§ 5. Теорема Виета

ЧАСТЬ II. ГЛАВА 11
УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.

Теорема Виета

Из равенства
а0лг» 4- O ix^1 + . . . 4- = а0 (х — х х) (х— x s) … (х— х*)
легко получить теорему Виета для уравнений любой степени. Перепишем
это равенство так:
а0хп 4 atx*-14-… 4- ап^ х + а п= а0[х 4- (— x t)J [х 4- ( — х,)]… [х + ( — хп)\
К правой части этого равенства применим правило умножения двучленов,
первые члены которых одинаковы (см. гл. У1И, § 5).
Получаем
йохп 4 а ***-14* • • • 4* ап- Iх 4* =
« По(х* + S ix » -* 4 S*x»“* + . . . 4- SJ), (1)
где Si, S*, …, S* имеют тот же смысл, что и в гл. VIII.
Обозначим знаком f x сумму корней уравнения (1), т. е.
f \ = х \ 4 * х % 4 * • • • 4 х п*
Знаком / s обозначим сумму всевозможных произведений корней, взятых по
два. Подобный же смысл йМеют знаки /*, / 4, …, / п. Тогда
S i = — / b 5 * = / а; S*
« £ = ( -Ш, s » = ( — i ) » / „ .
Равенство (1) теперь можно переписать так:
аоХп + atX*’1 + . . . + в„_1лг + ап =
= а„(хп— — (2)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и
левой частях равенства (2), получим .
= во/« = о,; …. ( — 1)»во/я = вп.

480 Теорема Виета. Кабинет Математики.

Теперь имеем
* — Ь Л — — 2 — ; Л — 2-5 А = ( — 1)я ? —
Последние равенства и выражают теорему Виета для уравнения любой
степени. При п = 2, т. е. для уравнения а^х* + atx + получаем известный
результат: f t = — — ; / 2 = — . По По
Пример. Не решая уравнения х% — х*-\-2х— 2 = 0, определить сумму
квадратов его корней.
Решение. Пусть хи х2, хь — корни данного уравнения. Рассмотрим равенство
х\ + х\ + х% = (*! + х2 + хгУ — 2 (лг^ + XiXb + х2х%). По теореме
Виета
* i + х* + *8 = 1J + З Д + х2х2 5й= 2.
Значит,
* ! + * ! + , * ! = 1— 2-2 = — 3.
Полученный результат означает, что среди чисел х 1у хъ х% имеются
мнимые, иначе сумма квадратов их не могла бы быть отрицательной.
Предложенное уравнение нетрудно решить и подсчитать сумму квадратов
корней непосредственно:
х1 — лга + 2дг — 2 = 0; (х* + 2) (лг — 1) = 0;
Х\ = If х2 /1^2 \ х2 = — 2*»
х\ + л:14- х\ = 1 — 2 — 2 = — 3.

Упражнения
1. Сумма двух корней уравнения 2хь— х* — блг + X = 0 равна 1. Определить

§ 6 . О решении уравнений высших степеней

Прежде всего возникает такой вопрос: можно ли для уравнений любой
степени составить формулы для выражения корней уравнения через его
коэффициенты, подобно известной формуле для квадратного уравнения?
Оказывается, что это можно сделать для уравнений 3-й и 4-й степени, при
этом формулы эти содержат столь сложные радикалы, что на практике ими
предпочитают не пользоваться.
Что же касается уравнений выше 4-й степени, то доказано, что для них
при помощи радикалов такие формулы составить нельзя.
В математике разработан ряд способов, дающих возможность вычислить
любой корень любого уравнения с любой точностью. Один из таких способов
разработан великим русским математиком, творцом неевклидовой геометрии
Н. И. Лобачевским.
Ограничимся рассмотрением графического способа. Этот способ может
применяться для вычисления действительных корней уравнений с действительными
коэффициентами.
Пример. Вычислить вещественные корни уравнения
хь — 2х — 5 = 0.
Решение. Построим график функции у = х8 — 2х — 5 (рис. 107).
Имеем
-2 — 1 0 1 2 2,5
§ б ] б РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ 4 $ 1
у — 9 — 4 — 5 — 6 — 1 5,625
Д. К. Фаддеев, И. С* Сомиыский

481 Теорема Виета. Кабинет Математики.

Нетрудно видеть, что при х > 2 ,5 первое слагаемое х* будет столь
большим сравнительно с остальными, что у будет положительным числом.
По мере продвижения направо от x=s=2,5
график будет подниматься кверху и, следовательно,
больше пересекать ось Ох не
будет.
Точно так же при х < — 2 первое
слагаемое х ь будет столь большим по абсолютной
величине, что у будет отрицательным
числом. По мере продвижения
влево от х = — 2 график будет опускаться
книзу и больше пересекать ось Ох
не будет.
График пересекает ось Ох в одной
точке, и это означает, что уравнение
имеет один действительный (корень (два
других корня уравнения — мнимые сопряженные).
Как видно из таблицы, действительный
корень заключен между 2 и 2,5. По графику
видно, что он ближе к 2, чем к 2,5.
Определим знак у при х = 2,1. Имеем
О —2
2,1 2,41
— 5
+
2,1
Рис. 107.
Это означает, что точка 2,1 лежит правее
корня, так как соответствующая ордината
положительна (см. график).
Таким образом, 2 < х < 2 , 1 . Корень
вычислен с точностью до 0,1. Для получе-
ния^более точного результата можно воспользоваться приемом, указанным
в гл. IV, § 7. Можно показать, что с точностью до 0,000001 лг = 2,094551.

482 Теорема Виета. Кабинет Математики.

Околоadmin