§ 10. Употребление знаков неравенства.

Глава II. Положительные и отрицательные числа.

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ЕГЭ 2015 Математика. Библиотека учителя. Школьная математика.

Купить книги по математике за низкие цены:

Д. К. ФАДДЕЕВ и И. С. СОМИНСКИЙ
АЛГЕБРА

Часто бывает нужно сравнить числа по величине. Для записи
результата сравнения употребляются специальные знаки и <^ , заменяющие
слова «больше» и «меньше». Так, 10 ^>8 (десять больше
восьми), 7 <^Ю (семь меньше десяти) и т. д.
Понятия «больше» и «меньше», естественно, распространяются
на любые рациональные числа. Например, чем холоднее воздух, тем
меньше его температура. Так, температура —2° меньше, чем — 1 ° ,
температура —5° меньше, чем—2°.

Из этих соображений вытекают
следующие правила сравнения чисел:
1. Всякое положительное число
больше всякого отрицательного
числа, всякое отрицательное число
меньше всякого положительного
числа.
2. Всякое положительное число
больше нуля, нуль меньше всякого
положительного числа.
3. Всякое отрицательное число
меньше нуля, нуль больше всякого
отрицательного числа.
4. Из двух различных отрицательных
чисел меньше то, абсолютная
величина которого больше, а больше то, абсолютная величина
которого меньше.

Во всех случаях неравенства а<^Ь и Ь^>а означают одно и
то же.
Согласно сформулированным правилам 5^>0;—7<[0; —19 —7;
3^>—4 и т. п.
Неравенство а^> 0 обозначает, что а есть положительное число.
Действительно, если а 0, то а не может быть равным нулю и не
может быть отрицательным числом, ибо всякое отрицательное число
меньше нуля. Следовательно, а положительно.
Таким же образом неравенство а<^ 0 обозначает, что а есть отрицательное
число.
Рассмотрим теперь геометрический смысл понятий «больше» и
«меньше» в применении к любым рациональным числам.
На рис. 4, 5 и 6 изображена числовая ось, направленная слева
направо. На каждом из рисунков отмечено начало отсчета, т. е. изображение
числа 0 и изображения еще двух чисел а и Ь> причем
каждый раз изображение числа b расположено правее изображения
числа а. Покажем, что во всех трех случаях а<^Ь.
На рис. 4 рассматривается случай, когда оба числа положительны.
В этом случае очевидно, что а<^Ь.

59 Употребление знаков неравенства.

На рис. 5 число а отрицательное, b положительное. Следовательно,
и здесь а<^Ь.
На рис. 6 оба числа а и b отрицательны, причем абсолютная величина
числа а больше абсолютной величины числа Ьу ибо точка, изображающая
а, находится от начала отсчета дальше, чем точка, изображающая
число Ь. Следовательно, и в этом случае а<^Ь.
Итак, если два числа изображены на числовой оси, направленной
слева направо, то из них большим является то, изображение которого
расположено правее, а меньшим то, изображение которого
расположено левее.
Из геометрического смысла неравенств легко вывести следующее
свойство неравенств, очевидное для положительных чисел, но нуждающееся
в доказательстве для любых рациональных чисел: если а<^Ь
и b <^с, то а<^с.
Действительно, изображая числа а, b и с на числовой оси, направленной
слева направо, мы увидим, что изображение числа а расположено
левее изображения числа Ь> а изображение числа b расположено

левее изображения числа с (рис. 7). Следовательно, изображение а
расположено левее изображения с, и потому а<^с.
Таким же образом устанавливается, что если а^>Ь и Ь^>с, то
а^> с.
Неравенства одинакового направления часто соединяются в цепочку.
Например, цепочка а<^Ь<^с обозначает, что а<^Ь и Ь<^с.
При геометрическом изображении чисел а, Ь> с цепочка неравенств
а<^Ь<^с обозначает, что изображение b расположено между изображениями
а и с.
Знаки неравенств употребляются главным образом для записи границ,
в которых могут находиться числа, участвующие в данной
задаче или в данном рассуждении. Так, например, если а обозначает
высоту сосны в метрах, то а должно удовлетворять неравенствам
0<<я<[50, ибо высота дерева есть положительное число и самая
высокая сосна не достигает высоты 50 м.
Однако знаков и недостаточно для записи ограничений
этого рода. Пусть а обозначает высоту в метрах некоторой горы,
про которую известно только, что она расположена на территории
СССР. Как записать неравенство, которому удовлетворяет число а,
учитывая, что самая высокая гора в СССР — пик Сталина — имеет
высоту 7495 м? Записать а <[7495 было бы неверно, так как высота
пика Сталина равна 7495 м. Можно записать а <[7500 или даже
а <[8000, но такая запись даст менее точное представление о высоте

60 Употребление знаков неравенства.

гор в СССР, чем знание высоты самой высокой горы. Здесь следует
сказать: «а не больше 7495».
Слова «не больше» заменяются знаком^, который иногда читается
«меньше или равно».
Итак, в нашем примере а ^7495.
Таким же образом знак ^ заменяет слова «не меньше» или, что
то же самое, «больше или равно».
Знаки неравенства ^ и ^ применяются главным образом к числам,
одно из которых (или оба) обозначено буквой.
Кроме перечисленных знаков неравенства, употребляется знак
который читается «не равно». Так, 3^5 (три не равно пяти) и т. д.
Этот знак употребляется в тех случаях, когда требуется подчеркнуть
только неравенство двух чисел без указания о направленности этого
неравенства.

Упражнения

1. Расставить знаки >> и <С между числами 3 и — 7; —4 и — 7; 0 и 5;
— 6 и 3.
2. Пусть а < Ь. Числа а и Ъ изображены на числовой оси. Записать пользуясь
знаками неравенств, что
1) число л: изображается точкой, лежащей внутри отрезка, ограниченного
точками, изображающими а и Ь;
2) число х изображается точкой, лежащей на отрезке, ограниченном точками,
изображающими а и Ь\
3) число а есть положительная правильная дробь.

61 Употребление знаков неравенства.

Околоadmin