Когда сумма наименьшая? Брус наибольшего объема

Когда сумма наименьшая?

Текст просто для быстрого ознакомления с темой в общих чертах (формулы и чертежи могут отображаться не точно). Качественнее отображаются в PDF файле выше):

Читатель, желающий испытать свои силы на дока-
зательстве полезных алгебраических теорем, пусть
докажет сам следующие положения:
1. Сумма двух чисел, произведение которых неиз-
менно, становится наименьшей, когда эти числа
равны.
Например, для произведения 36: 4 + 9=13,
3+12-15, 2+18 = 20, 1+36 = 37 и, наконец, 6 + 6-12.
2. Сумма нескольких чисел, произведение которых
неизменно, становится наименьшей, когда эти числа
равны.
Например, для произведения 216: 3+12 + § = 21,
2+18 + 6 = 26, 9 + 6 + 4=19, междутемкак6 + 6 + 6=18.
На ряде примеров покажем, как применяются на
практике эти теоремы.

Брус наибольшего объема

ЗАДАЧА
Из цилиндрического бревна надо выпилить прямо-
угольный брус наибольшего объема. Какой формы
должно быть его сечение (рис. 23)?

Брус наибольшего объема

Рис. 23.
РЕШЕНИЕ
Если стороны прямоугольного сечения х и у, то
по теореме Пифагора

158 Когда сумма наименьшая? 

где d — диаметр бревна. Объем бруса наибольший,
когда площадь его сечения наибольшая, т. е. когда
ху достигает наибольшей величины. Но если ху наи-
большее, то наибольшим будет и произведение х2у2.
Так как сумма х2+у2 неизменна, то, по доказанному
ранее, произведение х2у2 наибольшее, когда
х2=у2 или х=у.
Итак, сечение бруса должно быть квадратным.

Два земельных участка

ЗАДАЧИ
1. Какой формы должен быть прямоугольный уча-
сток данной площади, чтобы длина ограничивающей
его изгороди была наименьшей?
2. Какой формы должен быть прямоугольный уча-
сток, чтобы при данной длине изгороди площадь его
была наибольшей?
решения
1. Форма прямоугольного участка определяется со-
отношением его сторон х и у. Площадь участка со
сторонами х и у равна ху, а длина изгороди 2х+2у’
Длина изгороди будет наименьшей, если х+у достиг-
нет наименьшей величины.
При постоянном произведении ху сумма х+у наи-
меньшая в случае равенства х=у. Следовательно,
искомый прямоугольник — квадрат.
2. Если х и у — стороны прямоугольника, то дли-
на изгороди 2х+2у, а площадь ху. Это произведение
будет наибольшим тогда же, когда и произведение
Аху, т. е. 2х • 2у\ последнее же произведение при по-
стоянной сумме его множителей 2х+2у становится
наибольшим при 2х=2у, т. е. когда участок имеет
форму квадрата.
К известным нам из геометрии свойствам квадрата
мы можем, следовательно, прибавить еще следующее:
из всех прямоугольников он обладает наименьшим
периметром при данной площади и наибольшей пло-
щадью при данном периметре.

159 Брус наибольшего объема 

На главную страницу ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА Я. И. Перельман. 
Школьная математика.  Математика в школе.

Околоadmin