р-группы

133 р-группы.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ОСНОВАМ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ

Произвольная группа называется сепарабельной, если любую ее конечную систему элементов можно вложить в
прямое слагаемое группы A, являющееся прямой суммой групп ранга 1. Все делимые группы сепарабельны. Редуцированная
p-группа сепарабельна тогда и только тогда, когда она не содержит ненулевых элементов бесконечной
высоты, такие группы хаусдорфовы в своей p-адической топологии. Все p-группы будут считаться снабженными
p-адической топологией.
Пусть A — редуцированная p-группа и a € A — элемент порядка pn. Возрастающая последовательность (1)
H (a) = (h* (a), h* (pa), … ,h* (pna) = то)
порядковых чисел и символов то называется индикатором элемента a. Здесь h* обозначает обобщенную высоту,
т.е. h*(a) = а, если a € paA \ pa+jA, и h*(0) = то (а < то для любого порядкового числа а). Подгруппа p°’A для
порядкового числа а определяется так: p0A = A, pa+jA = p(p<7A) и p°’A = f] paA, если а — предельное порядковое
число. Часто бывает удобно бесконечно продолжить последовательность (1), добавив к ней символы то:
H(a) = (h* (a), h* (pa),… ,h* (pna) = то, то,…).
На множестве индикаторов можно ввести частичный порядок: H(a) ^ H(b), если h*(pia) ^ h*(pib) при i =
0, 1, 2, … . Если h*(pia) + 1 < h* (pi+ja), то говорят, что индикатор элемента a имеет скачок между h*(pla) и
h* (pi+ja).
Редуцированная p-группа A называется вполне транзитивной, если для любых элементов a,b € A со свойством
H(a) ^ H(b) существует такой ее эндоморфизм f, что fa = b. Сепарабельные p-группы вполне транзитивны.
Если и = (ао, аl, … , ап, …) — возрастающая последовательность порядковых чисел и символов то, то с этой
последовательностью свяжем вполне инвариантную подгруппу A(u) = {a € A \ H(a) ^ и} группы A. Говорят, что
последовательность и удовлетворяет условию на скачки, если между ап и an+l скачок может встретиться только
тогда, когда в группе A имеется элемент порядка p и высоты ап.
Теорема 23.1. Пусть A — вполне транзитивная p-группа. Ее подгруппа является вполне инвариантной тогда
и только тогда, когда она имеет вид A(u), где последовательность и удовлетворяет условию на скачки. Всякая
вполне инвариантная подгруппа представляется в указанном виде единственным образом.
Вполне инвариантная подгруппа G произвольной p-группы A называется широкой, если G + B = A для любой
базисной подгруппы B группы A.
Говорят, что подгруппа G p-группы A удовлетворяет условию Пирса, если для любого неотрицательного числа к
существует такое число n ^ 0, что pnA [pk] С G.
Теорема 23.2. Для вполне инвариантной подгруппы G редуцированной p-группы A эквивалентны условия:
1) G — широкая подгруппа группы A;
2) G = A(u), где в последовательности и символ то не встречается, если группа A не является ограниченной;
3) для подгруппы G выполнено условие Пирса.
Периодически полной p-группой называется периодическая часть p-адического пополнения B прямой суммы B
циклических p-групп. Эта группа однозначно определяется группой B, поэтому ее обозначают B = t(B), она
имеет вид B для любой из своих базисных подгрупп B. Если B =0 Bn, где Bn = 0 Zpn, то B С B С ^Bn.
n=! mn n
Если B — базисная подгруппа p-группы A, то существует гомоморфизм группы A на чистую подгруппу группы
B, содержащую B, ядро гомоморфизма совпадает с A1. Для неограниченной группы B справедливо равенство
\B\ = \B\^0.
Далее в этом параграфе через B обозначено периодическое пополнение некоторой прямой суммы B циклических
p-групп (p — фиксированное простое число).
Периодически полные группы играют фундаментальную роль в теории p-групп. Они имеют различные характеризации.
Теорема 23.3. Для редуцированной p-группы A эквивалентны условия:
1) A — периодически полная группа;
2) A — периодическая часть алгебраически компактной группы;
3) группа A чисто инъективна в классе p-групп, т.е. A инъективна относительно всех чисто точных последовательностей
p-групп;
4) A служит прямым слагаемым для всякой p-группы, в которой она содержится в качестве чистой подгруппы.
Теорема 23.4. Редуцированная p-группа A периодически полна тогда и только тогда, когда всякий изоморфизм
между ее базисными подгруппами продолжается до автоморфизма самой группы A.
Теорема 23.5. Пусть A — сепарабельная p-группа. В группе A всякая последовательность Коши, порядки

134 р-группы.

элементов которой ограничены в совокупности, сходится в р-адической топологии тогда и только тогда, когда
A — периодически полная группа.
Говорят, что группа A обладает свойством замены, если она удовлетворяет следующему условию (2): если M =
A 0 N = 0 Ci, то существуют такие подгруппы Ei групп Ci, что M = A 0 0 Ei. Если это свойство выполняется
iei iei
только для конечных систем индексов I, то говорят, что A обладает свойством конечной замены.
Периодически полные группы обладают свойством замены.
Подгруппа S цоколя A [р] р-группы A называется подцоколем группы A. Говорят, что подцоколь S служит носителем
подгруппы C группы A, если C [р] = S. Подцоколь S называется дискретным, если S П рnA = 0 при некотором
n, т.е. высоты элементов из S ограничены в совокупности.
Редуцированная периодическая группа A называется квазиполной, если замыкание G- в Z-адической топологии
группы A всякой ее чистой подгруппы G также чисто в A. р-группа A называется чисто полной, если всякий ее
подцоколь служит носителем чистой подгруппы группы A.
Периодически полные группы являются квазиполными. Квазиполные группы являются чисто полными.
Теорема 23.6. Сепарабельная р-группа A квазиполна тогда и только тогда, когда для любого недискретного
подцоколя S группы A имеет место равенство: A [р] + S- = B [р], где B — базисная подгруппа группы A
(замыкание рассматривается в р-адической топологии группы B).
Теорема 23.7. Редуцированная р-группа A периодически полна тогда и только тогда, когда для любой чистой
подгруппы G группы A подгруппа G- служит для A прямым слагаемым.

Задачи

23.1. Произвольная группа сепарабельна тогда и только тогда, когда ее редуцированная часть сепарабельна.
23.2. Чистая подгруппа плотна в р-группе A тогда и только тогда, когда ее цоколь плотен в A [р].
23.3. Чистая подгруппа G сепарабельной р-группы A является замкнутой тогда и только тогда, когда подгруппа
G [рп] замкнута в A [рп] при некотором n ^ 1.
23.4. Пусть A = B 0 C есть р-группа и G — такая ее чистая подгруппа, что G [р] = B [р]. Тогда A = G 0 C.
23.5. Пусть S — плотной подцоколь р-группы A. Существует подгруппа C группы A, максимальная относительно
свойства C [р] = S. Подгруппа C чиста и плотна в A.
23.6. Если всякий замкнутый подцоколь — носитель чистой подгруппы, то это верно для любого подцоколя.
23.7. Прямая сумма циклических и квазициклических р-групп является чисто полной.
23.8. 1) Если цоколи двух чистых подгрупп некоторой р-группы совпадают, то эти подгруппы имеют изоморфные
базисные подгруппы.
2) В прямой сумме циклических р-групп любые две чистые подгруппы с одинаковыми цоколями изоморфны.
23.9. 1) 0 является широкой подгруппой тогда и только тогда, когда группа A ограниченная.
2) Всякая вполне инвариантная подгруппа ограниченной группы является широкой.
3) рnA при любом n — широкая подгруппа группы A.
4) Если G — широкая подгруппа группы A, то рnG при любом n — также широкая подгруппа.
5) A1 содержится во всякой широкой подгруппе группы A.
23.10. Найдите вполне инвариантные, а также характеристические подгруппы делимой группы.
23.11. В р-группе A единственными чистыми вполне инвариантными подгруппами являются 0, A и делимая часть.
23.12. Вполне инвариантные подгруппы вполне транзитивной р-группы A образуют полную дистрибутивную под-
решетку в решетке всех подгрупп группы A.
23.13. Решетка широких подгрупп р-группы является дистрибутивной.
23.14. 1) В неограниченной сепарабельной р-группе вполне инвариантная подгруппа является широкой тогда и
только тогда, когда она неограниченная.
2) Если B — базисная подгруппа р-группы A, отличная от A, а G — вполне инвариантная подгруппа в A со
свойством G + B = A, то G — широкая подгруппа группы A.
23.15. Гомоморфизм ф: A — C р-групп является малым тогда и только тогда, когда Ker ф содержит широкую
подгруппу группы A (малые гомоморфизмы определены перед 21.28).
23.16. 1) Периодически полные р-группы B и B’ изоморфны тогда и только тогда, когда их базисные подгруппы
B и B’ изоморфны.
2) B = B тогда и только тогда, когда группа B ограниченная.

135 р-группы.

3) B 0 B’ = B 0 B’.
23.17. Редуцированная p-группа A периодически полна тогда и только тогда, когда Pext (Zp^, A) = 0.
23.18. Если G — такая подгруппа периодически полной p-группы A, что A/G — редуцированная группа, то G
сама является периодически полной группой.
23.19. 1) Если G — чистая подгруппа периодически полной p-группы A, то A/G — прямая сумма делимой группы
и периодически полной группы.
2) В периодически полной p-группе замыкание чистой подгруппы служит прямым слагаемым (см. теорему 23.7).
23.20. 1) Широкие подгруппы периодически полных p-групп являются периодически полными.
2) Если G — периодически полная подгруппа p-группы A и A/G — ограниченная группа, то A — периодически
полная группа.
p-группа A называется тонкой, если всякий гомоморфизм периодически полной p-группы в группу A является
малым.
23.21. 1) Класс тонких групп замкнут относительно подгрупп, прямых сумм и расширений.
2) Все счетные редуцированные p-группы являются тонкими.
3) Всякий гомоморфизм B — B является малым.
23.22. 1) Группа A = G 0 C обладает свойством замены тогда и только тогда, когда этим свойством обладают G
и C.
2) Если группа A обладает свойством замены для всех таких групп M из условия (2) (см. определение), что группы
Ci изоморфны подгруппам группы A, то A обладает свойством замены.
3) Никакая неограниченная p-группа, являющаяся прямой суммой циклических групп, не обладает свойством замены.
4) p-группа, являющаяся бесконечной прямой суммой неограниченных периодически полных групп, не обладает
свойством замены.
23.23. Если группа A обладает свойством замены для всех таких множеств индексов I, что \I \ < \A | , то A обладает
свойством замены.
23.24. Для неразложимой группы свойство конечной замены влечет за собой свойство замены.
23.25. Группа Qp обладает свойством замены.
23.26. Для квазиполноты сепарабельной p-группы A необходимо и достаточно, чтобы факторгруппа A/G при любой
неограниченной чистой подгруппе G С A была прямой суммой делимой группы и периодически полной группы.
23.27. Если A — квазиполная, но не периодически полная p-группа, то в любом ее прямом разложении одно из
слагаемых является ограниченным.

136 р-группы.