ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА

Приколе селфи.

Установим более общий взгляд на
угол как на алгебраическую величину,
которая может принимать любые
значения: положительные, отрицательные
или нуль.
Проведем ось ОР из начала О и
произвольным радиусом г опишем
окружность. Пусть эта окружности
пересекает ось ОР в точке А (рис. 52).
Если М — произвольная точка на рИс. 52.
окружности, то ей соответствует вектор
ОМ, который в дальнейшем будем называть радиусом-
вектором точки М. Тогда угол АО М. — а будем считать
образованным вращением вектора ОЖ в направлении против
движения часовой стрелки от первоначального положения О А
до положения ОМ:
О А — начальная сторона угла (неподвижная сторона),
ОМ — конечная сторона угла.
О п р е д е л е н и е . Угол а считается положительным,
если он образован вращением вектора ОМ против движения

145 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА.

часовой стрелки, отрицательным, если вектор ОМ вращается
по часовой стрелке. Однако данному положению ОМ
конечной стороны угла соответствует не единственный угол а:
вектор ОМ, повернувшись сначала в положительном направлении
на угол а, может после этого совершить любое целое
число оборотов в положительном или в отрицательном направлении,
noflhe чего конец его неизменно окажется в той
же фиксированной точке М. Следовательно, данному положению
конечной сторон» угла соответствует бесчисленное
множество углов как положительных, так и отрицательных.
Все эти углы получаются по формуле
p = <x + 360°ft,
где ft — любое целое число, в том числе и 0:
•ft = 0, ± 1 , ± 2 , ± 3 , . . .
Пример. Еслй радиус-вектор ОМ повернут в положительном
направлении’ на угол 120° относительно начальной
стороны О А, то такому положению вектора ОМ соответствуют:
а) положительные углы 120°, •480?, 840°, 1200°. . • ■;
б) отрицательные углы (—;240°Х (—600^), (—960°) . . . Все
названные углы содержат^#. формуле _
при ft = 0, 1, 2, 3 для углов а) и при ft = —*1, ■—2, — 3
для отрицательных углов б).
§ 77. Радианпая мера углов
При измерении углов в- градусах за. единицу угла принимается-
угол, равный -1/9Q части прямого угла и называемый
угловым градусом %1ву
В математике, а также в других науках (физика, механика,
астрономия и др.) широко применяется другая мера
углов, так называемая радианная.
Пусть а — центральный угол, которому соответствуют
две дуги АМШ и A tN tB{ (рис. 83) радиусов СМ = г и
OA1s=sri. Если длину дуги AN B обозначим через I, длину
Х$тц ‘A.jNiBt— через lv то легко показать, что

146 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА.

т. е. для данного центрального угла а отношение длдйы
дуги, на которую он опирается, к длине радиуса есть величина
постоянная, не зависящая от размера радиуса. >/
Действительно, длина дуги, соответствующая централь*
ному углу в а градусов, буде

Из. равенства правых следует равенство левых
частей:
. / _ h
■ г г, ’
что и требовалось докозать^-Обозначим ~ = а.
Он р е д е л е н н е 1. Число », -равное отношению длины
дуги 1, соответствующей некоторому центральному углу,
к длине радиуса г называется радианной мерой этого угла.
За единицу в новой системе углов принимается угол,
для которого 1 = г; тогда а = 1, Такой угол называют р а дианом.
Оп р е д е л е н и е 2. 2Радтшшм называется такой центральный
угол, дуг» которого paam длине радиуса.
Таким образом, 1),если длина дуги равна двум радиусам,
то угол равен 2 радианам, 2) если 1 = 1 то угрл равен
трети радиана.
Приме ч ание . В математической литературе часто название
«радиан* , це пишется, а только подразумевается? например,
пишут l ^ AOB = 1,5 вместо полной записи £_ АОВ=
= 1,5 радиана

§ 78. Зависимость между радианной .
и градусной мерами углов

Всякий угол, заданный в^ градусной мере, можно перевести
в радианную, н наоборот, утоли заданный в радианной
мере, можно перевести в градусную меру.

147 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА.

Найдем прежде всего, сколько градусов содержит. 1 радиан,
Известно, что длинд окружности содержит 2я радиуса,
следовательно,
X -VX, 360° == 2я (рад), ,
N 180° = я (рад),
отсюда да I радиан приходится
Менее точно будет принять радиан равным 57°18′.
Пусть градусная мера некоторого угла а°, радианная мера
того же угла а; тогда справедлива следующая пропорция:
а0 : 180° = а: я,
откуда
ла ‘
а — 180е * ^ ^
Составим с помощью формулы (1) таблицу радианной и градусной
мер некоторых углов.

В этой таблице приведены радианные меры наиболее часто
встречающихся углов, причем эта мера выражена с помощью
числа я, приближенное значение которого можно взять с желаемой
точностью. Например, 30° (ра^), отйуда
30° да -^2- (рад) я* 0,52 (рад), 30°да — (рад) да
да 0,5236 (рад) и т. д.
Из формулы (1) можно найти угол в а°; получим
Формула (2) дает градусную меру угла по радианной

148 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА.

Для быстрого, пфейОдй любых углов из градусной меры
в радианную и наоборот во всех Справочниках Имеются соо¥-
ветствующие таблицы.
Решим два примера, пользуясь четырехзначными таблицами
В. М. Брадиса.
Приме р 1. Перевести в радианную меру угол 64°38/.
По таблицам Брадиса (см. стр. 47) находим:
64°36′ —1,1275
г^о.ооо©
64с38′ = 1,1281 (рад)
Пример 2. Выразить в градусах и минутах угол 2,164
радиана.
Так как в таблицах Брадиса такого числа радианов нет,
т© угол будем находить постепенно:

§ 79. Длина дуги окружности

Из формулы а — Цг (см. § 77) Следует, что I = га,
иными словами, длина дуги окружности равна радиусу,
умноженному на радианную меру центрального угла,
соответствующего этой дуге.
П р им ер. .Вычислить длину дуги окружности радиуса
г = 20 см, если,дуга содержит 34° 18′ (дуговых). Центральный
угол, соответствующий этой дуге, также содержит 34° 18′
(угловых), но …… — * . . ……….
3 4 °18’= 0,5986 (рад),
а потому
/==20 • 0 ,5986= 11,972

§ 80. Определение тригонометрических функций
любого угла

, В школьном курсе геометрии для VIII класса даются
определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого
угла а, как отношения сторон прямоугольного треугольника
(рис. 54):

149 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА.

Так как эти определения относятся только к острому углу a
(О < a < 90°), то нельзя говорить о синусе, косинусе, тангенсе
и котангенсе таких
углов, как, напри- &
мер, углы 0°,» 90°, 120°
и вообще любого угла.
Рис. 55г
поскольку острый угол прямоугольного треугольника не может
принимать таких значений.
Однако можно псг-недому. определить рти величины так,
чтобы они относились к любому углу a
Проведем две взаимно. перпендикулярные оси Ох и Оу.
Из точки О их пересечения произвольным радиусом г опишем
окружность, которая пересечет ось Ох в точке А (рис. 55).
Пусть М тг произвольная точка на окружности, ей соответствует
вектор ОМ = г. называемый радиусом-вектором
точки М. Начальной стороной угла АОМ всегда будем
считать сторону ОЛ, лежащую на оси Ох, конечной стороной
— ОМ. Спроектируем вектор ОМтш ось Ох и на ось О у:
npj,. ОМ — О Mi = гх, ЩуОМ — ОМ2 — Гу
Подчеркнем еще раз, что a — угол, образованный вектором г
с осью Олт.
Оп р е д е л е н и е 1. Синусом у г л а , а называется отношение
проекции вектора г на ось Оу к модулю сам

150 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА.

О п р ед ел ен и е 2, Косинусом угла а называется отношение
проекции вектора г на ось Ох’ к модулю самого
вектора п
c o s a—-Г^г- .
Оп р е д е л е н и е 3. Тангенсом у гла а называется отношение
проекции вектора г на ось Оу к. проекции того же
вектора на ось Ох:
Оп р е д е л е н и е 4. Котангенсом угла а называется
отношение проекции вектора т на ось Ох к проекции того
же вектора да ось .Оу: .
— ctg a =
ry
E c h o , ч т о синус, косинус, тангенс и котангенс — отвлеченные
числа. С изменением угла а проекции вектора г на
оси изменяются, модуль .вектора остается без изменения,
а потому sine, cos «fa t g a ,« x tg a будут переменными величинами,
зависящими от угла а, поэтому их называют тригонометрическими
функциями у гла а.
Приме ч ан и е 1. Кроме упомянутых выше четырех тригонометрических
функций, иногда рассматриваются еще две
функции. ,
Оп р е д е л е н и е 5. Секансом угла а называется величина,
обратная косинусу,
Ь ф ‘■?+»*)•
Оп р е д е л е н и е 6. Косекансом у гла а называется величина,
обратная синусу,
—(АФяк).
П ри-м е-ч а н н е 2.;йсзн угол а острый, то новые определения
тригонометрических функций совпадают с прежними,
так как обе проекции — г х и г у — положительны и являются
катетами прямоугольного треугольника с острым углом а.
Пр име ч ан и е 3. На основании доказанной теоремы
о том, что отношение проекции вектора на ось к модулю
вектора не зависит от модуля вектора (см. теорему 2 нз
§ 74), можно дать более простые определения синуса и

151 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА.

косинуса угла а, еслит — единичный вектор, т. е> j r j = r —= 1,
Тогда , .. . .
sina — ГУ = г у\ cos a = —ГХ = r x. ’ — — .’-.’.г
Синусом угла а называется проекция единичного радиуса-
вектора на ось Оу, а косинусом угла а называется
проекция единичного радиуса-вектора на ось Ох.
Такое истолкование синуса и косинуса удобно для изучения
их изменений при вращении единичного радиуса-век-‘
тора г в направлении против движения часовой стрелки.

§ 81. Знаки тригонометрических функций

Оси проекций Ох и О у делят окружность единичного
радиуса на четыре части, каждая из которых называется
четвертью, или квадрантом;
нумерация четвертей показана на
рис. 56. \
Пусть переменный вектор г =
~ ОМ от первоначального поло-
А жения, совпадающего с векто-
х ром О А, вращается в положите ль —
ном направлении я совершает один
оборот. Следовательно, угол a
при этом изменяется от 0° до 360°
(в радианной мере от 0 до 2я).
Проследим за тем, как меняются
в процессе вращения вектора
знаки его проекций г у и гх, так как от знаков этих
проекций зависят знаки самих тригонометрических функций.
a) Проекция на ось Оу, т. е. величина г у, остается положительной
до тех пор, пока конец вектора ОМ, т. е.
точка М, остается на верхней половине окружности; когда
конец вектора описывает нижнюю половину окружности, то
проекция г у отрицательна по знаку. Следовательно, синус —
положителен для углов, оканчивающихся в I и во II четвертях,
и отрицателен для углов, оканчивающихся в III и IV
четвертях.
b) Проекция гх вектора г на ось Ох положительна, если
конец вектора М находится на правой половине окружности,
что соответствует углам, оканчивающимся в I и IV четвертях.

152 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА.

Если же конец вращающегося вектора ОМ описывает левую
половину окружности, что соответствует углам, оканчивающимся
во II и III четвертях, то проекция гх принимает только
отрицательные значения. Значит, косинуе углов, оканчивающихся
в I и IV четвертях, положителен, а углов, оканчивающихся
во II и III четвертях,—отрицателен.
с) Зная знаки проекций г х и гу в каждой из четвертей,
легко установить знаки тангенса и котангенса в каждой
четверти, так как, по определению,
tg a = — и ctg a = — . Г х г Г у
Отсюда следует, что тангенс и котангенс положительны
в тех четвертях, где обе проекции гх и г у одинаковы по
знаку, что имеет место для углов, оканчивающихся в I и III
четвертях. Во II и IV четвертях тангенс и котангенс отрицательны,
поскольку гх и гу — противоположные по знаку числа.
Результат исследования знака тригонометрических функций
дается следующей таблицей:

Примеча ние . Знак секанса совпадает со знаком косинуса,
а знак косеканса одинаков со знаком синуса, что следует
из определений 5 и 6 § 80.

§ 82, Изменение тригонометрических функций
при изменении угла я в пределах Первой окружности

Проследим за изменением каждой из четырех тригонометрических
функций в отдельности при изменении угла от 0°
до 360° (от 0 до 2я). Для этого проще всего исходить из
единичной окружности, для которой (см. § 80)

153 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА.

1. Изменение синуса. Если угод о возрастает, от О®
до 90°, то sin а = Гу возрастает от 0 до 1 (рис. 57). При
дальнейшем возрастания угла от 90° до 180® синус убывает
от 1 до О; щ XII четверти е изменением угла от 180® до 270®
синус продолжает убывать от 0 до «—1. В IV четверти при
изменении угла от 27Q® до 360° синус возрастает от —1 до 0.
2. Изменение косинуса. На рис. 58 изображено изме- ;
нение cos а = гх: в I четверти при возрастании угла a ot О9
до 90° cos а убывает от 1 до 0; во И четверга с возрастанием
угла а от 90° до 180® cos а продолжает убывать от 0

154 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА.

до (—4); при изменении угла а от 180° до 270® cos а возрастает
от (—1) до 0; наконец, в IV четверти с изменением
угла а от 270® до 360® cos а возрастает от 0 до 1.
, Г у 3. Изменение тангенса. По определению, tg a = — ~ .
г х
Нам трудно проследить да тем, как меняется отношение .этих
двух проекций, а потому изобразим тангенс в виде вектора,
величина которого равна отношению чисел — ,
т х
Возьмем окружность единичного радиуса. В конце ради- ~
уса О А, лежащего на оси Ох, проведем касательную АТ, ■,
на которой за положительное направление примем направление
вверх, а за. начало отсчета отрезков примем точку А
(рис. 59). Ось АТ назовем осью, тангенсов.
Пусть вектор ОМ образует ^утол а с осью Ох. Если —
продолжить вектор ОМ за точку М до пересечения с осью АТ
в точке N, то величина вектора AN есть значение tg aj

155 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА.

действительно, из подобия прямоугольных треугольников
ОМгМ и О AN следует пропорция
MiM _ AN
OMi ~ OA’
Ho
jWjAJ = ОЛ4а =»г,; 0-A^ === *у, OA — 1,
а потону
следовательно,
AN — tg a.
Если угол a оканчивается чр второй четверти (рис. 60), то
радиус-вектор ОМ надо продолжить за центр окружности,

156 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА.

чтобы получить вектор (— AN). Теперь легко установить
следующее.
1) Если угол а возрастает от 0° до 90°, то tg a = AN,
оставаясь положительным, возрастает неограниченно -по мере
того, как угол а все ближе подходит к утлу в 90V и перестает
существовать в тот момент, когда а —90°, так как
вектор ОМ становится параллельным оси АТ. Условно
пишут, что
tg a ->• -f- оо при a -> 90°.
2) При возрастании угла а от 90° до 180° тангенс по
знаку делается отрицательным, а его абсолютная величина

157 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА.

убывает до. нуля (рис. 61). В третьей четверти тангенс изменяется
так же, как в первой, а в IV четверти — как во второй?
4. Изменение котангенса. По определению,
d g a = ~ .
. гу
Отношение чисел гх/гу можно заменить величиной вектора
ВР на оси котангенсов BL (рис. 62), где BL — касательная,
проведенная к окружности единичного радиуса

в точке В, лежащёй на оси проекций Оу, для которой
точка В — начало отсчета отрезков; положительное напра-‘
вление — слева направо,
В самом деле, из подобия прямоугольных треугольников
ОМгМ и ОВР имеем
ОМ, _ ВР .
V. . . — — . М,м .. ОВ ‘ ■
Но
ОМ1 = гх -, М,М — гу\ OB — 1,
а потому ^
Ll — ВР или ctga = BP.
гу
Аналогично пункту 3 устанавливаем: >
1) Когда угол а изменяется от 0° до 90°, отрезок
BP = ctg.a, оставаясь положительным, уменьшается от неограниченно
больших значений до 0; поскольку при a = 0
вектор ОМ параллелен оси BL (его продолжение не пересекает
этой оси), то котангенс угла в 0° не существует.

158  АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА.

2) При изменении угла а от 90° до 180° величина вектора
ВР есть отрицательное число, причем абсолютная величина
его неограниченно возрастает по мере приближения
угла а к углу 180°, следовательно* котангенс убывает от 0
до неограниченно больших по абсолютной величине отрицательных
значений, что условно записывают так:
р c tg a -v — оо при а-> 180э.
3) При изменении угла от 180° до 360° котангенс изменяется
так же, как в промежутке от 0° до 180°.
Ход изменения четырех тригонометрических функций
угла а в пределах изменения а от 0Р до 360° (от 0 до 2л)
можно представить следующей таблицей, в которой слово
«возрастает» заменено стрелкой « f » , а слово «убывает» заменено
стрелкой « | ».

Примечание. Условная запись ,«— со f 0» читается
так: «возрастает от неограниченно больших по абсолютной
величине отрицательных значений до нуля».

§ 83. Построение угла.по заданному значению
тригонометрической функции

Построение угла а рассмотрим на примерах.
ГПГ р и м е р 11 . si• n a = ~2^-
Радиу^’окружности О В = 1 делим на три равные части
(рис. 63). На расстоянии 2/з от точки О проводим перпендикуляр
к ОВ до пересечения с окружностью в точках М и Mv
Получаем два искомых угла: АОМ = а х и АОМ1 = а2.

159 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА.

Приме р 2. s i n a =— •£.
Построение, аналогичное описанному выше, дано на рис. 64.
Получаем два угла; первый, «j, оканчивается в III четверти»
второй, Oj, оканчивается в IV четверти

Пр име р 3. сода —
Горизонтальный радиус О А = 1 (рис. 65) делим на пять рав*
ных частей. На расстоянии -g- от точки О проводим перпендику»
дяр к О А до пересечения с окружностью в точках М и Mv по*
лучаются два угла, а ; и <%, оканчивающиеся в 1и IV четвертях.
— …. • — 7
Приме р 4. cosa = — 0,7 = — -jg.
Построение дано на рис. 66. Получаем два угла: первый,
а ,, оканчивается во II четверти, второй, а2, в III четверти.

160 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА.

П р им ер S. = 1 ,5
€троим произвольную окружность и ось тангенсов АТ
67). На осн-тангенсов от Ючкя касания А отклады-
в ноложихельном напрадагеакй отрезок AN, равный
>ра радиусам, точку N соединяем с центром окруж-

УГЛЫ.
Построение аналогична предыдущему и дано-на рис. 68.
Пр име ч а н и е 1. Двойственность в ответах отпадает,
пи на угол а наложено ограничение; например,
(90° < а < 180°).
Теперь угол в ДюлэкепН&ть ‘взят только ид второй^ чет
верти (угол <*1 на рис. §8>
Примеча ние 2. Построение угла по секансу и косе
Мйяеу может быть заменено построением по косинусу и си-
Ь^иусу. Например, если sec а ==2, или тгт-cos от = 2 то со ‘s ‘а = 21 ’
Точно так же нет нужды строить угол по котангенсу,
Й» равенства ctg ct = -|- следует, что tg a = -|-.

161 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА.

§ 84. Значения тригонометрических функций
некоторых углов

Такие углы, как 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°, 360°, или,
д 31 — в радианной мере, 0, 3T — , — у’ЗС , -ЗgТ -, я, ‘-3g -я, 2д я, б^удут
в дальнейшем часто встречаться. Значения тригонометрических
функций этих углов необходимо запомнить.
Поясним, как найдены числа, помещенные в таб

Пусть а = 30°, т. е. радиус-вектор ОМ единичного круга
образует угол в 30° с осью Ох; проеквдй г* и гу положительные
и представляют катеты прямоугольного треугольника
с гипотенузой г = 1. —
Следовательно, г2х — \- г 2у = \ . Но гу = ~ (катет против
угла в 30° равен половине гипотенузы), а потому

162 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА.

Подобным образом могут быть- вычислены значения тригонометрических
функций остальных углов, что рекомендуем проделать
самому учащемуся.

§ 85. Зависимости между тригонометрическими
функциями одного и того же угла

Пусть а — произвольный угол, образов!нный вектором ОМ
с осью Ох; тогда
sma = -гpу- ;. cosa = —гх . -(1)
Возведем равенства (11 в квадрат и сложим:
sip2 о = -j|-
+ Г2х
г2 4-г2
siii2 a-j-‘COs2 a —
<2)
Но проекции гх и гу, взятые по абсолютной величине, представляют
длины катетов; сумма их квадратов равна квадрату
гипотенузы:
rl + r l = r>,
вследствие чего равенство (2) примет вид
sin2a-f-.’cjos2a== 1. (3)
Сумма квадратов синуса и косинуса одного и
того же угла равна . 1..
rv Гу
По определению, tg a — —гх ; величина дроби г-х— не Из-
менится. если числитель и знаменатель разделим на положительное
число г:
‘ ‘ г , » !JL
tg a = V* , : г sin a_ cos a
r
.t g a = —si-n- -a- . (.4..) , . ° cos a ‘ ‘
Тангенс у гла есть отношение синуса этого угла
к косинусу того асе угла (предполагается, что cos а ф 0).

163 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА.

Следовательно,
COS Ct
C,S “ = T K F ‘ ®
• Котангенс угла есть отношение косинуса этого
угла к синусу т ош же у г л а (sin о 0),
Если к тождествам (3), (4) и (5) присоединим еще два,
see а =5 (6)
то получим пять независимых друг от друга соотношений
между шестью тригонометрическими функциями одного и
того же угла.
Выведен некотОрые>следствия ив равенств (3) — (7).
1) Перемножив равенства (4) и |£>), получим
tgo- c tg a = 1,
или
‘ ct^ a = i h ‘
Котангенс у гла есть обратная е ет щ н й тангенса,
и наоборот.
2) Разделим .обе части равенства sin2 a-f-cos2 а = 1
на cos* о; получим
sin2о , |
cos2 а 1 cos2 а
На основании равенств (4) и (6) имеем
tg2o + 1 = 8е^2«.
Подобным же образом делением обеих „частей того же равенства
(3) на sin2« получи»
1″ + c i f a e cosec2 a.

164 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА.

§ 86. Вычисление значений всех тригонометрических
функций но заданному значению одной из них

Приме р 1. Дано: sine=s4M>. Найти значения всех
остальных функций. —
1) Срезу можно найти обратную величину синуса, т. е.
1 5
С08еС1* — ж ^ т —
2) Из соотношения sin2 a-{- cos2 а == 1 находим
cos а = ± У 1 — (0,б)2 = ± -g-.
Двойной знак ^.±) нищем лотому, что неизвестно, в какой
четверти оканчивается угол, а.
3) Находим Обратную величину -косинуса:
. веса — 1 — ±. 5-т. ■ cos а , 4
i- 4)’ Из тождества -csoins аа ■ = t°g а находим тангенс
— 4 ‘
5) По тангенсу находим обратную ему величину
ctga — ±
П римеча иие . Если иавестио, в дсакой четверти оканчивается
угол а, то этим двойственность в знаках устраняется.
Приме р 2. tga===— 2,4(§0° <; a < 180°), Вычислить
8начения остальных тригонометрических функций:
11Ч) c,t ga _ 2 41 2140 152 .
2) Из соотношения l-{ -tg 2a — sec2 а находим:
sec a = — У I + (—2.4)2 — — .
3) cosa = — -ГЩ-.
4) Из тождества ” = tg a следует, что sin a = cos a tg a;
отсюда

165 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА.

Ниже приводится таблица, в которой любая из четырех
функций — sina, cosa, tg a и ctg a — выражена через любую
из остальных трех, в предположении, что не указано,
в какой четверти оканчивается угол а.
Рекомендуется учащемуся самостоятельно составить эту
таблицу.

§ 87. Разные примеры и задачи

П р и м е р 11 . Вг> ычислить значение дроб, и sin a —;— c—q-s- -a при r r sin a + cos a *
Разделим числитель и знаменатель данной дроби на
cos a (cos а ф 0), отчего величина дроби не изменится; получим
tga —1 | 15 — 1 _ 3
tg a+ 1 Inps tg a=-i JL _|_i ^
5 …… |
Пример 2. Дано
‘ ‘ t g a — f c t g a = j». ( 1)
Найти .сумму tg2 a-j-ctg? a.

166 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА.

Возводим обе части равенства (1) в квадрат:
tg2аН — ctg2а + 2 tg a • ctga = р2,
1.
откуда
tg2 a -f- ctg2 a = p2 — 2.
Пример 3. Показать, что дробь
sin а-у tga
cos a + ctg a
не может принимать отрицательных значений.
Преобразуем данную дробь:
■ . sina + — sina si, na / -c—o-s- -a—4A—-1V — « c o sa \ cosa /
r
sin at -f- tg «
cosa + ctga
1 sina \ sina
sin2 a 1 -f- cos a ^ —
: cos2 a 1 -j-sina x *
так как каж’ дый из двух множителей„ sin2 a и -1г-4?-—co:-s- -a- не J cos a 1 -f-sin a
может бытц отрицательным, то и их произведение неотрицательно.
‘
Пр име р 4, Найти угол х (о < х < , если 3 sin х —
= 2 cos2 х . Имеем
3 sin а: == 2 ( 1— sin2 *),
или
2sin2* — b 3 s i n * ‘— 2 = 0.
Это — квадратное уравнение относительно sin *:
(5!п, )1. ! = ^ ф + в ; —
sin = ~ = — 2 (невозможно),
s in * 2~ ~ 34+ / = Т —
Единственный острый угол х = (рад), или * = 30°.

167 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА.

§ 88. Доказательство тождеств

В тригонометрии часто встречаются два разных по внешнему
виду выражения, которые, однако, при всех допустимых
значениях углов принимают одинаковые численные значения.
Такие два выражения называются тождественными

168 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА.

Убедиться в том, -что данное равенство представляет тзжде-
ство, или, как говорят, д о к а з а т ь т ожд е с т в о обычно
удается путем преобразования одной части равенства и приведением
ее к другой части. Рассмотрим несколько примеров.
Приме р 3U Доказать тождество
i ^ a + ^ g £ — i ==>2 ig2a : f
c tg a—sin a -co s* •**
Приведем левую часть к правой:
(sin a 4 — cos a)2 — 1 з 1п2.а4~^оаг а 4~-2л1а a cos а — 1 4
ctga —sin a •cos a cosa . ~ 6 —si-n—a— -— sinacosa •
2 sin a cos a 2 sina 2 sin2 a „ ,
co sa\[s-fj na sina //
1—sin2* cos2 a
-sina .
Левая часть исходного равенства обратилась в точностй
в такое же выражение, «какое стоит в правой части, и этим
тождество доказано.
Пр име р 2. Показать, что
tg a — I — cosec2a-4* 1 = t t g a .
Приводим снова левую часть, «ак более сложную, к правой,
причем все тригонометрические .функции будем выражать
через котангенс: ;
-\ 7 — 1 а — cosec2 a — f -1 — -1 _
ctga —1
— (cosec2 а— —с*£2а =
(l^-etga) 8
ctg a + ctg2« — ctg2 a = ctg a.
Пр име р 3. Доказать тождество
tg2a — sin2a = tg2 a • sin2«.
Приведем правую часть к левой:
tg2ctsin2 a = — g j j — sin2 a = sin2 a =
lfiS

169 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА.

В некоторых случаях при доказательствах тождеств удобнее
преобразовать как правую; так и левую части к одному
и тому же выражению.
Пр име р 4. Доказать тождество
. ■ 1 , I________ sin3 а
° ‘ cos3 a sec а -« tga cos3 а * ‘
Представим данное равенство в следующем виде:
sin2 a — 1 (2)
® ‘ cos3 a cos3 a sec a—tg a ‘ ‘
Преобразуем левую часть:’
. . 1 — sin3M— slnasos3B-4-l— sin2 a __
^ a ‘ соs* a cos*a u »» cps3a J i- T ‘
sin a cos2 a 4- cos2 a cos3 a (sina+ 1 ) sin a 4-1 ]
~ cos3 a ‘ cos3 a cos a *
Преобразуем правую часть:
1 ~ t______ … — cosa
sec a —% a 1 sina l —^stn a
cos a cos a
cos a (1-4- sin a) cos a (14- sin a) . 1 -f-sli»ft —
‘ -(1—sin a) (l-J-sin a) cos3 a cosa
Этим справедливость тождества доказана.

§ 8 f . формулы приведения

В этом параграфе будут даны формулы, по которым
можно значения тригонометрических функций любого угла а,
не выходящего из границ 0° a 360°, выразить через соот-
ветствующие значения тригонометрических функций острого
угла. Такие формулы называются формулами приведения.
1. Формулы приведения для углов, оканчивающихся
во II четверти. Всякий угол, оканчивающийся во II четверти,
можно представить либо как сумму 90° -J- а, либо как разность
180° — а. Например,
115° = 90°- f 25°, 115° — 18Q0 — 65°.
Соответственно этим двум разным представлениям одного и
того же угла получим две серии формул приведения

170 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА.

На рис. 69 изображены две окружности единичного
радиуса; в первой из них построен угол 90° + а, во второй—
угол а. Имеем
— sin (90°—[— а) = : пру ОМ — ОМг;
—
cos а = пр* ON == OtNv
Из равенства прямоугольных треугольников ОММх и ONxN

следует, что 0М 1 = 0 1Ы1 (по величине и знаку). Следовательно,
sin (90° -{- а) = cos а.
Далее находим ‘
cos(90o-j^a) = OAI2, sina = Oi/V2.
По абсолютной величине проекции ОМ2 и OxN 2 равны, по
знаку — противоположны, а потому
cos (90°-j- a) = — sina;
, sin (90°- f о) cosa
tg(90 + a ) _ COs(9S°~a)
ctg S (V9 0° +1 a)’ = Tsin S(90u +r a!) = ■ гпл n
S in « = — Ct^ a:
cos a = — tga.
На рис. 70 имеем другую пару единичных окружностей,
в которой вектор ОМ образует с осью Ох угол 180° — а,
вектор OtN — угол а:
Sin(180® — а ) ^ :© ^ ! . 8100 = 0 ^ .
Проекции. OMt и 0 ^ равны д ^ г другу по величине и
знаку:
OM1=s=OlN l, :

171 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА.

Далее,
cos (180° — a) = OM2, cos a ==0 ^ 2-
По абсолютной величине проекции 0М 2 и ОгМ2 равны, по
sin(180° — a) = sina.
знаку противоположны;
0М 2 = — OjNj.
или . .
cos (180° — a)== — cosgt.
Теперь можно найти значения тангенса и котангенса;
ia Л 8 0 ° _ о1» — «In (180° —a) . sina -___
^ ‘ cos (180° — а) —cos a ? ’
ctg(180° — а) = —ctga.
Примеры. 1) sin 150° — sin(180° — 30°) = sin 30° = — ^
2) ctg 120° = ctg(180°—60°)=—ctg60 °=— 3)cos 110°=
V з
— cos (90°+20°) = —sin 20° == — 0,342.
2. Формулы приведения для углов, оканчивающихся
в III четверти. Угол, оканчивающийся в III четверти, можно
представить либо как сумму 1 8 0 °+ а, либо как разность
270° — а.
На рис. 71 на двух единичных окружностях изображены
углы 1 8 ( 7 ° а и а:
sin(180° + o) = OAfi, $ina = OjiVj;

172 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА.

противоположны па знаку, следовательно,
ОМ, = — OjW,, •
или ‘ ? .
sin (180°—(— а) = — sina.
Подобным же образом устанавливаем, что
cos(180°-f-a) = — cosa;
tg (.180° 4 — a) *= tg a ,
. ctg(18Q°-f-a)==cfga.
На рис. 72 изображены углы 270° — а и а на двух единичных

173 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА.

Подобным же^образомнаходега, что ‘
cos (270° — а) — — sin а,
tg (270°—а) = ctg а,
cigl27Q°-~rm}~iig^-
Примеры. 1) sin259° = sin(270° — 20°) = — cos20° =?з
= — 0.9397;
2) cos 240° = .co s (180° 4 — 604)= ms Ш -= — i ■„
Рекомендуется учащемуся самому вывести формулы приведения
для углов, оканчивающихся в IV четверти, т. е. углов
вида либо 270° + а, либо 360° — а.

§ 90. Два правила дли запоминания .формул приведения

1. Если аргумент (угол) приводимой тригонометрической
функции имеет вид (180° — а), (180°-)- а),
(360° — а), или, в радиант# мере, ( я— а), (я -)-а ), (2я — а),
то название аривадлмоД фрикции не меняется. Знак
в правой части формулы приведения пишется в зависимости
от того, какой -знак имеет приводимая функция
в данной четверти. •
П р и м е р ы. 1) cos 150° = cos (180° — 30°) = — cos 30° =
== — Y-уs- . Знак (—) взят потому, что угол 150° оканчивается
во второй четверти, где косинус отрицателен.
2) tg 240°-j= {18fl° -b 60°) = tg 60° = У 3. Угол 240°
оканчивается”в Ш. чет^р^ги, где «анценс положителен.
3)sin 315° = sin (300°—45 ° )=—sin 4 5 ° = — ^ . Угол 315°
” оканчивается в IV четверти, где синус отрицателен.
4..) cos -5qяp = cos /| я +. т,я \ = — cos я — — У-т1р?- .
2. Если ар^ущцШ пртодимой тригонометрической
функции имёеШ вяВ (90° (9О9,-)-«). (270° — а),
(270° 4* а), или, в радианной мере.
( т + ^ а) ’ ( т я ~ а ) ’ (4 я + а) ‘
то название приводимой функции меняется на сходственное:
синус переходит в косинус, и наоборот’,
тангенс переходит в котангенс, и наоборот1 секанс —

174 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА.

пашется согласно знаку приводимой функции в данной
четверти.
Примеры. 1) sin 100°== sin (90°-)- 10°) = cos 10°.
Угол 100° лежит во второй четверти, где синус имеет положительный
знак.
2) cos 300° = cos (270°+30°) = sin 30° = 1 . .
3) tg 1356 = tg (90° — f 45°) = — ctg 45° = — 1.
.. , 5я 4) ctg — = . /3 , я \ = . n : 1 :
§ 91. Приведение тригонометрических функций
отрицательного аргумента к функциям
положительного аргумента
Пусть вектор ОМ образует с осью Ох угол а; вектор
ОМ’ — угол (—а) (рис. 73; ОМ = 1); тогда
sma = OMj, sin(—а) = ОМ2.
По абсолютной величине проекции
ОМх и ОМ2 равны между
собой, по знаку — противоположны,
следовательно,
ОМ2 = — ОМ1
или
sin (—a) = — sina.
Точки Д . и М’ симметричны
относительно оси д х , т, е. лежат
на Щйрм перпендикуляре к оси и
на равном расстоянии по обе стороны
от нее, поэтому векторы ОМ и ОМ’ имеют одну и
ту же проекцию на ось Ох, следовательно,
cos (— a) = cos a.
Теперь легко выводим:

175 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА.

Таким образом, знак (—) в аргументе у косинуса и секанса
можно просто опустить, а у синуса, тангенса, котангенса
и косеканса знак (—■) выносится и ставится перед
обозначением самой функции. Другими словами, у = cos х —
четна!я функция (§ 50), а у —sin д:, y = tg x и y = ctgjc —
нечетные функции.
Примеры. 1) sin(— 1 2 0 °)=—sin 1 2 0 °=—s in 6 0 °= -— g-;
— 2) cos (— 210°) = cos 210° = cos (1 8 0 °+ 3 0 ° ) = — cos 30° =
4) cosec (—300°) = —’cosec 300° = — cosec (360°—60°) =
= cosec 60° = -Д=-.

§ 92. Периодичность тригонометрических функций

Пусть вектор ОМ в единичном круге образует угол a
с осью Ох (рис. 52). Если к аргументу, т. е. к углу а,
прибавим любое целое число оборотов, то конец вектора ОМ
окажется в прежней точке окружности и от такого увеличения
аргумента на целое число оборотов значения тригонометрических
функций не изменятся, каков бы ни был исходный
угол а.
Оп р е д е л е н и е 1. Функция называется периодической,
если существует число, отличное от нуля, прибавление которого
к любому допустимому значению аргумента не меняет
значения функции.
Оп р е д е л е н и е 2. Наименьшее положительное число,
прибавление которого к любому допустимому значению аргумента
не меняет значения функции, называется периодом
функции. ,
Все тригонометрические функции периодичны, причем
период синуса, косинуса, секанса и косеканса равен 2я,
а для тангенса и котангенса период равен я (180°), что

176 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА.

тригонометрических
функций (см. § 82).
Свойство периодичности функции f ( x ) принята записывать
следующим образом: . —
/ ( * ) = / ( * + Г).
где Т — период функции (рис. 74).
‘ По отношению к тригонометрическим функциям, аргумент
которых обозначим через х , свойство периодичности
запишется так:
sln(jc + 2n) = sinJf,
cos(je -|- 2л) — cos х ,
tg ( x — \-n ) — ig x ,
ctg(jc-(-n) = ctg ^ .
Пр име и а и и е. Период
v можно не только прибавлять
Рис. 74. к аргументу, но и вычитать
из него; кроме того, прибавлять
к аргументу можно любое целое число периодов,
а также вычитать любое целое число периодов:
sin(^-{-2jtA)—sinx, tg (х -}-лА>= tg х,
где k — любое целое число* положительное или отрицатель-,
ное — все разно.
Примеры. 1) sin (— 330°) = sin (— 330° -f- 360°) =s
ffx) f(x+T)
■ sin 30° = I Здесь к аргументу был прибавлен период
2) cos 765° s= cos (4 5 °+ 2 • 360°) = cos 45° ===.Т1 Г2 В Этом
примере из аргумента вычли два периода. —
3) tg i |L ) = fg (— Ц = tg | = У З . К отрицательному
аргументу ^ б ы л о прибавлено 6 периодов
(6я), что привело к положительному аргументу .

§ 93. Графики тригонометрических функций

I. График функции у = sin х . Изобразим графически
изменение ^функции у —sin х при изменении аргумента х
от х == 0 до х = 2л или, в градусной мере, от 0

177 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА.

до 360е. Проше всего это можно выполнить следующим
образом.
Начертим окружность, единичного радиуса и разделим
ее на 16 равных частей (рис. 75). Каждому делению дуги
соответствует центральный угол 22330′, или, в радианной
мере, ~ (рад).
По оси Ох будем откладывать углы
! » я я я 5л
и’ «б’ Т ’ Т ’ 6 ……..
изображая их в виде отрезков а выбранном масштабе.
В точках деления восставим перпендикуляры к оси Ох
и на них отложим значения синуса соответствующих углов.

Значения синуса находим построением.. проектируя точки
деление окружн§СТН,!Иа oq? Оу и перенося проекции на соответствующий
лериенаикуляр» Черва шанцы перпендикуляров
проводим плавную линию. Получим кривую, которая называется
синусоидой. Мы построили лишь одну «волну» синусоиды,
соответствующую изменению аргумента от 0 до 2л.
В силу периодичности функции sinx дальнейшее изменение
аргумента je я . промежутке от 2л до 4л -приведет к тому,
что образуема вторая волна синусоиды, одинаковая с первой.
То же ‘самое произойдет, если мы захотим построить
ту часть кривой, которая соответствует изменению аргумента х
от 0 до (— 2я). График отражает ход изменения функции.
Из графика легко установить свойства функции y = slnx.
1) Функция sinx определена при любом действительном
значении аргумента х , т. е. допустимыми значениями аргумента
х являются псе действительные числа, принимаемые
за радианную меру угла.
Ш

178 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА.

2) Все значения функции sin х заполняют отрезок [— 1, 1],
т. е. — 1 sin jc
3 ),Функция— нечетная, так как sin(—^лг)= — sin jc. График
симметричен относительно начали координат.
4) В промежутке | —- j , y j функция sin х возрастает,
изменяясь от —1 до -f-1; в промежутке ^ ф у н к ция
sin* убывает от 1 до —1.
» ‘ —’ Jt
5) Функция достигает наибольшего значения при х — -g-,
i + 4я, . . . , тг + 2яй, где k — любое целое число,
положительное, отрицательной и 0; в этих точках синус
равен 1.
6) Синус принимает наименьшее значение, равное — 1,
при х = — —; — ■— -f- 2я; — -f- 4я, . , , , и вообще при
х = — -|- + 2я£.
7) Функция обращается в нуль при х = . . . — Зл, — 2л,
— я, 0, я, 2л, . . ., и вообще при х — nk (k = 0, ± 1, ± 2,…).
2. График функции у = cos X. Составим таблицу значений
для функции у =?= cos х . Чтобы можно было пользоваться
таблицами тригонометрических функций, значения
угла х задаем в градусной мервт значения косинуса округляем
до сотых.

Выбрав масштабы по осям Ох и Оу, каждую пару значений
угла и косинуса изображаем в виде точки. Через построенные
таким образом тонки поводим плавную линию,
которая и есть график функции y— cosx (рис. 76). На графике
отражены следующие свойства косинуса.

179 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА.

1) Функция cosx определена на всей числовой оси, так
как каждому действительному числу jc, принимаемому за радианную
меру угла, соответствует вполне определенное значение
косинуса.
. 2) Множество значений функции заполняет отрезок [—1, 1].
3) cos jc — четная функция, так как cos (— jc ) = cos jc;
график симметричен относительно реи Оу.
4) Функция cos jc убывает в промежутке (0, я), изменяясь
оу 1 до -г-1; в промежутке (—я, 0) функция возрастает
от —1 до + 1,

5) Наибольшее значение, равное 1, c o s j c достигает при
х — 0, 2я, 4я 2nk, Наименьшее значение, равное —1,
функция принимает в точках я, Зя, 5я, . . . , (2k -j- 1)я.
6) Функция обращается в н у ль, если аргумент х ^ =—’,
Щ- ; вообще jc = -g- (2k -f- 1).
3. Графики функций у = tgjc и у — ctg х . На рис. 77
изображен график функции у = tgjc, построенный тем же
способом, что и график функции y = sinjc. Свойства’функции
tg jc:
1) тангенс — периодическая функция с периодом, равным я.
2) Функция определена на всей числовой оси, за исключением
точек jc — , -|-я ,-|-я , . . ■g-(2&_-}- 1), & = 0, ± 1,
i t 2 , . ‘ г
3) tg jc — неограниченная функция, так как может принимать
какие угодно большие по абсолютной величине значения.

4) Функция нечетная, ибо ig (— х ) = ‘— tg х; симметрия
относительно начала координат отражена на графике.
5) tg х возрастает в промежутках n k—— < х < ^ — f -як.
7) Функция обращается’* Нуль яp» ^=ej|fc {*==0; ±1;
± 2 . . . ) . На рис. 78 изображен график функции y = c tg х ,
построенный на основе таблицы значений. Сформулируйте
свойства этой функции на основе построенного графика.

Упражнения

1. Выразить в радианах величину того ун», который образуют
стрелки часов, когда они показывают 2 б ч,,8 ч.
2. Найти радианную меру углов: , _
1) 2°; 2) Э) Г,5; 4} 22*^; 6) 20ЕР; 7* 3Z(F.
3. Найти радианную меру угловт.
1) 2700°; 2) 7200°; 3> 10000°.
4. Выразить в градусах и минутах величины дуг, радианная
мера которых выражается числами:
1) f — ; > Щ О з * 5) f « * = § ,
5. Два угла, треугольника содержат 59’ и 69°. Вычислить в радианах
величину третьего угла треугоаымнса.
в. Два угла треугольника содержат я радиан. Вычислить,
сколько градусов содержится в третьем угле.

7. Дуги составляют следующие части окружности: -1= -; 1 ч 9 11 О U О
4 ; i i ; 1; 1J5 ; 0.03; 0,005; 0,375.
£> 1о ■
Какова радианная мера каждой из этих дуг?
8. Дуга окружности радиуса Л = 6 см имеет длину, равную 4,5 см.
Какова радианная мера этой дуги?
9. Пользуясь таблицей, перевести в радианную меру углы:
1) 126°; 2) 279°; 3) 118° 40′; 4) 250° 20′; 5} 352° 10′; 6) 168° 15′;
7) 56 18′; 8) 472° 50′.
10. Пользуясь таблицей, перевести в градусную меру углы:
1) 0.4800; 2) 0.6510; 3) 12700; 4) 0,6270; 5) 1,3983; 6) 0.0099;
7) 0.5000; 8) 2,6400.
11. Найти длину дуги окружности, если е е радиус равен 22,5 см
и ее центральный угол равен 40°.5.
12. Дуга окружности содержит 200°. Определить радиус окружности,
если длина дуги равна 50 см.
13. Найти цернметр я площадь сектора «руга, радиус которого
равен 15 см, если дуга содержит 54s.
14. Вычислить площадь кругового сегмента, ограиичешюго
дугой в 45° 44′, зная, что радиус круга равен 47,34 м.
15. Зубчатое колесо имеет 90 зубцов. Выразить в радианах
угол поворота колеса, когда оно повернется на: 1) 30 зубцов;
2) 25 зубцов; 3) 40 зубцов; 4) 200 зубцов.
16. Какую угловую скорость имеет -диск яри 300 оборотах
в минуту?
17. Угловая скорость вала 42.3 свк . Определить число его
оборотов в минуту.»
18. Непосредственным построением и измерением в единичном
круге (R — 1) найти следующие величины:
1) sin 120°; 2) ctg 60°; 3) cos 75°; 4) tg250°; 5) sin 225°;
6) cos 160*.
19. (Усгнр.) Может ли функция сое х иметь по абсолютной
величине аяачеая»й м вщр .юцрняр? , • — .
20. (Устно). В к а й ё г л к т в е р т я * sift х и cos х имеют одинаковые
знаки? 1
21. Доказать неравенство
Sin лс-f-cos jc > 1; 0 < д: < 90°.
22. Определить знаки следующих выражений:
1) sin Ж » ; 2) c tg 252° 30′; 3) cos 135°; 4) tg 3 2 7 °2 0 ‘.
23. Построить наименьший положительный угол по заданному
значению тригонометрической функции и выразить угол в радианной
мере: о ‘ . —
1) sin.e = -j7-; 2) cos* = — 0,6;. 3) tg .* = 1,2; 4) sinx = —0.7;
5) tg л = — 0,6.
24. В каких границах может изменяться аргумент х, чтобы
были справедливы следующие неравенства (0 < д: < ; 2я):

180 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО УГЛА.

ЕГЭ 2015 Математика.
Библиотека учителя.
Школьная математика.