Бумажный змей. Постройка дома

Бумажный змей

Текст просто для быстрого ознакомления с темой в общих чертах (формулы и чертежи могут отображаться не точно). Качественнее отображаются в PDF файле выше):

ЗАДАЧА
Змею, имеющему вид кругового сектора, желают
придать такую форму, чтобы он вмещал в данном
периметре наибольшую площадь. Какова должна
быть форма сектора?

Бумажный змей

РЕШЕНИЕ
Уточняя требование задачи, мы должны разыскать,
при каком соотношении длины дуги сектора и его
радиуса площадь его
достигает наибольшей
величины при данном
периметре.
Если радиус секто-
ра х, а,дуга у> то его пе-
риметр / и площадь S
выразятся так (рис.24):
ху х (I — 2х)
Величина S достигает
максимума при том же
значении л% что и про-
изведение 2х{1—2х),
т. е. учетверенная
площадь. Так как
Рис. 24. сумма множителей
2х + (I—2х) =/ есть ве-
личина постоянная, то произведение их наибольшее,
когда 2х=1—2х, откуда

Итак, сектор при данном периметре замыкает наи-
большую площадь в том случае, когда его радиус со-
ставляет половину дуги (т, е, длина его дуги равна

160 Бумажный змей 

сумме радиусов или длина кривой части его пери-
метра равна длине ломаной). Угол сектора равен
~ 115° — двум радианам. Каковы летные качества
такого широкого змея, — вопрос другой, рассмотре-
ние которого в нашу задачу не входит.

Постройка дома

ЗАДАЧА
На месте разрушенного дома, от которого уцелела
одна стена, желают построить новый. Длина уцелев-
шей стены—12 м. Площадь нового дома должна

161 Постройка дома

равняться 112 кв. м. Хозяйственные условия работы
таковы:
1) ремонт погонного метра стены обходится в
25% стоимости кладки новой;
2) разбор погонного метра старой стены и кладка
из полученного материала новой стены стоит 50% то-
го, во что обходится постройка погонного метра сте-
ны из нового материала.
Как при таких условиях наивыгоднейшим образом
использовать уцелевшую стену?

161 Постройка дома 

РЕШЕНИЕ
Пусть от прежней стены сохраняется х метров, а
остальные 12 — х метров разбираются, чтобы из по-
лученного материала возвести заново часть стены
нового дома (рис. 25). Если стоимость кладки погон-
ного мегра стены из нового материала равна а, то
^ ах
ремонт х метров старой стены будет стоить -7-; воз-
« in к а(\2 — х)
ведение участка длиной 12 — х будет стоить „- ; ‘
прочей части этой стены а[у—A2—х)], т. е. а(у+х— ‘
—12); третьей стены ах, четвертой ау. Вся работа
обойдется в
ах . а A2 — х) , , , л пх , ,
т+-5—2——\-а(у-\-х— \2)-\-ах-\-ау—=

Последнее выражение достигает наименьшей ве-
личины тогда же, когда и сумма
7х+Ъу.
Мы знаем, что площадь дома ху равна 112; сле-
довательно,*
7л>%=56-112.
При постоянном произведении сумма 7х + Ъу до-
стигает наименьшей величины тогда, когда
откуда
Подставив это выражение для у в уравнение
ху=т,
имеем:
^х2 = т, jc = V28»11,3.
А так как длина старой стены 12 м, то подлежит
разборке только 0,7 м этой стены.

162 Постройка дома

На главную страницу ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман. 
Школьная математика.  Математика в школе.

Околоadmin