§ 6. Теоремы о пределах

ЧАСТЬ II. ГЛАВА V
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.

Теоремы о пределах

Те о р ема 1. Последовательность не может иметь двух
пределов.
До к а з а т е л ь с т в о . Предположим, что последовательность
Щу Щу • • • » И д о • • •
имеет два предела а и Ь, причем Ь^>а. Возьмем на числовой оси
два равных отрезка Ка и Кь с центрами в точках а и b столь малой
длины, чтобы они не имели общих точек (рис. 78). Например,
длины —Ь—а 2 ~ .
Так как а — предел последовательности, существует такой номер
Ni, что все точки последовательности, номера которых больше Nlt
ч ——- 1— н —————— h — t — и —
а «ft иф *
Рис. 78.
находятся внутри отрезка Ка. Так как b тоже предел последовательности,
существует такой номер N* что все точки последовательности,
номера которых больше N2, находятся внутри отрезка Кь-
Возьмем N столь большим, чтобы оно было больше и N%.
Тогда все точки иф номера которых больше N, должны лежать и
внутри отрезка Ка и внутри отрезка Къ- Это, однако, невозможно.
Т е о р ема 2. Предел последовательности не меняется от
того, что в начале ее приписано или исключено конечное число
членов.
Д о к а з а т е л ь с т в а Пусть последовательность

356 Теоремы о пределах. Кабинет Математики.

имеет пределом число л. Припишем1 к последовательности (I) в начале ее,
например, 100 каких-нибудь членов. Получим последовательность
*1» ** •»» » (2)
При этом 1*1 = 0101; «а = 010* И т. д. Вообще «л = 0юо+л.
Возьмем на числовой оси произвольный отрезок с центром в а, тогда
найдется такой номер N, что всякая точка ип, номер которой больше N, будет
лежать внутри этого отрезка. Это означает, что внутри этого отрезка будут
лежать все точки последовательности (2), номера которых больше чем
100 + N, т. е. число а — предел последовательности (2). Точно так же можно
доказать, что из сходимости к числу а последовательности (2) вытекает сходимость
к этому же числу и последовательности (1).
С л е д с т в и е . Если, начиная с некоторого номера, соответственные
члены двух последовательностей (т. е. члены с одинаковыми
номерами) равны и одна из них имеет предел, то и другая
имеет тот же предел.
Доказател ьс тв о . Пусть последовательность {ип} имеет пределом а
и члены ее, начиная с (k + 1)-го, равны соответствующим членам последовательности
{0Я}, т. е. н*+1 = 0*.и; — и т. д. Требуется доказать,
что
lim 0л = а.
Исключим из последовательностей {ип} и {vn} первые к членов. Получим
две последовательности
• • • > (3)
+*»••• 9 (4)-
которые будут совпадать всеми своими членами.
Последовательность (3) на основании теоремы 2 имеет пределом а. Значит,
и последовательность (4) тоже имеет пределом а.
А тогда на основании теоремы 2
lim 0Л = а.
Полученный результат называется теоремой о предельном переходе
в равенстве и коротко может быть сформулирован так:
Если, начиная с некоторого номера, un = vn и lim ип существует,
то существует и limvn и
lim ип — 1ппт>л.
Например, последовательности, общие члены которых
1 1 05 1
— 2я * ^я — 2я+б * 2я *
т. е. последовательности
± 1 1 2» 4 ’ 8 9 ‘ * *
1 JL .1
64» 128 * 256» ‘ ‘
16, 8, 4, 2, 1, i ………

357 Теоремы о пределах. Кабинет Математики.

имеют один, и тот же предел, равный нулю. Если из первой последовательности
исключить первые пять членов, а из последней первый
десять членов, они будут совпадать всеми своими членами со
второй.
Те о р ема 3. Если каждый член сходящейся последовательности
не менее соответствующего члена другой сходящейся
Последовательности, то и предел лпервой не менее предела второй.
Доказа тел ьство. Пусть
lim ип]^ а\ ,Нш vn ~ b
и, кроме того, un~ ^ vn при всех я. Требуется доказать, что а ^ Ь .
Допустим, что Построим-изображения ..обеих последовательностей,
на одной оси (рис. 79). Возьмем На числовой оси два равных отрезка Ка и
Ш>8 п о с л е д о в а т е л ь н о с т и ч и с е л [гл: у
‘Ъ * ■ *
Рис. 79.
Кь с центрами в точках а и Ъ столь малой длины, чтобы они не имели общих
точек. Напримёр, длины—
Существует такой номер N lt что при всех h > N { точки ип будут лежать
внутри отрезка Ка- Точно так же существует такой номер N 2, что ори
всех п > N* точки vn будут лежать внутри отрезка Кь-
Возьмем N столь большим, чтобы оно было больше и Ni и N 3. Тогда-
все точки йт номера которых больше должны лежать внутри отрезка Ка>
а соответствующие им точки vn — внутри отрезка Кь- Это, однако, невозможно,
так кдк ни одна точка ип не может лежать левее соответствующей
точки vn.
Эта теорема называется теоремой о предельном переходе в неравенстве.
З амеч ание . Не следует думать, 4to из строгого неравенства
о ® ,п*
которому удовлетворяют соответствующие члены двух сходящихся
последовательностей, вытекает* что lim un^>\imvn. В теореме 3 доказано,
что
Например, пусть
Тогда при всех п
Однако
lim ип ^ lim vn.
®Я ®Я’
11m ап — lim vn— О.

358 Теоремы о пределах. Кабинет Математики.

Те о р ема 4. Если члены некоторой последовательности заключены
между соответствующими членами двух последовательностей,
сходящихся к одному пределу, то и эта последовательность
сходится к тому же пределу.
д о к а з а т е л ь с т в о . Имеем un ^ v n ^ w n при всех л. Кроме того,
lim ип = lim wn = а.
Построим изображения всех трех последовательностей на одной оси.
Возьмем на числовой оси произвольный отрезок К с центром в а. Существует,
такой номер N if что-точки иш номера которых больше N lt лежат
внутри отрезка К. Существует такой номер NSi что все «точки wm номера
которых больше N 9, лежат внутри того же отрезка*, Возьмем N столь лболь-
шим, чтобы оно было больше Ni и N& Внутри отрезка К должны лежать и
все точки ия и все точки wm номера которых больше
По условию, всякая точка vn лежит между соответствующими точками ил
и wn. Значит, при n ^> N все точки vn должны находиться внутри отрезка К*
Это и означает, что
; , , Uni =
Например, при всех п
1 п ^ 1 п ц
Кроме того,
lim ( l + ! ) = !;. . l im ( l _ ± ) = = l .
Значит, \
lim ( l — f L J L ) — i.
Т е о р ем а 5. Если последовательность имеет предел, то она
ограничена.
До к а з а т е л ь с т в о . Пусть limиц а== а. Возьмем на числовой оси
произвольный отрезок с центром в а. Начиная с некоторого, номера N,
все точки последовательности лежат внутри этого отрезка и лишь
конечное число точек лежит вне его.
Из точек, лежащих вне построенного отрезка, выберем ту, которая
отстоит от а на наибольшем расстоянии d, Теперь возьмем на
числовой оси отрезок с центром в а и длиной больше Ы. , Внутри
этого отрезка должны лежать все точки последовательности.
Теорема доказана. , ,
З аме ч а й ие. Обратная теорема не г верна, т. е. не всякая ограниченная
последовательность имеет предел. Например, последовательность
1, 0, 1, 0, 1, О,…,
общий член которой
1 + ( — 1 ) я+1
, 2 •
ограничена, а предела не имеет;

359 Теоремы о пределах. Кабинет Математики.

Околоadmin