Группы без кручения

136 Группы без кручения. 

а) A 0 B — группа без кручения ранга 1, причем t(A 0 B) = t(A) t(B);
б) если t(A) ^ t(B), то Hom (A, B) = 0, если же t(A) ^ t(B), то Hom (A, B) — группа без кручения ранга 1 и
имеет тип t (B) : t(A).
Группа без кручения называется вполне разложимой, если она является прямой суммой групп ранга 1.
Теорема 24.3. Любые два разложения вполне разложимой группы в прямую сумму групп ранга 1 изоморфны
(изоморфизм разложений определен перед 19.48).
Теорема 24.4. Пусть A — вполне разложимая однородная группа типа t. Если подгруппа C группы A является
однородной группой типа t (в частности, чистой в A), то C — вполне разложимая группа.
Теорема 24.5. 1) Прямые слагаемые вполне разложимых групп без кручения вполне разложимы.
2) Всякая чистая подгруппа однородной вполне разложимой группы конечного ранга является в группе прямым
слагаемым.
3) Счетная сепарабельная группа без кручения вполне разложима.
Теорема 24.6. Прямые слагаемые сепарабельных групп без кручения сепарабельны.
Пусть Р — прямое произведение счетного числа бесконечных циклических групп, P = (вп) и S = (Б (вп).
Группа без кручения G называется узкой, если при любом гомоморфизме п: P — G для почти всех n выполнено
равенство п вп =0.
Для множества индексов I мощности обозначим через Ра и Sa прямое произведение и прямую сумму соответственно
некоторых групп без кручения Ai, где i Е I.
Напомним, что кардинальное число m называется измеримым, если множество X мощности m допускает счетно
аддитивную меру л, принимающую лишь два значения 0 и 1 и такую, что л(Х) = 1, л(х) = 0 для всех х Е X. Если
кардинальное число неизмеримо, то все кардинальные числа, меньшие, чем оно, также неизмеримы. Таким образом,
если измеримые кардиналы вообще существуют, то среди них есть наименьшее и все большие его измеримы.
Теорема 24.7. Пусть дан гомоморфизм п: Ра — G, где G — узкая группа. Тогда:
1) равенство п Ai =0 имеет место для почти всех i;
2) если — неизмеримый кардинал и пSа =0, то п = 0.
Теорема 24.8. Группа без кручения узка в том и только в том случае, когда она не содержит никакой подгруппы,
изоморфной одной из групп Q, Р или Zp, где р — произвольное простое число.
Теорема 24.9. Счетная однородная группа без кручения A вполне разложима в том и только в том случае,
когда каждая подгруппа C С A, имеющая конечный ранг и являющаяся прямой суммой чистых подгрупп ранга
1, имеет конечный индекс в своей чистой оболочке (C)*.
Если A — группа без кручения, t — некоторый тип, то множество A(t) = {а Е A | ^а) ^ t} является подгруппой в
A.
Пусть — кардинальное число. Группу называют №а-свободной, если все ее подгруппы мощности < свободны.
Группу G называют группой Уайтхеда или просто W-группой, если Ext (G, Z) = 0.
Теорема 24.10. Все W-группы узки, №i-свободны и сепарабельны.
Говорят, что группа без кручения G квазисодержится в группе без кручения B (G B), если nG С B для некоторого
натурального n; G квазиравна группе B (G & B), если G B и B G; G квазиизоморфна группе B
(G — ■ B), если существуют изоморфные группы G’ и B’ такие, что B’ & B и G’ & G. Под (конечным) квазиразложением
группы G понимается семейство ее подгрупп Gi (i = 1, . .. , n) со свойством G & 0 Gi, Gi называются ее
квазислагаемыми. Группа G называется сильно неразложимой, если она не имеет нетривиальных квазиразложений.
Вложим группу без кручения G в ее делимую оболочку V, группу V можно отождествить с тензорным произведением
V = G 0 Q (см. 22.54), V является векторным пространством над Q. Отождествим G с ее образом при
каноническом мономорфизме G — G 0 Q, х — х 0 1, х Е G. Положим Q End G = (End G) 0 Q, где End G — кольцо
эндоморфизмов группы G. Также отождествим End G с его образом при вложении End G — (End G) 0 Q. Пространство
V естественным образом превращается в Q End G-модуль. Кольцо Q End G называется кольцом (или алгеброй)
квазиэндоморфизмов группы G.
Различные разложения группы без кручения даже конечного ранга в прямую сумму неразложимых групп могут
быть неизоморфными. Более того, для любых натуральных чисел n > k > 1 можно найти такую группу без
кручения G ранга n, что для всякого разбиения числа n на k слагаемых n = ri +… + r^, где все ri ^ 1, существует
прямое разложение G = Gi 0 … 0 Gk на неразложимые группы Gi ранга ri. Замена изоморфизма на более слабое
понятие квазиизоморфизма приводит к теореме единственности в несколько ослабленном смысле.

137 Группы без кручения. 

Теорема 24.11. Пусть A — группа без кручения конечного ранга и A & Aj 0 … 0 Am ~ Cj 0 … 0 Cn, где все
группы Ai и Cj сильно неразложимы. Тогда m = n и при подходящей перенумерации Ai ~ Ci для всех i.
Задачи
24.1. Пусть A — группа без кручения. Покажите, что:
а) Хс (x) ^ Xa(x) для всех элементов x подгруппы C С A;
б) если x(a) = (kj, k2, …), то x(pna) = (kb … , kn-j, kn + 1, kn+ь …) (здесь то + 1 = то);
в) всякая последовательность (kj, k2, . . . ) неотрицательных целых чисел и символов то является характеристикой,
а именно характеристикой элемента 1 в подгруппе группы Q, порожденной всеми элементами вида p—ln,
где ln ^ kn при всех n;
г) x(b + c) ^ x(b) П x(c) для всех b, c € A, а если A = B 0 C и b € B, c € C, то x(b + c) = x(b) П x(c);
д) если B — группа без кручения, то XA(a) ^ Xs(aa) для всякого гомоморфизма a: A — B и произвольного
a € A.
24.2. Пусть A — группа без кручения. Тогда A (t) — ее чистая вполне инвариантная подгруппа, а если C С A —
чистая подгруппа, то подгруппа C(t) также чиста в A.
24.3. Пусть A и B — группы без кручения ранга 1. Группа B изоморфна некоторой подгруппе группы A в том и
только в том случае, когда t(B) ^ t(A).
24.4. Попарно неизоморфные подгруппы данной группы без кручения ранга 1 образуют либо конечное, либо континуальное
семейство.
24.5. Вполне разложимая группа без кручения A = 0 Ai, где r(Ai) = 1, имеет коммутативную группу автомор-
iei
физмов тогда и только тогда, когда типы групп Ai попарно несравнимы.
24.6. Опишите все группы A без кручения ранга 1, группы автоморфизмов которых изоморфны Z2.
24.7. Если группа без кручения A имеет конечный ранг, то множество T(A) типов всех ее ненулевых элементов
удовлетворяет условию максимальности и условию минимальности.
Приведите примеры групп без кручения A конечного ранга, множество T(A) которых бесконечно.
24.8. Множество неизоморфных групп без кручения конечного ранга имеет мощность континуума.
24.9. 1) Группа сепарабельна в точности тогда, когда ее редуцированная часть сепарабельна.
2) Прямые суммы сепарабельных групп сепарабельны.
3) Всякая вполне инвариантная подгруппа сепарабельной группы является сепарабельной.
4) Если C — вполне инвариантная чистая подгруппа сепарабельной группы без кручения A, то группа A/C сепарабельна.
24.10. Счетная сепарабельная группа без кручения вполне разложима.
24.11. 1) Однородная группа сепарабельна тогда и только тогда, когда каждая ее чистая подгруппа конечного
ранга является для группы прямым слагаемым.
2) Чистые подгруппы однородных сепарабельных групп сепарабельны.
24.12. Каждая чистая подгруппа конечного ранга группы без кручения A служит для A прямым слагаемым тогда
и только тогда, когда редуцированная часть группы A является однородной сепарабельной группой.
24.13. Тензорное произведение двух сепарабельных групп без кручения также сепарабельно.
24.14. p-чистые подгруппы группы Zp неразложимы.
24.15. Группу без кручения называют связной, если все ее факторгруппы по ненулевым чистым подгруппам делимы.
Покажите, что:
а) чистые подгруппы группы Zp связны;
б) группа A связна в том и только в том случае, когда для любого простого числа p группа A либо p-делима,
либо изоморфна некоторой p-чистой подгруппе группы Zp.
24.16. Для групп B и G без кручения проверьте, что:
а) B ~ G в точности тогда, когда существуют подгруппы B’ в B, G’ в G и числа m,n € N такие, что mB С B’,
nG С G и B’ = G’;

138 Группы без кручения.

б) если B и G имеют конечные ранги, то наличие квазиизоморфизма B — G равносильно тому, что B изоморфна
некоторой подгруппе конечного индекса группы G.
Введем категорию квазигомоморфизмов QTF. Объекты в QTF — группы без кручения, множество морфизмов из
группы A в группу B есть Hom(A,B) 0 Q.
24.17. Проверьте, что QTF действительно является категорией (см. также 25.19).
24.18. Пусть B и G — группы без кручения. Тогда если B & G, то Q End B = Q End G, если же B — G, то
d B = Q End G.
24.19. Пусть G — группа без кручения, Q End G = 0 ei (Q End G) — разложение кольца Q End G в прямую сумму
правых идеалов (ei, … ,вп — полная система ортогональных идемпотентов). Покажите, что G & 0 eiG. Кроме
того, Q End ei(G) = ei(Q End G)ei и eiG — сильно неразложимая группа тогда и только тогда, когда ei (Q End G) —
неразложимый Q End G-модуль. Если e и f — идемпотенты кольца Q End G, то eG — fG в точности тогда, когда
e(Q End G) и f (Q End G) изоморфны как Q End G-модули.
24.20. Соответствия H — H* (H* — подпространство, порожденное H в V, где V = G 0 Q), W — W П G являются
взаимно обратными между чистыми вполне инвариантными подгруппами группы G и подмодулями Q End G-модуля
V.
24.21. Пусть A — такая группа без кручения, что |A/рA | ^ р для каждого простого числа р. Тогда если группа
без кручения B квазиизоморфна A, то B = A.
24.22. Группа без кручения конечного ранга квазиразложима в прямую сумму сильно неразложимых подгрупп.
24.23. Пусть A — группа без кручения конечного ранга. Тогда ее подгруппа, изоморфная A, имеет конечный
индекс.
24.24. Кольцо квазиэндоморфизмов группы без кручения A конечного ранга локально в том и только в том случае,
когда A — сильно неразложимая группа.
24.25. Редуцированный конечно или счетно порожденный Zp-модуль без кручения свободен.
24.26. 1) Группа без кручения G узка в том и только в том случае, когда для любого гомоморфизма п: П (eп) — G
группа Im п является конечно порожденной.
2) Группа без кручения G узка, если чистая подгруппа H, а также факторгруппа G/H узки.
24.27. Пусть G — узкая группа, Ai (i Е I) — группы без кручения и множество I неизмеримо. Тогда существует
естественный изоморфизм Hom(f} Ai, G) = 0 Hom(Ai, G).
iei iei
24.28. Пусть Ai (i Е I) — группы без кручения и множество I неизмеримо. Всякое узкое слагаемое группы Ai
iei
изоморфно некоторому слагаемому прямой суммы конечного числа групп Ai.
24.29. Векторная группа вполне разложима тогда и только тогда, когда почти все ее множители изоморфны группе
Q.
Группа G без кручения конечного ранга называется почти вполне разложимой, если G содержит вполне разложимую
подгруппу конечного индекса. Почти вполне разложимым группам посвящена книга [63].
24.30. 1) Зафиксируем три различных простых числа р1,рч,д. В векторном Q-пространстве Qa 0 Qb с базисом
а, b возьмем вполне разложимую подгруппу A = Q^1^ 0 Q(p2)b. Пусть G — подгруппа в Qa 0 Qb, порожденная
подгруппой A и элементом д-1(а + b), G = (A,д-1(а + b)). Тогда G — неразложимая почти вполне разложимая
группа и G/A = Zq.
2) Для любого n > 2 постройте неразложимую почти вполне разложимую группу ранга n.
24.31. 1) Свободные группы являются W-группами.
2) Подгруппы W-групп являются W-группами.
3) Прямые суммы W-групп являются W-группами.
4) W-группы являются группами без кручения.
5) W-группа конечного ранга свободна.
24.32. 1) Всякая однородная сепарабельная группа без кручения вполне транзитивна.
2) Если A — однородная вполне транзитивная группа, то всякая ее вполне инвариантная подгруппа имеет вид
A (х) = {а Е A | х(а) х}, где х — некоторая характеристика.
3) Если всякая вполне инвариантная подгруппа группы A имеет вид A^), где х — некоторая характеристика, то
A вполне транзитивна.
4) Алгебраически компактные группы без кручения вполне транзитивны.

139 Группы без кручения.

Пусть Rp — класс групп без кручения без ненулевых элементов бесконечной p-высоты. Если a € A € Rp и £ € Zp, то
через £ a обозначим элемент группы A, являющийся пределом в p-адической топологии последовательности Sn(£) a,
где Sn(£) = ro +rjp+ … + rnpn — n-я частичная сумма числа £ = ro + rjp+… + rnpn + … . Таким образом, на группе
A введена внешняя частичная операция умножения на целые p-адические числа. Множество HpA(a) = {£ € Zp \ £a
определено} называется p-характеристикой элемента a в группе A € Rp. Группа A € Rp называется p-циклической,
а элемент a € A — ее p-образующим, если для любого b € A существует £ € Zp со свойством b = £ a.
24.33. Для каждой группы A € Rp справедливо:
а) если a € A и £, п € HA(a), то £ ± п € HA(a) и £a ± п a =(£ ± n)a;
б) если a, b € A и £ € HA(a) П HB (b), то £ € HA (a ± b) и £a ± £b = £(a ± b);
в) если 0 = a € A, £, п € HA (a) и £a = na, то £ = п;
г) если a € A, то HA (a) является p-чистой подгруппой группы Zp, содержащей группу целых чисел.
24.34. Если A — p-чистая подгруппа группы Zp, содержащая группу целых чисел, то группа A является p-
циклической, целое число 1 будет ее p-образующим и HA(1) = A.
24.35. Для группы A € R эквивалентны следующие условия:
а) A — p-циклическая группа;
б) |A/pA| = p;
в) A — ненулевая p-чистая подгруппа группы Zp.
Две p-характеристики Hj, H2 называются эквивалентными, если существуют числа n,m € N со свойствами nHj С
H2, mH2 С Hj. Класс эквивалентности называется p-типом. На множестве p-типов можно ввести отношение
порядка ^: Tj ^ Т2 означает, что для p-характеристик Hj € Tj, H2 € Т2 найдется натуральное n со свойством
nHj С H2.
Группа A € Rp называется: p-вполне транзитивной, если для любых a, b € A таких, что h^(a) ^ h^(b) и HA(a) С
H A(b) найдется ф € EndA со свойством фa = b; p-однородной, если p-типы любых двух ее ненулевых элементов
совпадают.
24.36. 1) Всякая p-однородная группа является однородной.
2) Две связные группы из класса R изоморфны тогда и только тогда, когда они содержат по ненулевому элементу
одинакового p-типа.
3) Если A — p-вполне транзитивная группа такая, что все ее ненулевые эндоморфизмы являются мономорфизмами,
0 = a € A, то (End A)+ = A (H^a)).
4) Вполне транзитивная группа из класса Rp является p-вполне транзитивной.
5) Если однородная группа A p-вполне транзитивна для всякого p € n(A), то A является вполне транзитивной.

140 Группы без кручения.