся
после изучения темы «Параллельность в пространстве».
Отмеченные свойства обосновываются соответствующими
теоремами из этой темы.

41

На основе этик свойств выполняются все построения на
изображениях плоских и неплоских фигур.
Можно утверждать, что для построения проекции любого
многогранника достаточно построить проекции его вершин
и соединить их отрезками. Но при этом нужно иметь в
виду, что проекция не всякого многогранника может уместиться
на данном листе бумаги (или на
классной доске). Как правило, строят
не проекцию многогранника-оригинала,
а подобного ему многогранника.
Проекция фигуры, подобной фигуре-
оригиналу, называется изображением.
Учащиеся часто не различают эти два
понятия, поэтому уже при изображении
простейших плоских и пространственных
фигур следует объяснить им, в чем
разница между проекцией и изображением
геометрических фигур.
Прежде чем переходить к решению конструктивных
задач на проекционном чертеже, нужно ознакомить учащихся
с тем, какие плоские фигуры можно принимать за
изображение треугольника (в частности, прямоугольного
и правильного), правильного шестиугольника, тетраэдра,
куба, прямоугольного и наклонного параллелепипедов.
Ученики уже знают, чтсгза изображение любого параллелограмма
можно принять любой параллелограмм. В дальнейшем,
при изучении многогранников и круглых тел, они
узнают, как изображаются правильная четырехугольная
и шестиугольная пирамиды, шар, конус и цилиндр.
В результате рассмотрения теней модели произвольного
треугольника учащиеся приходят к предположению, что его
проекцией может быть треугольник любой формы. Но, изучая
каркасные модели (рис. 75), можно получить гипотезу, что
данный треугольник А0В0С0 в плоскости проекций а может
служить изображением бесчисленного множества любых
по своей форме треугольников (доказательство этого утверждения
приведено ниже).

Контрольные вопросы

1. Правильный треугольник расположен в плоскости,
параллельной плоскости проекций а. Установите форму
треугольника, который является проекцией данного.

42

2. Стороны треугольника ABC относятся как 3 : 5 : 7 .
Какой треугольник можно принять за его изображение,
если стороны A ABC параллельны плоскости проекций а?
После этого учителем доказывается теорема.
Изображением любого треугольника может быть любой
треугольник плоскости проекций.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть на плоскости проекций
(рис. 76) изображен некоторый треугольник А0В0С0. Пусть
дан некоторый треугольник ABC (рис. 77). Возможны два
случая.
1. Одна из сторон треугольника ABC (например, АВ)
равна одной из сторон треугольника А0ВйС0 (например,
А0В$). Размещаем в пространстве треугольник ABC так,
что его сторона А В совмещается со стороной А0В0 треугольника
А0В0Сп, а вершина С не лежит в плоскости проекций
а (рис. 78). Соединяем отрезком точки С и С0. Теперь
ясно, что если за направление проецирования (/) принять
прямую СС0, то треугольник А0В0С0 будет параллельной
проекцией треугольника ABC, причем А = Л0 и В = В0.
2. Ни одна из сторон треугольника ABC не равна ни
одной стороне треугольника А0В0С0. В этом случае преобразовываем
треугольник ABC в такой подобный ему треугольник
АХВ^СХ, чтобы одна из сторон треугольника АХВХС%
была бы равна одной из сторок треугольника А0ВаСй.
После этого показывается, что треугольник Л0В0С0 является
проекцией треугольника и, следовательно,
изображением треугольника ABC.

Контрольные вопросы

1. На рисунке 79 в натуральную величину показан правильный
треугольник ABC. Каждая его сторона точками

43

Р, К, D, Е, F и М разделена натри равные части. Какими
свойствами обладает шестиугольник PKDEFM?
2. Постройте произвольный треугольник А0В0С0 и примите
его за изображение показанного на рисунке 79 треугольника
ABC. Постройте на сторонах треугольника
А0В0С0 изображение точек Р, К, D, Е, F, М.
Рис. 79. Рис. 80. Рис. 81.
3. Можно ли принять шестиугольник P0K0D0E0F0M0
за изображение правильного шестиугольника PKDEFM?
4. Правильный шестиугольник его диагоналями можно
разделить на шесть конгруэнтных правильных треугольников.
Исходя из этого свойства, предложите другой способ
построения изображения правильного шестиугольника.
. Рис. 82.
Теорема Польке — Шварца (за изображение любой
наперед заданной треугольной пирамиды можно принять
любой четырехугольник вместе с его диагоналями) в школе
не доказывается. Она сообщается ученикам без доказательства,
а содержание ее-раскрывается при помощи каркасной
модели треугольной пирамиды и ее теней на некоторую плоскость
(рис. 80—83). Для этой цели лучше всего использовать
шарнирную модель пирамиды. Меняя положение модели
пирамиды относительно плоскости проекции и относитель

44

но падающих на нее лучей, можно показать, что проекцией
одной и той же треугольной пирамиды могут быть различные
четырехугольники (вместе с их диагоналями).
Следует также показать, что при определенном положении
модели ее проекцией может быть и вырожденный (в треугольник)
четырехугольник.
При помощи модели (рис. 84)
можно показать, что один и тот
же четырехугольник (вместе с его
диагоналями) может быть изображением
самых различных по форме
треугольных пирамид, в том
числе и правильных.
С изображениями других плоских
и пространственных фигур и
построениями на них ученики
знакомятся в процессе работы
над следующими упражнениями,
которые предназначены для повторения
свойств параллельных
прямых, плоскостей и их проекций.
Теперь переходим к описанию системы конструктивных
задач на применение свойств прямых и плоскостей и их
параллельных проекций.
/ Հ
է / —
ь
/
Рис. 85.
1. Дана модель куба ABCDA1B1C1D1 (рис. 85). Известно,
что все грани куба конгруэнтные квадраты. На основании
признака параллельности плоскостей докажите, что
противоположные грани куба параллельны.
2. Известно, что проекция плосгэй фигуры на плоскость,
параллельную плоскости фигуры, есть фигура, конгруэнтная
данной. Ребро куба ABCDAiB1C1D1 равно 30 мм.
Рис. 86. Рис. 87.
45

На рисунках 86—97 показаны различные проекции этого
куба, по-разному расположенного в пространстве относительно
плоскости проекций:
а) назовите изображения куба ABCDA^^CxDy, две
грани которого параллельны плоскости проекций;
б) назовите изображения куба, грани которого не параллельны
плоскости проекций;
в) на рисунке 88 изображен куб, диагональное сечение
А Л)СХС которого параллельно плоскости проекций. Расскажите,
как строилось такое изображение куба;
г) каким отрезкам (ребрам, диагоналям и т. п.) параллельно
направление проецирования (рис. 90—93, 95, 96)?
3. Ребро-куба A B C D A ^C ^ ^ равно 30 мм. Постройте
его изображение, если плоскость проекции параллельна:
а) грани ABCD; 4
б) треугольнику А В К (К — середина ребра В^С^)՛,
в) треугольнику AXDB;

46

г) диагональное сечение ААХСХС и направление проецирования
параллельно прямой МВХ (точка М принадлежит
диагонали АХС куба и \АгМ\ : \МС\ = 4 : 1);
д) треугольник А ^ В и направление проецирования
параллельно прямой B J ) .
Ответы на рисунках 98—102.

47

4. На рисунке 103 изображен куб ABCDAlB1C1D1,
одна из граней которого параллельна плоскости проекций.
Точка F — середина [АХВХ\, Е — середина [S jC J. Постройте
на этом изображении:
а) медиану ВХТ треугольника F ВВг;
б) медиану DM треугольника DAJ) х;
в) высоту ВХН треугольника BBXF\
г) высоту ВУК треугольника ВВуЕ;
д) биссектрису BXN треугольника В Вյ/7;
е) биссектрису BXL треугольника ВВгЕ.
Умение выполнять построения основных элементов треугольника
(высоты, медианы, биссектрисы) на его проекционном
чертеже важно, так Как эти конструктивные операции
являются составной частью большинства задач на
изображениях пространственных фигур (подробно об этом
говорится в п. 3 этой главы).
Решая задачу 4, необходимо обратить внимание учащихся
на то, что если плоская геометрическая фигура (в
данном случае треугольник) расположена параллельно
плоскости проекций, и, следовательно, она изображена без
искажения своей формы, то построения на ней выполняются
по правилам, применяемым и в планиметрии. В нашей задаче
так выполняются построения на треугольнике BBXF.
Если плоская фигура (в нашей задаче — треугольники
DAJ^i и ВВгЕ) не параллельна плоскости проекций и изображается
неподобной ей фигурой, то построения на ней нельзя
выполнять так, как это делалось в планиметрии. В этом
случае для решения задачи мы должны применить свойства
параллельных проекций и некоторые свойства тех элементов,
которые нам нужно построить.
Поясним сказанное пунктами в) и г) задачи 4.
Высоту ВХН для треугольника BBXF можно построить
с помощью угольника. Для треугольника B B XE только

48

этим инструментом задачу решить нельзя, хотя треугольники
BBXF и ВВхЕ конгруэнтны. Поэтому, после выполнения
учащимися пункта в), следует предложить им путем
непосредственных измерений найти отношение отрезков
FH и НВ и сравнить его с отношением катетов F Вг и ВХВ.
Это даст возможность учащимся вспомнить теорему, которая
символически записывается так:
\FBxl2: |5ХВ|2 = \FH\: \НВ\.
Некоторые учащиеся пункт г) пытаются выполнять при
помощи угольника. Чтобы они убедились в ошибке, можно
предложить измерить отрезки ЕК и КВ и найти их отношение.
Таким образом, чтобы построить изображение высоты
ВгК треугольника В ^ Е , необходимо сначала найти, в каком
отношении точка К делит его гипотенузу BE (в нашем
случае \ЕК\ : |/(В| = 0,52 : I2 = 1 : 4). После этого с помощью
миллиметровой линейки делим отрезок BE (рис. 104)
в отношении 1 : 4. Перед этим нужно напомнить учащимся,
что отношение отрезков, расположенных на одной прямой,
равно отношению их проекций.
Аналогичным образом ведется работа и над пунктами
д) и е). Построения ученики выполнят самостоятельно,
нужно только им напомнить о том, что биссектриса внутреннего
угла треугольника делит его противоположную сторону
на части, пропорциональные его прилежащим сторонам.
Прежде чем переходить к построению параллельных прямых
и плоскостей, нужно отработать с учениками навыки
нахождения точки пересечения прямой и плоскости.
В силу недостаточно развитого пространственного воображения
девятиклассники допускают частые ошибки. Без
построения точки пересечения прямой и плоскости не обходится
решение большинства конструктивных задач на проекционном
чертеже.
Для того чтобы найти точку пересечения прямой и
плоскости а, нужно построить прямую пересечения произвольной
вспомогательной плоскости я, которой принадлежит
данная прямая, с плоскостью а. Искомая точка находится
как точка пересечения данной прямой с прямой,
по которой пересекаются плоскости я и а. Но для определения
линии пересечения плоскостей я и а нужно иметь
две ее точки.
Отсюда ясно, что обе задачи (построение точки пересе

49

чения прямой с плоскостью и построение лиции пересечения
двух плоскостей) взаимосвязаны. Поэтому:
а) сначала следует решать задачи на построение точки
пересечения прямой и плоскости на проекционных чертежах,
на которых уже показана линия пересечения данной и
вспомогательной плоскостей:
б) задачи на построение должны чередоваться с задачами,
требующими анализа данного изображения фигуры,
установления общих элементов ее составных частей;
в) нужно широко использовать свойства тех фигур, на
изображении которых решаются конструктивные задачи.
Исходя из этого и составлена следующая система упражнений
на построение общих элементов прямых и плоскостей.
5. На рисунках 105—109 даны изображения куба
ABCDA^CxDi.
а) точка X £ (DC) (рис. 105). Назовите те ребра куба,
которые пересекает прямая DxX\
б) точка Y £ (АХВ) (рис. 106). Пересекается ли прямая
DXY с прямой СВ?
в) точки О = (АС) Ո (BD), Ох = (АХСХ) Ո (BXDX)
(рис. 107). Почему (ООг) = (АССХ) Ո (BDDх)?
г) есть ли общая точка у прямых САг и АСХ (рис. 108)?
д) точка F принадлежит грани АВВ1А1 (рис. 109). Отрезок
ЕЕг проходит через точку F и параллелен (ВВХ).
Докажите, что точка Н пересечения прямой DXF с плоскостью
грани ABCD лежит на прямой DE.
6. Дано изображение куба ABCDAXBXCXDX (рис. 110).
Постройте прямую, по которой пересекаются плоскости
ABC и АХАС. Постройте точку X пересечения прямой AM
(М — середина [С:С]) с плоскостью АХВХСХ.
7. Точка Я — середина ребра CXDX куба АВСОАхВхСгОх
(рис. 111). Нужно построить точку X = (DC) Ո (ВВХН).
Рис. 105. Рис. 106. Рис. 107.
50

Ученик через # провел прямую հ || (ССХ) и получил X —
— հ Ո (DC). Какими свойствами куба и параллельных проекций
он воспользовался?
8. Точка Р принадлежит ребру ВХСХ куба A B C D A ^ ^D ^
Постройте прямую f — (AtB1C1) Ո (DBP).
9. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Постройте точку пересечения
прямой DXB с плоскостью A^CiC.
✓ ՜ ՜ У
О,
Տ * ՜
в,
в
Рис. 110.
Рис. 111. Рис. 112. Рис. 113.
10. Дано изображение четырехугольной пирамиды
MABCD, у которой ребра AD и ВС непараллельны (рис.
112). Постройте прямую, по которой пересекаются плоскости
MAD и ВСМ.
11. Дано изображение куба A BCD A1B1ClD1 (рис. 113).
Точка Н — середина ребра ССХ, точка К £ [АгА]. Через
К проходит прямая / || (АН). Постройте точку X — f (]
Ո (A & C J .
12. /( — произвольная точка ребра ВВг куба
A B C D A ^ ^D ^ Точки М и Н — середины ребер А.В и
AD (рис. 114). Постройте прямую k пересечения плоскостей
МНК и DBBX.
13. Дано изображение четырехугольной пирамиды
MABCD. (ABCD — ее основание). Точка К— середина
ребра AM. Через К проходит плоскость (3, параллельная
51

плоскости ABC. Постройте точки пересечения թ с ребрами
ВМ, СМ и DM этой пирамиды.
14. Взяли произвольный простой четырехугольник
ABCD. Через вершину А (вне плоскости четырехугольника)
провели произвольный луч а. Через точки В, С и D
провели лучи Ь, с, d, сонаправленные а (рис. 115). На этих
лучах отложили произвольные,
Рис. 114. Рис. 115. Рис. 116.
но конгруэнтные отрезки АА1։ ВВХ, CCXl DDX. Построили
отрезки А1В1, В1С1, CXD, DXAX. Полученная таким образом
пространственная фигура называется четырехугольной призмой.
Докажите, что точки Ах, Вх, Сх, Dx лежат в одной
плоскости и что плоскости, в которых находятся четырехугольники
ABCD и A1B1C1D1, параллельны.
15. Дано изображение некоторой четырехугольной
призмы ABCDAXBXCXDX (рис. 116). Точка К — середина
[ВВХ]\ \DXE\ = \DXD \ : 3. Постройте точку X — ( ССХ) Ո
Ո (ЛгКЕ).
52

При повторении раздела «Параллельные и ортогональные
прямые н плоскости» можно использовать следующие
задачи на построение сечений многогранников плоскостью.
Главное их назначение — обучение учащихся комплексному
использованию методов построения сечений, свойств прямых,
плоскостей и их параллельных проекций.
16. На рисунке 117 изображена четырехугольная пирамида
MABCD. Ее основанием является параллелограмм
ABCD. Точка X — середина АМС]. Построено сечение DBX
этой пирамиды плоскостью DBX. Докажите, что прямая
AM параллельна этому сечению.
17. Дано изображение треугольной пирамиды DABC.
Точки X и Y середины ее ребер А В и ВС. Постройте сечение
пирамиды плоскостью, проходящей через прямую XY
и параллельную ребру BD. Установите форму полученного
в сечении многоугольника.
От в е т . Рис. 118. Параллелограмм XKPY.
П о с т р о е н и е : [ХК] II [DB], [YP] || [DB].
18. Дано изображение куба ABCDAiBiCyD^. Точка К
принадлежит [АВ]. Постройте сечение куба плоскостью,
проходящей через К и параллельной ребрам АА1 и В1С1.
19. Дано изображение четырехугольной пирамиды
MABCD. Ее основанием является трапеция ABCD
([AD] || [ВС]). Точка Е — середина [МС]. Постройте сечение
пирамиды плоскостью, проходящей через Е и параллельной
[ВМ] и [CD]. Установите форму полученногэ
сечения.
От в е т . Рис. 119. Трапеция КЕРН.
53

П о с т р о е н и е : (ЕР) || (ВМ), (ЕК) || (CD),
(PH) || (CD).
2С. Дано изображение четырехугольной пирамиды
MABCD. Четырехугольник ABCD — ее основание. Точка
К принадлежит внутренней части [DC]. Постройте сечение
пирамиды плоскостью, проходящей через точки В, К и
параллельной [МС].
Рис. 123. Рис. 124. Рис. 125.
От в е т . Рис. 120. Четырехугольник ВРНК-
П о с т р о е н и е : О — (ВК) Ո (AQ> (РО) I! (МС),
Е = (ВК) Ո (AD), Н = (РЕ) Ո (MD).
21. Дано изображение куба ABCDA1B1C1D1. ТочкаМ —
середина [AD]. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей
через вершину А и параллельной (МС) и (В j ) ) .
От в е т . Рис. 121. ААКР.
П о с т р о е н и е : (А К) II (МС). Точка О = (Л/С) Ո
Ո (BD), (РО) || (В Д .
22. У прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1Dl
ребро \АВ\ = 5-յ-, \ВС\ = 4, \BBL\ = 7. Постройте сечение
параллелепипеда плоскостью, проходящей через вершину
В и перпендикулярной прямой АС. Определите площадь
полученного сечения.
От в е т . Рис. 122. Прямоугольник ВРР^В^, [РВ]±_(АС).
Положение точки Р на ребре CD определяется из подобных
треугольников А ВС и РСВ
\АВ | : |ВС| = \ВС\ : |СЯ[.
Отсюда \СР\ — 3, |РВ\ = 5.
54

23. Дано изображение куба Л Б С /Э Л ^С Л , ребро
которого равно единице. Его сечение — треугольник, ортогональными
проекциями которого на грани A BCD и АВВ1А1
являются треугольники ABD и ABAV Постройте это
сечение. Определите его площадь.
От в е т . AXBD.
24. Точка X принадлежит диагонали АС основания
ABCD куба ABCDA1B1C1Dl . Постройте сечение куба плоскостью,
проходящей через точку X, параллельной BD и
перпендикулярной плоскости грани При каком
положении точки X на отрезке АС площадь сечения будет
наибольшей? Существует ли такое положение точки X,
при котором сечением куба будет квадрат?
25. Дано изображение прямоугольного параллелепипеда
ABCDAj^ByCj^Di- Причем его диагональное сечение АСС1А1
параллельно плоскрсти проекции (за плоскость проекций
принимается плоскость чертежа). \АВ\ — 2, |5С| = 2,
\AAt | = 4. Плоскость проходит через прямую DB и образует
с треугольником BDC двугранный угол а. Постройте
сечение параллелепипеда этой плоскостью, если
а) а = 30°; б) а = 75°; в) а = 90°.
От в е ты. Рис. 123, 124, 125.
2 6 . Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 3 см. Точки Кг,К,
М — середины его ребер A1D1, AD, АВ\
а) постройте изображение этого куба, на котором четырехугольник
СККхСг был бы показан без искажения своей
формы;
б) докажите, что прямые КС и DM перпендикулярны;
в) на этом изображении постройте сечение куба плоскостью,
проходящей через (MD) и образующей с треугольником
ADM двугранный угол
1) 30° ; 2) 120°.
От в е ты, а) Рис. 126. Строим в натуральную величину
прямоугольник KKiCxC, у которого
ICCJ = 3 см; \КС\ = V \DC\֊ + \KD\2 = V З2 + 1,52^
« ճ 3,3 (см).
Отмечаем на плоскости чертежа произвольную точку D.
Строим [DDJ || iKKil и LDDJ տճ [В Д . На луче IDK)
откладываем [АК\ = \KD\ и т. д.
55

в’) Строим РОК — 30° (рис. 127). Точки М, D, Р определяют
искомое сечение XMD, где X = (PD) Ո (ААХ).
в») Строим КОН = 120° (рис. 128). Через Н проводим
прямую, параллельную (DM). В пересечении с (ВХСХ) и
(DXCX) получаем точки Р и Е. Строим [MF\ |] (DE). Пятиугольник
DMFPE — искомое сечение.

56

СТЕРЕОМЕТРИЯ

СТЕРЕОМЕТРИЯ 9 класс, СТЕРЕОМЕТРИЯ 10 класс, Пространственные фигуры

#СТЕРЕОМЕТРИЯ #Математика

Математика в школе.
Библиотека учителя математики.
Интернет бизнес с нуля

Параллельность в пространстве, Применение свойств параллельных проекций