дома » Геометрия в школе » Задачи для первого знакомства

Задачи для первого знакомства

Задачи для первого знакомства

Главная страница ЗАОЧНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ

ЗАОЧНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ

ЗАОЧНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ

ЗАОЧНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ

Основу книги составляют задачи, предлагавшиеся на Всесоюзных заочных
математических олимпиадах и конкурсах Всесоюзной
заочной математической школы для учащихся 7—10 классов.

Скачать или посмотреть эту книгу онлайн в формате PDF можете на странице
Учебники Скачать.

Ниже можете просто ознакомится с текстовым содержанием книги. Но здесь формулы отображаются не корректно. Если книга вам понравиться, можете скачать её бесплатно по ссылке выше.

1-1. Можно ли в листе бумаги, вырванном из
школьной тетради, прорезать такую дыру, в которую
пролезет взрослый человек?
1-2. В уравнении
(х2 + ‘ . . . ) ( * + l) = (jt4+ l ) ( * + 2)
одно число стерто и заменено точками. Найдите стертое
число, если известно, что один из корней этого
уравнения равен единице.
а 1-3. Петя тратит 1/3 часть своего времени на зан я тия
в школе, 1 /4—’на игру в футбол, 1/5 — на прослушивание
пластинок, 1/6 — на телевизор, 1/7 — на
решение задач по математике. Можно ли так жить?
v 1-4. Четыре числа попарно сложили и получили
шесть сумм. Известны четыре наименьшие из этих
сумм: 1, 5, 8 и 9. Найдите две остальные суммы и сами
исходные числа.
1-5. Какое наибольшее число воскресений может
быть в году?
1-6. Четыре девочки — Катя, Лена, Маша и Нина —
участвовали в концерте. Они пели песни. Каждую
песню исполняли три девочки. Катя спела 8 песен —•
больше всех, а Лена спела 5 песен — меньше всех.
Сколько песен было спето?
1-7. Три купчихи — Олимпиада, Сосипатра и Полик
сена— пили чай. Если бы Олимпиада выпила на
5 чашек больше, то она выпила бы столько, сколько
две другие вместе. Если бы Сосипатра выпила на
9 чашек больше, то она выпила бы столько, сколько
две другие вместе. Определите, сколько каждая выпила
чашек и у кого какое отчество, если известно,
что Уваровна пила чай вприкуску, количество чашек
чая, выпитых Титовной, кратно трем, а Карповна выпила
11 чашек.

5

1-8. Д ам а сдавала в багаж: диван, чемодан, саквояж,
картину, корзину, картонку и маленькую собачонку.
Диван весил столько же, сколько чемодан и
саквояж вместе, и столько же, сколько картина и картонка
вместе. Картина, корзина и картонка весили ■
поровну, причем каждая из н их— больше, чем собачонка.
Когда выгружали багаж, дама заявила, что
собака не той породы. При проверке оказалось, что
собака перевешивает диван, если к ней на весы добавить
саквояж или чемодан. Докажите, что претензия
дамы была справедлива.
1-S. Мотоциклист и велосипедист выехали одновременно
из пункта А в пункт В. Проехав треть пути, велосипедист
остановился и поехал дальше лишь тогда,
когда мотоциклисту оставалась треть пути до В. Мо-.
тоциклист, доехав до В , сразу поехал обратно.
Кто приедет раньше: мотоциклист в А или велосипедист
в В?
1-10. Длины катетов прямоугольного треугольника
равны а и Ъ. На его гипотенузе как на стороне во
внешнюю сторону треугольника построен квадрат,:
Найдите расстояние от вершины прямого угла треугольника
до центра квадрата.
1-11. З а весну Обломов похудел на 25 %, затем за
лето прибавил в весе 20 %, за осень похудел на 10 %;,
а за зиму прибавил 20 %. Похудел ли он или поправился
за год?
1-12. Ивана Александровича Хлестакова пригласили
управлять департаментом и в течение трех дней
прислали ему 35 000 курьеров. Если бы в первый день
было прислано вдвое больше курьеров, чем на самом
деле, то общее число курьеров было бы пятой степенью
того числа, на которое в третий день прислали
курьеров больше, чем во второй. Сколько курьеров
присылали каждый день?
1-13. После представления «Ревизора» состоялся
следующий диалог.
Б о б ч и н с к и й : Это вы, Петр Иванович, первый
сказали «Э!». Вы сами так говорили.
Д о б ч и н с к и й : Нет, Петр Иванович, я так не говорил.
Это вы семгу первый заказали. Вы и сказали
«Э!». А у меня зуб во рту со свистом.
Б о б ч и н с к и й : Что я семгу первый заказал, это
верно. И верно, что у вас зуб со свистом, А все-таки
это вы первый сказали «Э!»,

6

Выясните, кто первым сказал «Э!», если известно,
что из девяти произнесенных в этом диалоге фраз-
утверждений четное число верных.
1-14. а ) У стены круглой комнаты диаметром 3 м
на полу сидит кузнечик. Каждый его прыжок имеет
длину 2 м. Он начинает прыгать. В какие точки комнаты
он может при этом попасть?
б) Тот же вопрос, если комната квадратная со
стороной 2 м, а кузнечик вначале сидит в углу.
1-15. Новая шахматная фигура «жираф» ходит
«буквой Г» на четыре клетки в одном направлении и
на пять клеток — в другом. Какое наибольшее число
жирафов можно расставить на шахматной доске так,
чтобы ни один не мог напасть на другого, сколько бы
он ни ходил?
1-16. Четверо ребят — Алеша, Боря, Ваня и Гриш
а— соревновались в беге. На следующий день на
вопрос, кто какое место занял, они ответили так:
Ал еша : Я не был ни первым, ни последним.
Б о р я : Я не был последним.
Ва н я : Я был первым.
Г р иша : Я был последним.
Известно, что три из этих ответов правильные,
а один — неверный. Кто сказал неправду? Кто был
первым?
1-17. Города А и В расположены на реке на расстоянии
10 км друг от друга. На что пароходу потребуется
больше времени: проплыть от Л до В и обратно
или проплыть 20 км по озеру?
1-18. Андрей^ бегает на лыжах быстрее Вити, но
медленнее Жени. Они одновременно побежали по круговой
дорожке из одного места в одном направлении
и остановились в момент, когда были все трое в одном
месте. За это время Женя обогнал Витю 13 раз.
Сколько всего было обгонов?
1-19. Стальную плитку размерами 73X^ 9 см обвели
карандашом на бумаге. Найдите центр полученного
прямоугольника, имея в распоряжении только эту
плитку и карандаш.
1-20. Докажите, что в любой компании найдутся
два человека, имеющие равное число знакомых в этой
компании. (Если А знаком с В, то В знаком с Л.)!
1-21. Последовательность чисел строится по следующему
закону. На первом месте стоит число 7,

7

далее за каждым числом стоит сумма цифр его квад-1
рата, увеличенная на единицу. Так, на втором месте
стоит число 14, так как 72 = 49, а 4 + 9 + 1 — 14. На
третьем месте стоит число 17 и т. д. Какое число стоит
на 1000-м месте?
1-22. В 9 «Г» классе учатся три брата: Алеша,
Леня и Саша. Учитель заметил, что если кто-то из них
получает подряд две четверки или две тройки, то
дальше он учится кое-как и получает тройку; если он
получает подряд две пятерки, то совсем перестает з а ниматься
и получает двойку, а если он получает две
разные оценки, то следующей будет большая из них.
В начале полугодия Алеша получил оценки 4 и 5,
Леня — 3 и 2, Саша — 2 и 4. Какие итоговые оценки
они получат за это полугодие, если учитель выставил
каждому по 30 оценок, а итоговая оценка — ближайшее
целое число к среднему арифметическому полученных
оценок?
1-23. Математик шел домой вверх по течению
ручья со скоростью, в полтора раза большей, чем скорость
течения, и держал в руках шляпу и палку. На
ходу он бросил в ручей шляпу, перепутав ее с палкой.
Вскоре, заметив ошибку, он бросил палку в ручей
и побежал назад со скоростью вдвое большей той,
с какой шел вперед. Догнав плывущую шляпу, он
мгновенно достал ее из воды, повернулся и как ни
в чем ни бывало пошел домой с прежней скоростью.
Через 40 секунд после того, как он догнал шляпу, он
встретил палку, плывущую ему навстречу. Насколько
раньше пришел бы он домой, если бы все время шел
вперед?
1-24. Существует ли такое целое число, которое
при зачеркивании первой цифры уменьшается: а) в
Б7 раз; б) в 58 раз?
1-25. Четверть участников шахматного турнира составляли
гроссмейстеры, остальные были мастера.
Каждые два участника сыграли друг с другом один
раз. З а выигрыш присуждалось очко, за ничью — полочка,
за проигрыш — ноль. Мастера в сумме набрали
в 1,2 раза больше очков, чем гроссмейстеры. Сколько
было мастеров и сколько гроссмейстеров?
1-26. Существует ли четырехугольная пирамида, у
которой две противоположные боковые грани перпен
дикулярны плоскости основания?

8

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ

З а д а ч а 1-1. Ответ: можно. Примерный способ
показан на рис. 1. Количество изгибов полоски можно
делать больше или меньше, в зависимости от солидности
того, кто должен пролезать.
——— ——— ——— ———
З а д а ч а 1-2. Ответ: 2.
Чтобы найти стертое число,
достаточно подставить в ————————-
уравнение х = 1 .
З а д а ч а 1-3. Если Петя
может делать несколько _____ 1 _ _ _
дел одновременно, то можно;
если же нет — то нель- рис. i
зя: сумма данных чисел
больше единицы.
З а д а ч а 1-4. Ответ: две остальные суммы равны
12 и 16, а сами числа равны либо (—1), 2, 6 и 10,
либо (—3 /2 ), 5/2, 13/2 и 19/2.
З а д а ч а 1-5. Ответ: 53. Среди любых семи последовательно
идущих дней обязательно встречается
одно воскресенье. Поскольку 365 = 5 2 — 7 + 1, 366 =
= 52-7 + 2, то в любом году получается 52 семерки
дней (недель) и еще остаток— 1 или 2 дня. В каждой
семерке ровно одно воскресенье, а в остатке — одно
или ни одного. Всего получается не более 53 воскресений.
Пример года, когда было 53 воскресенья —
1984-й. Столько же воскресений будет в 1989, 1995,
2000 гг.
З а д а ч а 1-6. Ответ: 9 песен. Если за каждую
песню давать каждой ее исполнительнице по конфете,
то общее число призовых конфет будет кратно трем.
З а д а ч а 1-7. Ответ: Олимпиада Карповна выпила
11 чашек, Сосипатра Титовна — 9 чашек, Поликсена
Уваровна — 7 чашек.
З а д а ч а 1-8. Обозначим массы предметов первыми
буквами их названий: Д — масса дивана, Ч — чемодана,
С — саквояжа,- К — картины (а также корзины
и картонки — они весили поровну), М — маленькой
собачонки. Если претензия дамы несправедлива,
то:
д = Ч + С = 2К, К > М, М + С > Д , М + Ч > Д.
Отсюда М > Ч, М > С, 2К — Ч + С < 2М < 2 К —
противоречие.

9

З а д а ч а 1-9. Ответ: велосипедист приедет раньше.
Поскольку велосипедист проехал треть пути раньше,
чем мотоциклист проехал две трети, то скорость велосипедиста
больше половины скорости мотоциклиста.
З а д а ч а 1-10. Ответ: ( л / 2/2) {а + Ь). Пристроим
извне ко всем сторонам квадрата такие же треугольники,
как данный, таким обра«
зом, чтобы их катеты составляли
а продолжение друг друга — рис. 2*
Катеты этих треугольников обра«
зуют новый квадрат, центр кото*
рого совпадает с центром преж-
^ него. Искомое расстояние равно
половине диагонали нового ква«
драта, откуда следует ответ.
З а д а ч а 1-11. Ответ: поху«
дел. Если в начале весны Обломов
весил М кг, то к концу года он стал весить
0,75-1,2-0,9- 1,2ЛГ — 0,972М кг.
З а д а ч а 1-12. Ответ: 24049, 5471, 5480 курьеров
в первый, второй и третий дни соответственно. Единственная
пятая степень целого числа, заключенная в
промежутке от 35 ООО до 70 000, — это 95.
З а д а ч а 1-13. Ответ: Бобчинский. Вычеркивая
два равносильных утверждения, мы не меняем четности
числа верных среди оставшихся, а вычеркивая два
противоположных утверждения, мы меняем четность.

З а д а ч а 1-14. а ) Ответ: все точки кольца с внутренним
диаметром 1 м и внешним 3 м (на рис. 3,а
это кольцо заштриховано). Ясно, что кузнечик не может
приблизиться к центру комнаты ближе чем на
полметра. Чтобы показать, что кузнечик может по10

10

пасть в любую точку указанного кольца, надо сначала
показать, что он может попасть в любую точку
у стены.
б) Ответ см. на рис. 3,6, где заштриховано искомое
множество точек. Оно представляет собой всю
комнату, за исключением пересечения четырех кругов
радиуса 2 м с центрами в углах комнаты.
З а д а ч а 1-15. Ответ: 16 жирафов. На рис. 4 показано,
как можно расставить 8 жирафов: каждого

из них можно поставить в любую клетку, на которой
стоит его номер. Остальных 8 жирафов можно расставить
симметрично первым восьми.
З а д а ч а 1-16. Ответ: неправду сказал Ваня; первым
был Боря. Если предположить, что неправду ска-
вал Алеша, то получится, что он был первым или последним,
но тогда неправду сказал еще либо Ваня,
либо Гриша, а это противоречит условию — неправду
сказал только один из мальчиков. Аналогично рассматриваются
и все другие возможности.
З а д а ч а 1-17. Ответ: больше времени требуется
ра путь по реке. Пусть скорость парохода равна и,
скорость течения v. Если и ^ v, то пароход вообще не
выплывет против течения, если же и > v > 0, то решение
сводится к доказательству неравенства
ю , 10 20
и + v ‘ и — v ^ и ‘

11

З а д а ч а 1-18. Ответ: 25. Те 13 моментов времени,
когда Женя обгонял Витю, разбивают все время движения
на 14 промежутков, и за каждый промежуток
Женя опережал Витю ровно на один круг. Значит,
Женя сделал на 14 кругов больше Вити. Пусть Андрей
сделал на k кругов больше Вити. По условию
О < k < 14. Рассуждая аналогично, получаем, что
Андрей обогнал Витю k — 1 раз. Но Андрей сделал
на 14 — k кругов меньше Жени, и поэтому Женя обогнал
его 13 — k раз. Всего произошло 13 + (&— 1) +
+ (13 — &) = 25 обгонов.
З а д а ч а 1-19. На каждой из больших сторон прямоугольника
отложим от концов по 19 см. Получим
прямоугольник 35X19, име-
ющий общий центр с исход-
13 ным, а в нем мы уже смо^
жем провести диагонали,
которые пересекаются в
73 центре — см. рис. 5.
Рис. 5 З а д а ч а 1-20. Пусть в
компании k человек. Тогда
каждый из них имеет в этой компании не меньше
нуля и не больше k — 1 знакомых. Если предположить,
что количества знакомых у всех людей различны,
то получится противоречие. .Действительно, тогда
один имеет нуль знакомых, второй — одного, третий —
двух и т. д., наконец, последний имеет k — 1 знакомых.
Но это значит, что последний знаком со всеми,
в частности, с первым, а тот ведь не был знаком ни
с кем!
З а д а ч а 1-21. Ответ: 11. Вычислим несколько
первых членов данной последовательности:
7; 14; 17; 20; 5; 8, 11; 5; . . .
Пятерка повторилась, значит, дальше будет период,
состоящий из трех чисел: 5, 8, 11.
З а д а ч а 1-22. Ответ: Алеша и Саша получат
оценки 4, а Леня — оценку 3. Начиная выписывать
оценки каждого из ребят, обнаруживаем, что с некорого
момента они периодически повторяются. Это схематически
изображено на рис. 6. Подсчитав средние
значения оценок, получаем ответ.
З а д а ч а 1-23. Ответ: на две с половиной минуты.
Пусть математик бежал назад t секунд. Тогда палка
плыла назад г + 40 секунд. Обозначим скорость течения
v. Тогда скорость ходьбы равна l,5v, бега — Зу.

12

Расстояние, которое он бежал назад, равно расстоянию,
которое плыла палка до встречи с ним, плюс
расстояние, которое он шел вперед, выловив шляпу,
до встречи с палкой:
За/ = 1,5 v • 40 + v (t + 40),
откуда t = 50 секунд. Время, которое он потерял, равно
50 секунд плюс время, которое ему потребовалось,
чтобы пройти то же расстояние,
а оно вдвое больше.
Всегб получается Aneuia
50 + 50 • 2 =« 150 секунд.
З а д а ч а 1-24. Ответ:
а) существует, например д еня
7125; б) не существует.
Обозначим через х з а черкиваемую
цифру, через
k—количество осталь- Саша
ных цифр, через у — число,
остающееся после з а черкивания.
Тогда х- 10ft+
+ у = 58г/, откуда x-10ft = 57у. В последнем равенстве
правая часть содержит простой множитель 19,
которого левая часть содержать $
не может.
З а д а ч а 1-25. Ответ: 9 мастеров
и 3 гроссмейстера. Если
п — число участников матча, то
я (и — 1) ^
2 общее количество очков
в этом матче.
З а д а ч а 1-26. Ответ: существует.
Пример такой пирамиды
приведен на рис. 7. Она по- д
строена следующим образом. Берется
треугольная пирамида
SABC, у которой боковое ребро рис. 7
5Л перпендикулярно плоскости
основания. Ее боковые грани S^4C и SAB перпендикулярны
основанию (как плоскости, проходящие через
йерпендикуляр Л 5 к основанию). Возьмем теперь произвольные
точки М и N на сторонах АС и АВ основания
соответственно. Пирамида SMNBC удовлетворяет
условию задачи.

13

#Математика #математические_олимпиады

Математика в школе.
Библиотека учителя математики.

Около

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика