ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЙ

Глава II. ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЙ
И РЕШЕНИЕ КОНСТРУКТИВНЫХ ЗАДАЧ В IX—X КЛАССАХ

А. Б. ВАСИЛЕВСКИЙ

Главная страница РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по СТЕРЕОМЕТРИИ

Научно-исследовательский институт
педагогики Министерства просвещения БССР

Скачать PDF файл Бесплатно ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по СТЕРЕОМЕТРИИ

Ниже текст только для быстрого ознакомления с темой. В нём формулы отображаются некорректно. Качественный текст смотрите в оригинале (формат PDF) по ссылке выше.

1. Основные понятия стереометрии.
Аксиомы

Задачи на построение сечений являются средством развития
конструктивного мышления. Мы полностью разделяем
мысль А. Фуше* о том, что «… не следует приступать к
рассмотрению параллельных прямых, прежде чем ученики
не сумеют определить и правильно нарисовать сечение тетраэдра
ABCD плоскостью, определенной тремя точками
К, Լ, М, соответственно расположенными на трех ребрах
АВ, ВС, CD (рис. 47).
Конструктивные задачи, решение которых основывается
только на аксиомах стереометрии, должны предшествовать
изучению свойств параллельных прямых и плоскостей.
«В самом деле, изучение параллельных прямых требует применения
перспективы и бесчисленных теорем со сложными
доказательствами, что особенно усугубляет главную трудность,
которая заключается в необходимости видеть фигуру
в пространстве и строить ее. Кроме того, навыки, приобретаемые
решением задач на построение, дают еще то большое
преимущество, что ученики начинают отличать различные
плоскости, хорошо представлять себе скрещивающиеся
прямые, и это очень помогает им ориентироваться в
запутанных переплетениях технических доказательств, используемых
в курсе»**.
В процессе решения задач на построение сечений можно
развивать умение учащихся различать пространственные
фигуры по их размерам, форме и взаимному положению.
—————
* Фуше А. Педагогика математики. М., 1969, с. 120.
> ** Т а м ж е, с. 120, 121, ,

34

Ниже описывается система упражнений на построение
сечений, которые целесообразно рассмотреть с учениками
сразу же после изучения аксиом стереометрии.
Построение сечений выполняется на знакомых учащимся
изображениях куба, прямоугольного параллелепипеда, треугольных
и четырехугольных пирамид. Первые восемь
задач решаются методом следов,
следующие четыре — методом
деления четырехугольной
пирамиды на треугольные
пирамиды, последние три задачи
— методом дополнения
четырехугольной пирамиды до
треугольной пирамиды.
1. Дано изображение треугольной
пирамиды DABC.
Положение точек М и К относительно
пирамиды показано
на рисунке 48. Постройте точку X пересечения прямой МК
с плоскостью ABC.
От в е т . Рис. 49, X = (МК) Ո (^С).
Рис. 47.
D
2. На рисунке 50 изображена треугольная пирамида
DABC. Точки К, М»и Р принадлежат соответственно ребрам
AD, DC и СВ. Постройте прямую f, по которой пересекаются
плоскости ABC и КМ Р.
От в е т . Рис. 51, f = (РЕ), где Е = (КМ) Ո ИО-
3. На изображении треугольной пирамиды DABC

35

(рис. 52) постройте прямую ք пересечения плоскости КМР
плоскостью DAB.
От в е т . Рис. 53, / = (ХУ), где X = (КМ) Ո (DA),
Y = (КР) Ո (DB).
4. Дано изображение треугольной пирамиды КРМА
(рис. 54). Точка X 6 (PM), Y £ (РА), В 6 И К1 Постройте
сечение пирамиды плоскостью BXY.
Ծ
С с
От в е т . Треугольник BED (рис. 55), где Е = (РК) Ո
Ո (BY), D = (ХЕ) Ո (КМ).
5. Дано изображение треугольной пирамиды DABC
(рис. 56). Точка М в ША), Р 6 ШС], К € ЮВ]. Постройте
сечение пирамиды плоскостью КРМ.
От в е т . Четырехугольник XKPY (рис. 57), где
X = (МК) Ո (АВ), Y = (АС) Ո (МР).

36

в. Дано изображение треугольной пирамиды DABC
(рис. 58). Точка К £(BD), Р 6 [AD], М 6 (DC). Постройте
сечение пирамиды плоскостью МРК-
От в е т . Треугольник XYP (рис. 59), где Y = (РК) Ո
Ո (ЛВ), X = (АС) Ո (РМ).
7. Дано изображение куба ABCDA1B1C1D1 (рис. 60).
* /г
Рис. 56. Рис. 57.
Точка Р £ [DC), М £ [D ^ ] . Постройте сечение куба
плоскостью АРМ.
От в е т . Пятиугольник AHMYX (рис. 61), где X =
= (АР) Ո (ВС), Y = (РМ) Ո (О Д, Е = (МР) Ո (DDJ,
Н = (А^г) Ո (ЕА).
8. Дано изображение куба ЛВС0Лхб 1С10 1 (рис. 62).
Точка Р £ [DB], М 6 [DXB]. Постройте сечение куба
плоскостью АМР.

37

От в е т . Пятиугольник AKHYF (рис. 63), где Е —
= (МР) Ո (DDJ, F = (ВС) Ո (АР), X = (АР) Ո (DC),
Y — (О Д Ո (Х-Е), Н = (D & ) Ո (ЕХ), К = ( № ) Ո
Ո (Л£).

38

9. Дано изображение четырехугольной пирамиды
MABCD (рис. 64). Постройте прямую, по которой пересекаются
плоскости АМС и BMD.
10. Дано изображение четырехугольной пирамиды
MABCD (рис. 65). Точка Р 6 (МО), где (ОМ)=(АМС) Ո
ո (BMD). Постройте сечение пирамиды плоскостью АВР.
От в е т . Четырехугольник ABYX (рис. 66), где Y —
= (АР) Ո (МС), X = (ВР) Ո (MD).
11. Дано изображение четырехугольной пирамиды
MABCD (рис. 67). Точка Р £(АМ), К 6 (MD),
Е € (ВМ);
м М
а) постройте точку X — (РКЕ) Ո (АМС) Ո (MBD);
б) постройте сечение пирамиды плоскостью РКЕ.
У к а з а н и е . Постройте отрезок, по которому пересекаются
диагональные сечения пирамиды. Теперь см.
задачу 10.
12. Дано изображение четырехугольной пирамиды

39

MABCD (рис. 68). Точка О = (АС) Ո (BD), Р £ (СМ),
Е £ (MD). Постройте сечение пирамиды плоскостью РОЕ.
От в е т . Четырехугольник КУЕХ (рис. 69), где X =->
= (CD) Ո (РЕ), К = (АВ) Ո (OX), Y = (РО) Ո (AM).
13. Дано изображение четырехугольной пирамиды
MABCD (рис. 70). Постройте прямую /, по которой пересекаются
плоскости ADM и ВСМ.
От в е т , f — (MX), где X = (ВС) Ո (AD).
14. Дано изображение четырехугольной пирамиды
MABCD (рис. 71). Точка К £(АМ), Е (Է (MD), Р 6
<Е (ВМ):
а) постройте прямую f = (ADM) Ո (ВСМ)՛,
б) постройте точку X пересечения прямой / с плоскостью
КЕР;
в) постройте сечение пирамиды MABCD плоскостью
КРЕ. ;
От в е т . Четырехугольник PKEY (рис. 72).

40

15. Дано изображение пятиугольной пирамиды
MABCDE (рис. 73). Точка Р £ (AM), К € (МС). Постройте
сечение пирамиды плоскостью ВРК-
От в е т . Пятиугольник BPYLK (рис. 74).
Р еше н и е . F = (ВС) Ո (DE), Н = (АВ) Ո Ф Е ),
X = (НМ) Ո (BP), Т = (ВК) Ո (MF), Y = (ЕМ) Ո
Ո (XT), L = (DM) Ո (XT).

41

СТЕРЕОМЕТРИЯ

СТЕРЕОМЕТРИЯ 9 класс, СТЕРЕОМЕТРИЯ 10 класс, Пространственные фигуры

#СТЕРЕОМЕТРИЯ #Математика

Математика в школе.
Библиотека учителя математики.
Интернет бизнес с нуля

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ