ГЛАВА II. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
§ 10. Общие понятия и определения.
На главную страницу АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ.
Сборники Математики Скачать бесплатно
Скачать или посмотреть оригинал
«АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ» в формате PDF (24-42).
Ниже можете посмотреть текст для быстрого ознакомления (в них формулы отображаются не корректно). Эти тексты и форма поиска ниже помогут Вам быстрее найти нужную информацию.
Оп р е д е л е н и е 1. Уравнением называется равенство,
содержащее одну или несколько бук* иод которыми подразумеваются
неизвестные числа, причем это равенство справедливо
только при определенных значениях букв, входящих
в него.
Селфи приколы
‘Примеры. ‘ ! ).Равенство З а -} -7 ==5а — 9 есть уравнение:
оно справедлива только при а = 8.
2) Равенство а-4-2д2= 13 есть уравнение, так как буквам
а к b нельзя давать любые значения, например, при
а =г=1. ^=г*2 равенство несправедливо^при а б, £«=2
оно справедливо. ^
3) Равенство'(х-|~2)2 = л:(х-|-4)-ф-4 не Является уравнением
в смысле данного определения: это тождественное
равенство (х 2)2 == (х-{- 2)2, справедливое при любых значениях
буквы х.
Буквы, обозначающие неизвестные числа, принято называть.
просто неизвестными. Неизвестные обычно обозначаются
буквами х , у, z, f, и, -о.
Вместо фразы «уравнение справедливо при х = 1, у — 2»
чаще принято говорить «уравнение удовлетворяется значениями
неизвестных х — 1, у = 2».
Оп р е д е л е н и е 2. Значения неизвестных, удовлетворяющие
данному уравнению, называются его решениями.
Если уравнение содержит только одно неизвестное, тр
его решение часто называют коркел уравнения.
Пр имер ы. 1) Уравнение хг2^ 6 —Л имеет корни
х 1 — 2; х 2 = —- 3.
24 УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ.
2) Одним из решений уравнения 2 х — Зу = 1 является
пара чисел: лг = 5, у = 3. ~
3) 5х — Зу + 4z — — 1. «Решением этого уравнения
является; например, тройка чисел: х = 2, у — 1. z = — 2.
Оп р е д е л е н и е 3. Решить уравнение ила систему
уравнений — это значит найти все решения, т. е. все те
значения неизвестных, которые удовлетворяют данному .уравнению
или данной системе (т. е. каждому уравнению системы),
или убедиться в том, что таких значений вовсе нет.
Примеры. 1) Уравнение Xr j- 1 = х — 2 не имеет корня.
2) Система уравнений
| JP+ У — З ,
I 2x-f-2y = 5
не имеет решения (если jc у — 3, то 2х -(- 2у = 6 Ф 5).
В зависимости от числа неизвестных, входящих в уравнение,
различают уравнения с одним, двумя и со многими неизвестными.
;
Нормальным видом алгебраического уравнения называется
такой его вид, когда уравнение -освобождено от дробей,
в нем раскрыты скобки; все члены перенесены в левую
часть и приведены подобные члены. : .
Степенью уравнения с одним неизвестным называется
наивысший показатель степени, с которым это неизвестное
входит в данное уравнение после того, как оно приведено
к н о рма л ь н ому виду.
Примеры. . 1) Уравнение
V X’- ‘ . ‘ — ‘ 2 1 -S’ , у
приведенное , к нормальному, виду х 2-.— {м? 4 = 0, есть
уравнение второй степени, или квадратное.
2) Уравнение
приводится к нормальному Виду !
2у? — 3*?.-f-2х — 1 = 0 .
Это уравнение 3-й степени, или кубическое. ч
Коэффициентами уравнения называются числовые или
буквенные множители при неизвестных, а также свободный
член. —
25 УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ.
П р-н м е ры. 1) Уравнение Зле — 5у = 9 с двумя неизвестными
имеет три числовых коэффициента.
2) Уравнение а х — f — by *==■ с с буквенными коэффициентами.
Оп р е д е л е н и е 4. Два уравнения с одними и теми же
неизвестными называются равносильными, если все решения
первого уравнения являются также решениями второго, и,
наоборот, все решения Второго уравнения служат также решениями
первого или оба уравнения не имеют решения.
Пример ы. 1) Уравнения
_£ х_ .
3 5 ~ ‘ ; ,
И 2х = 15
равносильны; оба уравнения имеют единственный корень
х — 7,5.
2) Уравнения
2ле — 1 = 3
и
\2х — 11 = 3
неравносильны; первое ив них имеет единственный корень
х — 2, второе имеет два корня: х г = 2, х 2 — — 1. Корень
х 2 — — 1 удовлетворяет второму уравнению, но не удовлетворяет
первому:
— ЪфЪ, но |— 3 | = 3 .
Уравнение
|3лг — 2| = 4
означает, что выражение под знаком абсолютной величины,
т. е. Ъх — 2, равно либо 4, либо —4:
Ъх — 2 = ± 4,
откуда Xj = — -2j ; х г — о2.
§ 11. Уравнения первой степени с одним неизвестным
Всякое уравнение первой степени с одним неизвестным
может быть приведено к виду
а х — ^ Ь — 0, (1)
тогда:
1) при йф О корень уравнения ле = —
2) при а = 0; ЬфО уравнение не имеет корня;
3) при 0 = 0; Ь = 0 неизвестное х может быть любым
числом; в этом случае уравнение называется неопределенным.
26 УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ.
Уравнение (1) можно истолковать как требование: найти
такое значение аргумента х , при котором линейная функция
у — а х -\-Ь обращается в нуль. Это значение х — —~ ~ называется
корнем линейной функции, а также и корнем уравнения
(1).
На рис. 1 показано графическое решение уравнения
2х — 3 — 0.
На приемах решения уравнения первой степени с одним неизвестным
останавливаться не будем, считая их известными
из школьного,, курса алгебры для
7-го класса.
Рассмотрим только случай, когда
уравнение содержит неизвестное
в знаменателях дробей.
П р и м е р 1 .
1 3
У = 2 х-3
2 х— 3 х (2х — < 2 >
Неизвестное х не может принимать
таких значений, при которых
обращается в нуль хотя бы один из
знаменателей данных дробей: деление
на нуль невозможно, и вследствие этого само уравне-
ние теряет смысл. Следовательно, хф О и х ф 3
Исключая, эти значения из рассмотрения, приведем все
дроби к общему знаменателю после переноса их в левую
часть. Это дает
х — 3 — 5 (2 х — 3)
Рис. 1.
или х (2х — 3)
3 ( 3 * — 4)
: О
х (2* — 3) 0.
Так как числитель и знаменатель дроби общих множителей,
содержащих неизвестное/ не имеют, то эта дробь
может обратиться в нуль только тогда, когда ее числитель
равен нулю: — 3(3*:— 4) = 0, или Ъх — 4 = 0; это простейшее
уравнение равносильно исходному уравнению (2),
и их единственный общий корень * = 4 . О
Для того чтобы решить уравнение, его обычно предварительно
приводят к нормальному виду.
27 УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ.
Пр и м е р 2.
а . ‘ ■ Ь айг- Ь :
а х—1 ‘ Ъх—1 (a-J-6)jr — 1
Это — уравнение с буквенными коэффициентами, содержащее
неизвестное в знаменателях дробей.
Предположим, что: оба коэффициента-отличны от нуля:
афО, Ьф&; тогда ‘*Ф у . х ф у у у > а-\~ЬфЪ’,
в противном случае один из знаменателей дробей обратился
бы в нуль. v
Перенесем все члены в левую часть и сложим дроби,
получим
а (Ьх — 1) [(д + Ь) х — 1] 4- b (ах — 1) [(д + b) х — 1] —
_—(а + Ь)(ах—1) (Ьх—1) __„
» ” ( а х— 1)(Ьх — 1) {(лфЬ)х — 1] ~ ’
После раскрытия скобок в числителе и приведения подобных
членов получим ,
abx f( « + Ь)х — 21
l)[(a-(-6)x—1] —
При сделанных выше предположениях относительно коэффициентов
это уравнение равносильно уравнению
abx |(а -\-Ь )х — 21 = 0,
или, так как аЬфО, ,она равносильно совокупности двух
простейших уравнений: ■
л: — 0 и (а — \-Ь)х — 2 = 0.
Таким образом, уравнение имеет два корня: х г — О,
х — 2 2 а-\-Ь .
Если один из коэффициентов равен нулю, то уравнение
обращается в тождество:
1) а = 0; &Ф0;
ь Ь —
‘ Ьх— 1 Ьх — 1 ‘iJ 2″:- V
^тождество, справедливое при всяком x = £ y j;
2) = 0- й! т&О; уравнение принимает вид
• а а
а х—1 ах—1
^тождество при всяком х f у j .
28 УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ.
§ 12. Система линейных уравнений.
Общий вид уравнение первой степени с двумя неизвестными:
; ;;
— а х -\-Ь у = е.
Это уравнение имеет бесчисленное множество решений, так
как одному из неизвестных можно приписать Какие угодно
значения и находить Соответствующие значения второго, неизвестного
из данного уравнения. Например, если имеем
уравнение
2jc — у = 3,
у — 2 х— з. ;
При jc==1, 2, — 1, . . . получим соответственно
у = — 1, 1, —5. . . .
Поэтому говорят, что уравнение первой степени с двумя
неизвестными является неопределенными уравнением. Эту
неопределенность легко истолковать графически, если неизвестные
х и у будем рассматривать’ как текущие Координаты
точки на плоскости, тогда у » 2х— 3 есть график
прямой (см. рис. 1). На этой прямой бесконечное множество’
точек, и координаты любой точки прямой удовлетворяют
данному уравнению.
Определ.ение. Совокупность двух линейных уравнений
’
Г alx + b1y = ci,
\ а2х -f- Ь2у = с2
образует линейную систему уравнений с двумя неизвестными.
По отношению к такой системе ставится вопрос; существуют
ли такие пары значений к и у. которые одновременно
удовлетворяют как первому, уравнению системы, так
и второму, и Сколько таких пар? Другими словами, имеет
ли система решенйя, и если да, то сколько?
Решим эту систему способом подсМановки: т первого
уравнения следует, что
29 УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ.
Это значение у подставляем во ЭТорое уравнение:, , :
a2x -\r b 2 — > ~ ^ — — = c2.
Получим уравнение с одним неизвестным (*), которое приводится
к виду
ифхх —— иф2х^== дхс2 ^2^1
или
(афх — аф2) х = Ь1с2 — Ъгс1. / (2)
Если коэффициент при х , т. е. выражений a 2ftj —
то можно обе части равенства (2) разделить на него; по-
лучим
X =5= — ^2е1 ._ &2gl — biC2
&%Ь\ — it i b% Hi ^2 — @2^1
После подстановки в равенство (1) на место х его значения
из равенства (3) находим
О.^С\ —*■&\С2 ■ &%С\
йуЬ\ — Л\Ь 2 ^ 1 ^ 2 о>^Ь\ (4)
Данная система имеет единственное решение, если
аф2 — афхФ0, причем значения неизвестных вычисляются
по формулам (3) и (4).
Обратим внимание на то, что знаменатели дробей, представляющих
значения неизвестных, одинаковы. Этот общий
знаменатель равен аф$— афх, он составлен только из коэффициентов
при неизвестных X, у. Выпишем эти коэффициенты
в том порядке, как были заданы уравнения системы,
пропуская сами неизвестные, и расположим их в виде квадратной
таблицы; получим
; Щ Ьф
— #2 ^2 ‘
Если перемножить коэффициенты, расположенные на диагоналях
квадрата, и из произведения чисел, расположенных на
диагонали, идущей из левого верхнего угла вниз, вычесть
произведение чисел другой диагонали, то получим выражение
аф2 — а.ф\\ оно называется определителем данной линейной
системы уравнений и обозначается
+
, Д-== ’ ^Ф’2 — ифх.
30 УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ.
Вообще, определителем 2-го порядка, составленным из
квадратной таблицы 4 чисел
называется число а хЬ2
3 —5
П ри мер.
а 1
а2 Ь2
аФ\’ ,
= 3 • 8 — 4 (— 5) = ! 44.
4 8
Числители дробей, определяющих значения неизвестных
в равенствах (3) и (4), также представляют Определители
2-го порядка:
Л h
Ч
ai
а„
■ схЬ2 — biC2,
: U1C2 — П2СХ.
Определитель Д* получен из определителя системы
ах Ьх
и2 Ь2
заменой чисел первого столбца свободными членами, а определитель
Ду получен из^ определителя системы путем замены
чисел второго столбца свободными членами. ,
Теперь можно сокращенно записать решение системы
ахх -\-Ь ^ -.
а2х -\-Ь 2у-
■Cl.
:с2
в виде X :
Пр име р 1.
д ‘
Решить систему
3* + 5у = 4,
7х — Зу 24.
Составляем определитель системы
3 5
Д = :3 (—3) — 5 . 7 = — 9—35: 44.
31 УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ.
Он не равен нулю, а потому система имеет единственное
решение. Вычисляем остальные два определителя:
4 5
24 —3
3 4
7 24
= 4 • (—3) — 5 . 24 = — 132.
3 . 2 4 — 4 . 7 = 44.
Теперь находим значения неизвестных .
• V— -1 3 2
Л -44 3,
44
д —44
Пример 2. Решить систему
У
1.
-a-гj-тb +1 —а—-’‘тЬ — а +1 Ь,
х = 2а.
а
_У_
Ь
Составим определитель системы
1 1
А = а 4- 6 в — Ь
1 1
а Ь
\ ■ Ь* — 2аЬ
(а 4- 6) Ъ (а — Ь) а аЬ (а4-*) {а ~ Ь )‘ ■
Для существования А необходимо, ‘ чтобы знаменатель
этой дроби не быд-равен нулю, т. е. чтобы афО, дфО и
аф ±Ь, а для существования Ах и Ду надо, чтобы
а2— 62 — 2а1)ф0.
Вычислим определители Ах и Ду:
32 УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ.
Подстановкой найденных значений неизвестных в каждое
уравнение данной системы убеждаемся в правильности решения;
эту проверку можно произвести в уме.
§ 13. Линейная система, определитель которой ‘
равен нулю
Предположим, что определитель системы
| alx ^ r b1y = cl,
1 йдХ-^^у-==с2
равен нулю: .
Д -— ^1^2 ““ -^2^1 0;
тогда 0^2 = fl2^i> о т к у д а — = ф -, т. е. если определитель
а 2 » 2 ^ системы равен нулю, то коэффициенты при неизвестных
пропорциональны.
Обратно: если коэффициенты при неизвестных пропорциональны,
то определитель системы равен нулю. Действительна
из ~ — = -|i- следует, что albz ^ a j ) l или
1 0.
Допустим теперь, что хотя бы один из определителей
Дж или Ду также равен нулю.
Пусть Д^=О: с А “ чт0 влечет за собой про-
порцию: Ь\ = ’Сг ’ V
3 а м е ч а н и е. Мы предполагаем, что коэффициенты а 2,
Ь2 и с2 ‘ не равны нулю. Иначе предыдущие рассуждения
потеряли бы силу, так как на нуль делить нельзя. В случае
равенства . нулю каких-либо коэффициентов система упрощается-
Например, из в? — О следует, что ахЬ2 = афх = 0.
Значит, либо Ь2 — Ь (пропадает второе ‘ уравнение), либо
Cj = 0 (пропадают все члены, содержащие*).
Таким образом, из того, что Д —0 и.Дх = 0, следует
пропорциональность коэффициентов при одинаковых неизвестных
и свободных членов
_£i_ _ ^i_ /1\
а , ~ Ьг — Cj-
(т. е. Ду тоже равен; нулю). ; —
3 Р. А Калнян
33 УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ.
Обозначим величинукаждогоизтрехраад^ отношений
через k(k*£6): ‘ ;
■<?£2 •«»*, v-2r — = k, ^^2- = k,
следовательно,
а , = &а2, £г = ci = kcv (2)
После замены коэффициентов первого уравнения их выражениями
из равенств (2) система примет следующий вид:
{ка2х + kb2y — kcv
a2x + b2y — c2.
Если сократим -все члены первого уравнения на множитель к,
то окажется, что данная система состоит из двух одинаковых
уравнений, т. е. одно уравнение есть следствие другого.
Иными словами, мы имеем одно уравнение с двумя
неизвестными. Как было отмечено ранее, одно уравнение
с двумя неизвестными имеет бесчисленное множество решений.
В этом случае говорят, что система неопределенна.
Пример. ‘
. ( 4лг + 6у = 3,
\ 6х 4 — 9у = 4,5.
Имеем г\
4 _ 6 3 Ни _ 2\
6 ~ 9 ~ 4,5 Г *“ 3 ) •
Здесь коэффициенты при одинаковых неизвестных и свободные
члены пропорциональны; если умножить обе части’ пер-
вого уравнения на у3 7 I или второе уравнение на -2g-\J, то оно
совпадает со вторым (соответственно с первым).
Система имеет те же решения, что и одно из уравнений
данной системы.
Рассмотрим теперь случай, когда Д = 0, но Ах ¥=0 (тогда
и Ду=£0). Из обращения в нуль определителя системы
а Ь Ъ с следует —0-2 = -0Л% . Если АхфО, то — »2 ^2 По-п>режнему
обозначим качж дое из двух отн.. ошений —a-i = -огг- через k (fc=£0),
тогда а ,= к а 2. bl = kb2. Отношение — обозначим через т,
где т+к. Тогда C|==f./w2-
34 УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ.
на ka2, bx на kb2 и свободный член сх на Шс2. Система
примет вид
{а2х — \- b2y) k = суп (А фт),
. а2х — г Ь2у = с2.
Умножая второе уравнение на k, имеем
— с2^’ .
Тогда у нас получается, 4to*c2w = c2A, т. е. tn — k (делить
на ,с2 можно, так как мы предположили, что с2ф 0). Но на
самом деле тФЬ,. Это значит, что уравнения противоречат
друг другу, т. е. несовместны.
В данном случае говорят, что система уравнений н«сов*
месгпна или противоречива и решений нё имеет.
П р и м е р.
I 2х — Зу = 4, ‘
I 4х — 6у = 5.
’Коэффициенты при неизвестных пропорциональны:
> ■
Свободные члены не пропорциональны коэффициентам:
Левая часть второго уравнения получена из левой части первого
умножением ее на 2, ‘а правая Иасть поручена из правой
части первого уравнения умножением ее на . Система
несовместна и решений не имеет.
Приме ча н не. Если, не задумываясь над структурой
данной системы, решать ее обычным образом, то придем
к нелепому результату: 0 = 3, так как оба неизвестных
исключаются сразу. ?
Подведем итог тому, что было сказано о решении линейной
системы
, | а1х + Ь1у = с1,
\ а2х -)- Ь2у = с2.
а) Если определитель системы А =£ 0, то система определенна,
т. е. имеет единственное решение.
35 УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ.
б) Если Л = 0 _и Ах — О, то система неопределенна, т. е.
имеет бесчисленное множество решений.
в) Если Д = 0, а &ХФ0, то система противоречива й
решений не имеет.
Можно дать геометрическое истолкование каждому из
трех рассмотренных случаев, исходя из того, что в прямоугольной
системе координат всякому уравнению первой степени
с двумя неизвестными (лучше сказать, с двумя переменными)
соответствует
прямая.
а) Если A 0, то две
прямые, изображаемый
уравнениями системы*
пересекаются в одной
TO’pte; координаты точки
тгересечедия и представляют
решение системы.
б) Если Л = О, &х =
= 0, то соответствующие
уравнениям две прямые сливаются в одну Общую прямую;
поскольку у них бесчисленное множество общих точек,
то, стало, бытб, и система имеет бесчисленное множество
решений. •
в) Если Л = 0, Ах Ф 0, то прямые., соответствующие уравнениям
системы, параллельны,. и точек пересечения нет,
а потому и система не имеет решений.
На рис. 2 изображены эти три Возможных случая.
§ 14. Особые случаи линейных систем.
До сих пор рассматривались линейные системы уравнений,
в которых число неизвестных было равно числу уравнений,
входящих в систему- Однако в приложениях математики
к другим наукам бывают случаи, когда уравнений, входящих
в систему, больше, чем неизвестных (такие системы
называют tie peon р еде ленными), или, наоборот, число неизвестных
превышает число уравнений системы. Прйемы решения
таких систем рассмотрим на ряде примеров.
Пример !.
X — у = 1,
Здг— 2у — 5,
5х — Зу — 9.
36 УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ.
уравнений. ,
j х — у — 1,
\ Ъх— 2у = 5;
находим х = 3 ; у = 2. Эти значения неизвестных подставляем
в третье уравнение и убеждаемся в том, что получается
тождество- 9 = 9. Следовательно, данная система имеет единственное
решение.
Пр име р 2.
х — \ — 2 у — 7,
Ъх — у = 14,
2x -f- у — 12.
Эта система уравнений не имеет решений, так как, решая .
систему
| * + 2у = 7,
| Зх —у = 14.
находим х ~ 5 i у = 1 , но эти значения неизвестных йе удовлетворяют
третьему уравнению 2х 4~ у = 12.
Пр име р 3. Какова должна быть зависимость между
о и б, чтобы система уравнений
х + У = 3,
Ьх — Зу = 7,
ax~\-bys=zbb
имела единственное решение? ■
Решаем сначала систему
Г х — \ — у — Ъ,
■ \ Ьх — Зу = 7
и находим Jf ,= 2, ysp.1,1 -. . v .
Подстановка этих значений неизвестных в третье уравнение
дает
2а-\-Ь = ЬЬ или а = 2Ь.
Пр име р 4.
; | 2х — у — 5а: = 0,
\ З х — |-2 у—-112 = 0.
Данная линейная система называется однородной, так как
ее свободные члены равны нулю.
37 УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ.
Всякая однородная система (не обязательно,; линейная)
имеет нулевоерешение: x = y = z = 0, что очевидно. Будем
искать решения, отличные от нулевого решения.
Предположим, что z ф 0. Тогда можно разделить на г
все члены уравнений; получим систему
2 г- —-г^ = 5. /
3 —г- -f-2 —z = 11.
Полагая
имеем
откуда и =
Далее,
или
х
Z и. 2Z
— t ,
2и — t = 5,
V 3 « 4 — 2 / = u ,
* — 3 2Z
1,
х — Ъг, у = z,
где z может принимать любое значение. Например, при
г = 2 имеем решение
х = 6; у = z = 2.
Таким образом, данная линейная система имеет бесчисленное
множество решений, получаемых из равенств
х = Ъг, y — z,
если неизвестному г приписать любое значение. В частном
случае при г = 0 имеем нулевое решение.
Пр име р 5.
J х — у + 3д = 0,
\ 2х — 2у — 5д = 0.
При отыскании решений, отличных от нулевого,. здесь
нельзя предположить, что z Ф 0, так как после деления на z
и введения вспомогательных неизвестных получим систему
J u — t — — Z,
1 2« — 2/ = 5,
38 УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ.
которая противоречива и решений; не имеет.’ >В таком случае
будем делить на х (или на у), считая * ^ 0, что в новых
= и, — j — ^ неизвестных дает систему
* | — и —j— 3/ = — 1,
| —2и — 5 / = — 2.
Решая ее, находим
и = 1, * = 0
или
По предположению, хфО, а потому 2 = 0 и. у = х .
Данная однородная система имеет бесчисленное множество
решений, отличных от нулевого. Каждое решение есть
тройка чисел, в которой первые два числа одинаковы,
а третье число есть 0; например, (3;. 3; 0) или (—5; —5; 0)
и т. д. ■
Пр име р 6.
| + 2у — 2 — 0,
. 1 2х + 4у — 22 = 0 .
Сразу видно, что второе уравнение есть следствие из
первого, так как после деления на 2 всех членов второго
уравнения получится система из двух одинаковых уравнений
X -J- 2у —-2 == 0, или х — 2 — 2у. (1)
Два неизвестных, у и 2 , могут принимать какие угодно
значения; значения х определяются по данным значениям у
и 2 из формулы (1).
§ 15. Примеры на отыскание решения систем
уравнений
Приме р 1. Решить систему
39 УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ.
Из первого ‘уравнения по свойству
порций*) . ‘ Л(е сли —n = q то . m—- я 4p —j !г)) находим
Ъс д -t-ft— с
2у а + с — ft , Откуда
производных про-
а4-Ь — е
Х = ; г —-Г У- (1)
Подстановка значения л; во второе уравнение системы дает —
(а + Ь — с)у , .
а + с — ^ _ a + ft
у 4-6 . й + с ’
откуда
(а + *)(У4-») = (a + C)a% t — 7 C)y + с(а + с’>
‘ ИЛИ Л)
(ОЧ- У — (д + g (g + g ) -* (g + »).
у (аf Ь ) + ‘P)J£± .* ^ f )■■ = с(а + С)-Ь (а + Ь ) ,
(as -J- ft) {в Ч* с) — Ь (а + Ь) — (а -{- с) (л -f- ft) -f- с (й -}■■ с) у , , — а + е_ ь 1 ! ” —
, = с (a — f- с) — b (a ^ -b ).
Сокращая обе части уравнения; на с (о + с) — Ь(а-\~ Ь),
получим ’ ‘ ,
—г = 1, у= = а -\~с— Ь. а + с — Ь 1
Подстановка найденного значения у в равенство (1) дает
x = a-4~fi^—с- / .-V.
*) Если имеет место пропорция -?■ = то о й
в ■ « (I | ) й а С • у + 1 = = 7 + 1 » т — 1 = — — 1.
ИЛИ
а 4- ft с -l-rf а—• ft с — d
ft ~ d Н ft ^ d ‘
Поделив почленно два последних равенства, получим
о b е ф й
я — 6 ~ с —d ‘
40 УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ.
Приме р 2. Решить систему
* Ф у — М —0.
a x -\-b y -{ — cz = 0, (2)
Ьсх асу -f- abz .== I.
7 Из первого уравнения имеем
* = —( * + у);
подставляем это значение z во второе и третье уравнения
системы (2), что приводит к системе уравнений
а х -фЬу — с ( х — \- у) = О,
Ьсх-{-асу — a b (x -j-y ) — 1.
Из первого уравнения системы (3) слезет ‘
(а — с )х = (с — Ь)у;
при (а — с )ф 0 имеем
х = — у. (4)
— . . . v ■» а — с ‘ v . . . .
После подстановки найденного выражения х во второе уравнение
^истемы (3) получим уравнение с одним неизвестным:
или
— Ь(с — Ь )у -\-а (с — Ь ) у= I.
4 )у= 1 ; y = 7^ l i f ^ t l .
Из равенства (4) находим
. . _ с — Ь 1 1
а — с (о — 6)(е— ft) (в — ft)(a — с)*
затем
Z (■* + У) (а — с) (ft — с) *
Упражнения …
-1. Решить уравнения:
П 1 3 5
; 2л: —3 х (2л: — 3> 1с’
„V х — 1 , х—6 _ лг—5 , х —2
— £} х — х ^ Ъ ^ х ~ 3**
ох 2л?-)-в лс —ft Зале + (а — ft)1
, > ft — a **’ eft
41 УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ.
2. Решить системы уравнений:
I 7х — Зу — 8 = 0,
’ { 4х + 9 у + 2 4 = 0.
Г 2х + 5у = 0.
’ 1 Зх — у = 0.
х: у = 3:4,
( х — 1): (у + 2 ) = 1:2.
9
3 ) {
4)
5)
6)
4х + — = 21,
У
05-*Т +. —0,3 = 6.,
10х , = 31.
4
2х + у 2*— Зу
15 , 2
= 5.
+8
У
У к а з а н и е.
‘ !
17 —Зх.
1—
= *
У
2 х + у 2х— Зу
Указание.
1
= 5.
2х + у
х
■ г, 2х— Зу
7)
8)
тх — 2у = 3.
Зх+шу = 4.
4х + my — 9 = 0,
2/их + 18у + 27 = 0.
9) j а + ь
Ю) | х — а
а — Ь
х — у
У
■ 2а,
— 4аЬ.
ах + by = 2 ah.
y — b
11)
12)
13)
14)
+ | _ l = f t
.^а- — 1 = 0.
х
Т(
а-\-о)х — (а — Ь) у = 4аЬ,
_ £ __ | У ^-2.
a-\-b ‘ а — ft ~
(аг+ 62)х + (а2— **) у = в?.
(а + 6) л: + (а — Ь) у = а.
jc У
яГ я ~ р ‘
Ax + By + Cz \-D = 0.
х
Ук а з а н и е . —m = /; = /и/,
у = я/; г * p t
15) и
Ах + Йу + Сг + О = 0.
Указание. Ввести вспомогательное неизвестное 7, полагая
т~п а-=и
42 УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ.
ЕГЭ 2015 Математика.
Библиотека учителя.
Околоadmin
Comments