Гомоморфизмы. Факторгруппы

35 Гомоморфизмы. Факторгруппы.

Теорема 5.2 (первая теорема об изоморфизме). Пусть G — группа, H и K — ее подгруппы, причем K< G. Тогда
HK = KH — подгруппа в G, содержащая K. Далее, H П K < H, а отображение <р: hK ^ h(H П K) является
изоморфизмом групп: (HK)/K = H/(H П K).
Сформулируем лишь облегченный вариант второй теоремы об изоморфизме, носящий специальное название.
Теорема 5.3 (теорема о соответствии). Пусть G — группа, H и K — ее подгруппы, причем K < G и K С H.
Тогда H = H/K — подгруппа в G = G/K и п*: H ^ H является биекцией множества Q (G, K) подгрупп в G,
содержащих K, на множество Q(G) всех подгрупп группы G. Если H Е Q (G, K), то H < G тогда и только
тогда, когда H < G, причем G/H = G/H = (G/K)/(H/K).
Доказано, что всякая группа без кручения может быть вложена в группу без кручения с двумя классами сопряженных
элементов. Для любого натурального числа n ^ 2 и любой бесконечной мощности m существует группа
мощности m, состоящая ровно из n классов сопряженных элементов.
Неединичная группа называется простой, если она не имеет нетривиальных нормальных подгрупп. Все группы
An при n ^ 5 являются простыми. Доказано, что всякая простая группа нечетного порядка является циклической
из р элементов для некоторого простого числа р. В конце 1980 г. ведущими специалистами было заявлено о завершении
классификации конечных простых групп (см. [13]). С помощью этих результатов было доказано, что если в
конечной группе сопряжены любые два элемента одного порядка, то порядок группы ^ 6 . Для бесконечных простых
групп отметим, что доказано существование таких групп любой бесконечной мощности m, причем множество
неизоморфных простых групп мощности m имеет мощность 2т. Для всякой бесконечной мощности m существует
такая простая группа мощности 2т, в которую изоморфно вкладывается любая группа мощности m. Всякую
периодическую группу можно вложить в некоторую простую периодическую группу. Доказано, что существуют
простые доупорядочиваемые (см. 9.42) группы.

Задачи.

5.1. Подгруппа H группы G нормальна, если:
а) G — коммутативная группа, H — любая ее подгруппа;
5.2. 1) Каждая нормальная подгруппа группы G является объединением некоторого семейства сопряженных классов
группы G.
2) Объединение всех конечных классов сопряженных элементов группы является ее нормальной подгруппой.
5.3. Для группы G и ее подгруппы H следующие условия равносильны:
а) H — нормальная подгруппа в G;
б) для любых a, b Е G из условия ab Е H следует, что a2 b2 Е H;
5.4. Пусть в группе элемент a сопряжен с b, а элемент c сопряжен с d. Будет ли ac сопряжен с bd?
5.5. В периодической группе никакая подгруппа не может быть сопряжена со своей собственной подгруппой.
5.6. Укажите все пары (m, n) целых чисел, при которых отображение x ^ mxn является эндоморфизмом группы
5.7. Пусть G — множество всевозможных троек чисел вида (n, m, s), где £ = ±1. В G определена операция по
нормальная подгруппа в H1 . Будет ли H2 нормальной подгруппой для G?
5.8. Если произведение двух любых левых смежных классов группы G по подгруппе H снова является левым
смежным классом, то H — нормальная подгруппа в G.
б) G = GL(n, R), H = SL(n, R);
в) G = Sn, H = An.
в) HG С H.
Q*.
5.9. Будет ли нормальной подгруппой в группе SL(2, Z) подмножество матриц вида
а b, c — четные числа?

36 Гомоморфизмы. Факторгруппы.

5.10. Любая подгруппа индекса 2 нормальна.

5.11. 1) Если K, H — подгруппы группы G, причем K < G и K С H, то K < H.
2) Покажите, что V4 является нормальной подгруппой в S4. Однако нормальная подгруппа K = {(12)(34)) группы
V4 не является нормальной в S4 .
5.12. Пусть A,B < G и A П B = е. Тогда ab = ba для любых a Е A, b Е B.
5.13. Приведите примеры:
а) неизоморфных групп с изоморфными нормальными подгруппами и изоморфными факторами по ним;
б) группы с изоморфными нормальными подгруппами, факторгруппы по которым не изоморфны;
в) группы с неизоморфными нормальными подгруппами, факторгруппы по которым изоморфны.
линейных функций. Ядро этого отображения совпадает с центром {±е} группы SL(2, Z), где е — единичная мат-
5.15. Ядро любого гомоморфизма группы C* в группу R является бесконечным.
5.16. Если а Е G, то отображение G Э x — a-1xa является автоморфизмом группы G, он называется внутренним
автоморфизмом группы G, производимым элементом a. Множество всех внутренних автоморфизмов Inn G является
нормальной подгруппой в группе Aut G.
5.17. Для каких групп G отображение f: G — G, определенное правилом: f (x) = xn, n Е Z, является эндоморфизмом?
При каком условии оно будет автоморфизмом?
5.18. Какие из отображений f: C* — R*, f (z) = \z\n, n Е Z, являются гомоморфизмами?
5.19. Если группа G гомоморфно отображается на группу H и a — h, то: о (a) делится на o(h), причем в случае
конечности групп порядок группы G делится на порядок группы H.
5.20. Группа H является гомоморфным образом конечной циклической группы G тогда и только тогда, когда H
также циклическая, и ее порядок делит порядок группы G. Найдите все гомоморфные отображения:
5.21. 1) Отображение 2k • m — к, где {к, m, п} С Z и m, n нечетные, есть гомоморфизм группы Q* на группу Z.
2) Какая из групп Q, Z, R* и Q* может быть гомоморфно отображена на конечную неединичную группу?
5.22. Группы R и Q нельзя гомоморфно отобразить на группу Z.
5.23. Найдите факторгруппы: Z/nZ, 4Z/12Z, R*/R+.
5.24. Докажите,что:
а) GL(n, R)/SL(n, R) = R*; б) GL(n, C)/SL(n, C) = C*;
в) GL(n,R)/H = Z2 , где H= {A Е GL(n,R) \ det A> 0};
г) GL(n, R)/N = R+, где N = {A Е GL(n, R) \ det A = ±1}.
5.25. Докажите, что:
5.27. Если A и B — конечные группы взаимно простых порядков и <р: A B — гомоморфизм, то Ker <р = A.
5.28. Эпиморфный образ нормальной подгруппы — нормальная подгруппа.
5.29. Если H — такая подгруппа группы G, что ^(H) С H для каждого <р Е Aut G, то H — нормальная подгруппа

37 Гомоморфизмы. Факторгруппы.

5.30. Пересечение любого семейства, произведение конечного числа, а также подгруппа, порожденная любым семейством,
нормальных подгрупп является нормальной подгруппой.
5.31. Если H < G и (G : H) = n, то H содержит все элементы из G, порядки которых взаимно просты с n.
5.32. Пусть H — множество всех чисел из C*, лежащих на вещественных и мнимых осях. Тогда H — подгруппа
группы C* и C*/H = U, где U — мультипликативная группа всех комплексных чисел с модулем 1.
5.33. Докажите, что Q(p)/Z = Q/Qp = Zp«.
5.34. Каковы конечные группы, имеющие только два класса сопряженных элементов?
5.35. Если H — максимальная нормальная подгруппа в конечной группе G, то (G : H) — простое число.
5.36. 1) Четверная группа V4 служит нормальной подгруппой в A4 . Следовательно, A4 не является простой группой.
2) S4 /V4 = S3 .
3) В группе кватернионов Qs (а также в Z2 х Qs) любая подгруппа является нормальной.
5.37. Опишите конечные группы, все собственные подгруппы которых имеют простые порядки.
5.38. Пусть N и K — нормальные подгруппы группы G со свойством N П K = е. Тогда если:
а) группы G/N и G/K коммутативны, то и G коммутативна;
б) G/N и G/K — п-группы, где п — некоторое множество простых чисел, то и G — п-группа.
5.39. Если (G : H) = к, то подгруппа H содержит нормальную в G подгруппу, индекс которой в G делит к!.
5.40. Подгруппа, индекс которой является наименьшим простым делителем порядка группы, нормальна.
Подмножество H группы G называется нормальным, если gH = Hg для всех g Е G.
5.41. Нормальность подмножества H группы G равносильна как равенству Ng(H) = G, так и такому условию,
что H есть объединение некоторого семейства классов сопряженных элементов группы G.
Если в группе G все классы сопряженных элементов конечны, то говорят, что G — группа с конечными классами,
такие группы называют еще FC-группами.
5.42. 1) Если в группе G дано конечное нормальное подмножество M, состоящее из элементов конечного порядка,
то подгруппа, порожденная этим подмножеством, будет конечной.
2) Периодическая группа является FC-группой тогда и только тогда, когда она — локально нормальная.
3) Периодическая часть t(G) FC-группы G является вполне инвариантной подгруппой в G, причем t(G) конечна,
если группа G конечно порожденная.
4) Если G — FC-группа, то факторгруппа G/t(G) коммутативна.
5) Группа без кручения является FC-группой тогда и только тогда, когда она коммутативна.
Пусть G — группа с порождающим множеством X. Говорят, что G порождается множеством X свободно или
что G есть свободная группа со свободным порождающим множеством X, если G обладает следующим «свойством
универсальности»: каждая функция из X в произвольную группу H единственным образом продолжается до
гомоморфизма G — H. Мощность множества X называется рангом этой свободной группы G (ранг определяется
однозначно), группа G часто обозначается через F(X). Всякая подгруппа свободной группы сама свободна.
5.43. 1) Если \X\ = 1, то F(X) = Z, а если \X\ > 1, то группа F(X) некоммутативна.
2) В свободной группе ранга n ^ 2 существуют подгруппы (все они свободные) любого конечного ранга.
3) Любая группа, обладающая порождающим множеством мощности m, является гомоморфным образом свободной
группы ранга m.

38 Гомоморфизмы. Факторгруппы.