Автоморфизмы и эндоморфизмы

49 Автоморфизмы и эндоморфизмы. 

Если A — подгруппа группы Aut G и X С G, то используются обозначения: Ca(X) = {a € A \ xa = x для всех
x € X}, Cg(A) = {g € G \ ga = g для всех a € A}, [X, A] = (x-ixa \ x € X, a € A), [A, X] = (x-ax \ x € X, a € A).
Ясно, что [X, A] = [A, X].
Если A С Aut G, то говорят, что группа A стабилизирует или централизует цепь G = Go D Gi D … D Gn = e,
если [A, Gi] С Gi+i, i = 0, … ,п — 1; A называют стабилизатором данной цепи, если A состоит из всех автоморфизмов
группы G с указанным выше свойством.
Если х — некоторое множество простых чисел, то через х’ обозначаются все простые числа, не входящие в х.
Пусть P — конечная p-группа. Тогда cl P обозначает класс нильпотентности P; Qi(P) = (g € P \ gp = e), подгруппа
Qi(P) называется нижним слоем группы P; Oi(P) = (gp \ g € P). Если a — наибольший из порядков коммутативных
подгрупп в P, то (P) = {A \ A — подгруппа в P, A’ = e, \A\ = a}. J(P) = (A \ A € (P)) — подгруппа Томпсона
группы P. SCN (P) — множество всех максимальных коммутативных нормальных подгрупп из P.
Тождественный автоморфизм группы G обозначается через 1, также обозначается единичная подгруппа в Aut G.
В этом параграфе помещены также некоторые начальные факты о группах автоморфизмов и кольцах эндоморфизмов
для абелевых групп, не требующие специальных знаний об этих группах. Группа автоморфизмов абелевой
группы коммутативна лишь в исключительных случаях. Напомним, что в абелевых группах принята аддитивная
форма записи групповой операции.
Определим кольцо эндоморфизмов End A аддитивной абелевой группы A. Его элементами являются всевозможные
эндоморфизмы группы A, т.е. такие отображения f: A A, что f (a + b) = f (a) + f (b) (a,b € A). Сумма f +
g, произведение fg двух эндоморфизмов f и g есть эндоморфизмы, определяемые, соответственно, правилами:
(f + g) (a) = f (a) + g(a), (fg) (a) = f (g(a)) для a € A (говорят, что сложение — «поточечное», а в качестве
произведения берется композиция).

Задачи

8.1. Покажите, что множество End A действительно образует ассоциативное кольцо относительно указанных операций
сложения и умножения эндоморфизмов. При этом Aut A = (End A)*.
8.2. Пусть K — кольцо. Для каждого x € K можно определить отображение а
х: K K по правилу а
х: y ^ yx.
Покажите, что:
а) {ах \ x € K} есть подкольцо в End K+, изоморфное K;
б) если K — кольцо с единицей, то группа Aut K+ имеет подгруппу, изоморфную K*.
8.3. 1) End Z = Z и Aut Z = Z2 .
2) End Zn = Zn и Aut Zn = Zn, \ Aut Zn\ = ф(п).
3) EndQ = Q. 4) Aut S3 = S3 = Aut V4 .
5) End Zp = Zp. 6 ) End Zp« = Zp.
8.4. Опишите группу автоморфизмов: а) группы Z5 и б) группы Z6 .
8.5. 1) Группа автоморфизмов конечной группы всегда конечна.
2) Группа автоморфизмов бесконечной группы может быть конечной.
3) Группы автоморфизмов неизоморфных групп могут быть изоморфными.
4) Группа автоморфизмов может иметь большую мощность, чем сама группа.
8 .6 . Пусть G = (x) х (y). Покажите, что:
а) для любой пары элементов a, b € G существует единственный эндоморфизм ф группы G со свойством фx = a
б) если o(x) = o(y), то формула xmyn ^ ynxm+n (m, п € Z) задает автоморфизм ф группы G, найдите порядок
ф, если o(x) = o(y) = 4.
8.7. Если m и п — натуральные числа, то:
Задачи
и фу = b;
а) End = M(п, Z) и Aut = GL(^ Z);
б) End (Zm х . . . х Zm) = M(п, Zm), Aut (Zm х . . . х Zm) = GL (п, Zm).

50 Автоморфизмы и эндоморфизмы.

8 .8 . Пусть E — элементарная абелева группа порядка pn. Покажите, что Aut E = GL(^ Zp) и \ Aut E\ = (pn —
1 ) ( p n — p ) . . . (pn — pn-i).
8.9. Если G = Gi х … х Gn, где Gi — характеристические подгруппы группы G, то Aut G = Aut Gi х … х Aut Gn.
8.10. Если G — группа нечетного порядка, a € Aut G и o(a) =2, то G = Gi • G _ i , г д е G i = {g € G\ga = g } ,
G — i = {g € G\ga = g _ i } .
8.11. Пусть A и B — группы, a: A B и в: B A — гомоморфизмы. Покажите, что если [3a € Aut A, то
B = Ker в X Aa.
8.12. Пусть G — периодическая группа, п — целое число и an — отображение g ^ gn (g € G). Покажите, что:
а) если группа G коммутативна, то an € Aut G если и только если (o(g), п) = 1 для всех g € G;
б) если п € {—1, 2, 3} и an € Aut G, то группа G коммутативна.
Пусть п € Z. Группа G называется п-абелевой, если xnyn = (xy)n для всех x,y € G, т.е. отображение g ^ gn
(g € G) есть эндоморфизм группы G.
8.13. 1) п-абелева группа является п™-абелевой при любом m € N.
2) В п-абелевой группе любой х(п)-элемент перестановочен с любым х(п)’-элементом (х(п) — множество всех
простых чисел, делящих п, а х(п)’ — его дополнение во множестве всех простых чисел).
8.14. Пусть G — конечная группа, a € Aut G и o(a) = p — простое число. Если a оставляет на месте каждый
класс сопряженных элементов группы G, то p делит порядок группы G.
8.15. Если a — нормальный эндоморфизм группы G, то отображение — 1 + a: g ^ g-iga есть эндоморфизм группы
G.
8.16. Если группа G совершенна, то Aut G = G.
8.17. Если a — нормальный автоморфизм группы G, то a действует тождественно на коммутанте G’.
8.18. Для каждой подгруппы A С Aut G подгруппа [G, A] является A-инвариантной нормальной подгруппой в G.
8.19. Пусть G — группа, N — ее нормальная подгруппа, a € Aut G и N С CG(a). Тогда N С Cg( [G, a ] ) .
8.20. Найдите все эндоморфизмы группы S3 . Определите их ядра и образы. Докажите, что группа S3 совершенна.
8.21. 1) Если Aut G — циклическая группа, то группа G коммутативна.
2) Группа автоморфизмов конечной абелевой группы порядка > 2 имеет четный порядок.
8.22. Найдите все конечные группы G, для которых \ Aut G\ = 1.
8.23. Если H — характеристическая подгруппа группы G, то определена факторгруппа Aut G/Cau g(H) и она
изоморфна подгруппе группы Aut H.
8.24. Пусть ф € End G и H — ф-допустимая нормальная подгруппа в G. Тогда:
а) отображение ф: gH ^ g^H есть эндоморфизм группы G = G/H, причем если ф € Aut G, то ф € Aut G;
б) если к тому же подгруппа H характеристична в G, то отображение ф ^ ф есть гомоморфизм группы Aut G
в Aut G с ядром CAut gG = {a € Aut G \ (gH)a = gH для всех g € G}.
8.25. Конечная абелева группа нечетного порядка > 1 имеет точно один регулярный автоморфизм порядка 2.
8.26. Если G — конечная группа, имеющая регулярный автоморфизм ф порядка 2, то:
а) G — коммутативная группа нечетного порядка;
б) ф отображает каждый элемент группы G в обратный.
8.27. 1) Центр группы, а также подгруппа Фраттини являются характеристическими подгруппами.
2) В конечной простой группе подгруппа Фраттини совпадает с единичной подгруппой.
3) Если H — характеристическая подгруппа группы B, а B — нормальная подгруппа группы G, то H является
нормальной подгруппой в G.
8.28. Приведите пример группы, центр которой не является вполне инвариантной подгруппой.
8.29. Если Z(G) = e, то Z(Aut G) = 1.
8.30. Все конечные циклические группы нечетных порядков > 1 не могут быть группами автоморфизмов, ни для
каких групп.
8.31. 1) Aut S3 = S3 , причем все автоморфизмы — внутренние.
2) Aut V4 = S3 , причем внутренним является лишь тождественный автоморфизм.

51 Автоморфизмы и эндоморфизмы.

8.32. Aut A4 = S4 и Aut Qg = S4.
8.33. Является ли циклической группа автоморфизмов: а) группы Z9, б) группы Zg?
8.34. \ Aut Aut Aut Z9 \ =1.
8.35. Если G — конечная простая некоммутативная группа, то Aut G — совершенная группа.
8.36. Пусть G = A х B = A х C. Каждый элемент g € G единственным образом представляется в виде g = ab, где
a € A, b € B. Элемент b имеет единственное представление в виде b = aic, где ai € A и с € C. Положим g* = ai и
ga = (g*)-ig. Покажите, что ф € End G и G* = B* С Z(G), a € Aut G и Aa = A, Ba = C.
8.37. Совершенная нормальная подгруппа служит прямым множителем группы.
8.38. Конечная группа не имеет собственных характеристических подгрупп тогда и только тогда, когда она является
прямым произведением конечного числа изоморфных простых подгрупп.
8.39. Пусть G — группа и H — некоторое подмножество в группе G х G. Равносильны следующие условия:
а) H — подгруппа в G х G и H = G;
б) существуют такие эндоморфизмы a и в группы G, что Ker a П Ker в = e и a3 = 1, причем H = {(ag, 3g) \ g €
G}.
8.40. Стабилизатор цепочки 0 С B С A абелевой группы A изоморфен группе Hom(A/B, B). Он является нормальной
подгруппой группы Aut A, если подгруппа B характеристична в A.
8.41. Пусть A = B 0 C, где B — вполне инвариантная подгруппа абелевой группы A. Покажите, что Aut A —
полупрямое произведение стабилизатора S = Hom(C, B) цепочки 0 С B С A и подгруппы Aut B х Aut C.
8.42. Пусть A — абелева группа со свойством A = 2A. А £ — такой ее автоморфизм, что £2 = 1, т.е. £ — инволюция
группы Aut A. Обозначим A+ = {a € A \ £a = a} и A_ = {a € A \ £a = —a}. Покажите, что A = A+ 0 A_ , т.е. такие
автоморфизмы £ = ±1 дают нетривиальные прямые разложения группы A. Найдите ассоциированные с таким
разложением проекции группы A.
8.43. Пусть A — абелева группа. Группа Aut A конечна тогда и только тогда, когда A = t(A) 0 B, где группы
t(A), Aut B и Hom(B, t(A)) конечны.
8.44. Пусть A — абелева группа, не являющаяся 2-группой. Покажите, что если группа Aut A конечна, то порядок
ее центра — ненулевое четное число. Выведите отсюда, что конечные простые группы, группы Sn и An при п ^ 3
не могут служить группами автоморфизмов абелевых групп.
8.45. Пусть A = 0 Ai — абелева группа. Группа Aut A коммутативна тогда и только тогда, когда каждая Aut Ai
i^I
коммутативна и Hom (Ai, A^) = 0 при i = j.
8.46. Пусть A — абелева группа без кручения. Тогда если Aut A — периодическая группа, то:
а) кольцо эндоморфизмов End A группы A не содержит ненулевых нильпотентных элементов;
б) всякая инволюция a € Aut A лежит в центре этой группы.
8.47. Для любой абелевой группы A и для произвольного натурального числа п всякий автоморфизм группы nA
индуцируется некоторым автоморфизмом группы A.
8.48. Пусть A — абелева группа без кручения и B — квазиравная ей подгруппа, nA С B С A. Докажите, что
автоморфизм (эндоморфизм) ф группы B продолжается до автоморфизма (эндоморфизма) группы A, если и только
если для любого элемента a € A из na = b € B следует разрешимость в группе A уравнения nx = фЬ.
8.49. 1) Если группа автоморфизмов A некоторой х-группы P стабилизирует цепь P D Pi D . . . D Pn = e, то A
является х-группой.
2) Если A — такая х’-группа автоморфизмов некоторой х-группы P, что [P, A, A] = e, то [P, A] = e, а потому
A = 1.
8.50. Любая конечная p-группа P содержит такую характеристическую подгруппу C, что:
а) clC ^ 2 и C/Z(C) — элементарная группа;
б) [P, C] С Z(C);
в) Cp(C) = Z(C);
г) любой неединичный автоморфизм a взаимно простого с p порядка действует на C нетривиально.
8.51. Пусть P — конечная p-группа, A — p’-подгруппа из Aut P. Тогда:

52 Автоморфизмы и эндоморфизмы.

а) A изоморфна подгруппе группы Aut(P^(P));

б) P = [P, A] Cp(A) и [P, A] = [[P, A], A];
в) если P — коммутативная группа, то P = [P, A] х Cp (A).
8.52. Покажите, что Hol G = G х G, если группа G совершенна.
8.53. Следующие условия для группы G равносильны:
а) G — совершенная группа;
б) всякий раз, когда G — нормальная подгруппа группы A, выполняется A = G х Ca(G).
8.54. Пусть P — конечная p-группа. Тогда если a — ее p’-автоморфизм, централизующий Qi(P), то a = 1, за
исключением случая, когда P — некоммутативная 2-группа. Если [a, ^(P)] = e, то a = 1 во всех случаях.

53 Автоморфизмы и эндоморфизмы.