Группы гомоморфизмов

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ОСНОВАМ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ

группой гомоморфизмов группы A в группу C и обозначается через Homz(A, C) или просто Hom (A, C).
Группа Hom (A, A) = End A называется группой эндоморфизмов группы A. Группу End A можно превратить в
кольцо (оно рассматривается в § 26, см. также 8.1).
В начале § 18 уже были определены категории и функторы. Сделаем небольшие добавления.
Пусть F и G — ковариантные функторы из категории E в категорию R. Естественным преобразованием Ф: F — G
называется функция, ставящая в соответствие каждому объекту A € E морфизм фА: F(A) — G(A) из R таким

123 Группы гомоморфизмов. 

образом, что для любого морфизма а: A — B категории E диаграмма (в R)
F (B)
i Pa i Pb
G(A) -—’ G(B)
коммутативна. В таком случае фа называется естественным морфизмом между F(A) и G(A). Если фа является
изоморфизмом для всякого A Е E, то Ф называется естественной эквивалентностью.
Ясно, что абелевы группы и их гомоморфизмы образуют категорию Ab всех абелевых групп, периодические абелевы
группы, группы без кручения и их гомоморфизмы также образуют категории.
Если F — ковариантный функтор из категории Ab в категорию Ab (вместо Ab можно брать ее подкатегории) и
0 — A —— B —— C — 0 — точная последовательность, то функтор F называется точным слева или справа, если
точна последовательность 0 — F(A) —— F(B) —— F(C) или последовательность F(A) —— F(B) —— F(C) — 0
соответственно. Функтор, точный справа и слева, называется точным.
Функтор F: Ab — Ab называется аддитивным, если F(а + в) = F(а) + F(в) для всех а, в Е Ab, для которых а + в
определено.
Пусть дана функция, ставящая в соответствие каждой группе A Е Ab такую ее подгруппу F(A), что если а: A —
B — гомоморфизм группы A в группу B, то аF(A) С F(B), т.е. ограничение а1 F(A) отображает F(A) в F(B).
Тогда если положить F(а) = аIF(A), то F будет функтором Ab — Ab (говорят еще, что F — предрадикал). F(A)
называют функторной подгруппой группы A.
Пусть теперь F* — соответствие, сопоставляющее каждой группе A Е Ab такую факторгруппу A/A*, что если
а: A — B — гомоморфизм, то a + A* — аа + B* — гомоморфизм группы A/A* в B/B*. Соответствие F*: Ab — Ab
обладает функторными свойствами, F*(A) = A/A* называют функторной факторгруппой группы A.
Если Fi и F2 — такие функторы Ab — Ab, что Fi(A) С F2(A) С A для любой группы A Е Ab, то пишут Fi ^ F2 и
называют Fi подфунктором функтора F2. Отношение ^ между функторами заданного типа определяет частичный
порядок в классе F этих функторов. В F отношение ^ на самом деле задает решеточный порядок. Если Fi, F2 Е F,
то отображения A — Fi(A) П F2(A) и A — Fi(A) + F2A) порождают подфункторы тождественного функтора,
представляющие собой inf(Fi, F2) и sup(Fi, F2). Эти подфункторы обозначают, соответственно, через Fi Л F2 и
21.1. Функтор GF ковариантен, если F и G одновременно ковариантны или контравариантны; и контравариантен,
если один из функторов F, G ковариантен, а второй контравариантен.
21.2. Дайте определение точного контравариантного функтора.
21.3. F(0) = 0 для аддитивного функтора F: Ab — Ab, где 0 обозначает нулевую группу или нулевой гомоморфизм.
Кроме того, F^а) = nF(а) для любого целого n.
21.4. Отображение T: Ab — B из категории Ab в категорию B всех периодических групп является функтором, где
T(A) для A Е Ab — периодическая часть t(A) группы A, а T(а) для а: A — B из Ab — ограничение а | t(A) : t(A) —
t(B). Подгруппа T(A) является функторной.
21.5. Если взять цоколь Soc A группы A, то так же, как в 21.4, получится функтор S: Ab — B.
21.6. Получится функтор Mn: Ab — Ab, если группе A поставить в соответствие ее подгруппу nA, где n —
натуральное число, а гомоморфизму а: A — B — индуцированный гомоморфизм а | nA: nA — nB.
21.7. Пусть E — категория групп без кручения. Отображение а*: а + t(A) — аа + t(B) не зависит от выбора
элемента a в определяемом им смежном классе по подгруппе t(A). Функтором из Ab в E является функция, ставящая
в соответствие группе A Е Ab факторгруппу A/t(A) и гомоморфизму а: A — B из Ab — индуцированный
гомоморфизм а*.
21.8. Пусть An — категория n-ограниченных групп, т.е. таких групп G, что nG = 0. Получается функтор, если
поставить в соответствие группе A подгруппу A [n], а гомоморфизму а: A — B — его ограничение а | A [n].
21.9. Получается функтор Ab — An, если положить A — A/nA для всех A Е Ab и а — а* для а: A — B из Ab,
где а* — индуцированный гомоморфизм а + nA — аа + nB.
21.10. 1) F(A) является функторной подгруппой группы A, если и только если A/F(A) есть функторная факторгруппа
группы A.
2) F(0 Ai) = 0 F(Ai) для подфунктора F тождественного функтора; кроме того, из C С A следует, что
Fi V F2.

124 Группы гомоморфизмов. 

21.11. Пусть А — класс групп X. С каждой группой A € Ab свяжем две подгруппы: Уд (A) = (~) Ker ф, где
ф: A — X € А, и Wa(A) = ^Imф, где ф: X — A (X € А). Покажите, что Уд и Wa, где класс А фиксирован,
ф
являются функторами из категории Ab в категорию Ab.
Найдите Уд(А) и Wa(A), если А состоит из следующих классов групп:
а) циклических групп порядка р, где р пробегает все простые числа;
б) всех конечных циклических групп;
в) одной фиксированной группы Zm;
г) одной группы Q.
21.12. Пусть А и О — два класса групп. Покажите, что:
а) если А С О, то Vq ^ Уд и Wa ^ Wq;
б) Vauq = Уд Л Vq и Wauq = Wa V Wq.
21.13. Докажите, что Hom (A, C) = 0 в следующих случаях:
а) A — периодическая группа, C — группа без кручения;
б) А является р-группой, а C является q-группой, где р, q — различные простые числа;
в) A — делимая группа, C — редуцированная группа;
г) A не содержит прямых слагаемых, изоморфных группе Z, а C = Z.
21.14. 1) Если C [п] = 0, то Hom (A, C) [п] = 0 для любой группы А.
2) Hom (A, C) — группа без кручения, если C — группа без кручения.
3) Hom (A, C) — делимая группа без кручения, если C — делимая группа без кручения.
4) Если пА = А для некоторого натурального числа п, то Hom (A, C) [п] = 0.
5) Если A — делимая группа, то Hom (A, C) — группа без кручения.
6) Если A — делимая группа без кручения, то Hom (A, C) — также делимая группа без кручения.
7) Если А — группа без кручения, C — делимая группа, то Hom (A, C) — делимая группа.
21.15. Опишите следующие группы:
а) Hom (Zp™, Zpn); б) Hom (A, Zm);
в) Hom (Q, C); г) Hom (Q/Z, Q/Z);
д) Hom (bp, Zp«^.
21.16. Приведите примеры групп без кручения A, C, для которых Hom (A, C) = 0 = Hom (C, А).
21.17. Существуют естественные изоморфизмы:
а) Hom (0 А;, C) = П Hom (A, C);
iei iei
б) Hom (А, П Ci) = П Hom (A, Ci).
iei iei
21.18. Если А = 0 Z 0 0 ( 0 ( 0 Zpk)), то Hom(A, C)=n C 0ПП П C [pk].
m p k=l mp,k m p k=l mP:k
21.19. 1) Если A — периодическая группа с p-компонентами Ap, а Cp — это p-компоненты группы C, то Hom (A, C) =
п Hom (Ap, Cp).
p
2) Для любой группы А имеет место изоморфизм Hom (A, Q) = П Q, где п = ro(A).
21.20. Пусть А и C — редуцированные алгебраически компактные группы, Ap и Cp — их р-адические компоненты
(см. 20.42). Имеет место изоморфизм Hom (A, C) = f^Hom(Ap, Cp).

125 Группы гомоморфизмов. 

21.21. 1) Если A — периодическая группа, то теоретико-множественное объединение U Im а, где а пробегает всю
группу Hom (A, C), является подгруппой группы C.
2) Утверждение 1) справедливо не всегда, если A — группа без кручения.
21.22. Индуцированные гомоморфизмы для Hom, введенные в начале § 15, можно объединить следующим образом.
Пусть а: A’ — A и y : C — C’ — фиксированные гомоморфизмы. Покажите, что соответствие п — ^Па есть гомоморфизм
группы Hom(A, C) в Hom(A’, C’), который обозначается через Нот(а, y) : Hom(A, C) — Hom(A’, C’).
Hom(1A, 1c) = 1ыош(А,C) и Hom(аа’, y’y) = Hom^’, y’) Hom(Q, y). Кроме того, Hom(Q, y) аддитивен по а и y.
Следовательно, Hom есть аддитивный бифунктор из категории Ab х Ab в категорию Ab, контравариантный по
первому и ковариантный по второму аргументу.
21.23. Обозначим, как в § 15, а* = Hom^, 1c) и y* = Hom(1A, y). Пусть (1): 0 — A —— B —— C — 0 — короткая
точная последовательность. Тогда для любой группы G точны индуцированные последовательности (см. 15.48):
(2) 0 — Hom(C, G) —— Hom(B, G) ^ Hom(A, G),
(3) 0 — Hom(G, A) ^ Hom(G, B) —— Hom(G, C).
Кроме того, для любой точной последовательности (1) последовательность (2) (соответственно, последовательность
(3)) с отображением — 0 в конце точна тогда и только тогда, когда G — делимая (соответственно, — свободная)
группа.
21.24. 1) Если последовательность (1) в 21.23 чисто точна, то последовательности (2) и (3) также чисто точны.
2) Если группа G фиксирована, то для любой чисто точной последовательности (1) последовательность (2) (последовательность
(3)) остается точной при добавлении в конце отображения — 0 тогда и только тогда, когда группа G
алгебраически компактна (является прямой суммой циклических групп); с этими утверждениями связаны теорема
в § 20 и упражнения 20.22, 20.24.
21.25. Для кардинального числа m найдите строение групп:
а) Hom (Q/Z, 0 Q/Z) и Hom(Q/Z, ПQ/Z);
б) Hom(0Q, 0Q) и Hom(0Zp, 0Zp).
21.26. Если группа A — периодическая, то Hom (A, G) — редуцированная алгебраически компактная группа для
любой группы G.
21.27. Пусть A, C — периодические группы, B — базисная подгруппа группы A, а C — редуцированная группа.
Не теряя общности, можно считать A и C p-группами. Покажите, что Hom (A, C) можно рассматривать как
подгруппу группы Hom(B, C). Кроме того, если C не имеет элементов бесконечной высоты, то Hom(B, C) =
Hom (A, C) 0 X, где X есть p-адическая алгебраически компактная группа без кручения.
Пусть A, C — p-группы. Гомоморфизм ф: A — C называется малым, если
(*) для любого к ^ 0 существует такое n, что при всяком а Е A из е(а) ^ к и Нр(а) ^ n следует фа = 0, т.е.
ф(pnA[pk]) = 0, где pnA[pk] = {x Е pnA | pkx = 0}.
21.28. 1) Малые гомоморфизмы полностью определяются своим действием на базисной подгруппе B группы A.
2) Малые гомоморфизмы группы A в C образуют подгруппу Small (A, C) группы Hom (A, C), причем факторгруппа
Hom (A, C)/Small (A, C) является p-адической алгебраически компактной группой без кручения. Все малые эндоморфизмы
группы A составляют идеал Small A кольца End A.
21.29. Пусть B = 0 {а^ — базисная подгруппа p-группы A, и пусть для элементов Ci Е C (i Е I) выполнено: а)
i^I
e(ci) ^ е(а^; б) для любого к ^ 0 существует такое n, что если e(ci) ^ n, то e(ci) ^ е(а^ — к. Тогда существует
однозначно определенный малый гомоморфизм ф группы A в группу C, при котором ф(а^ = c (i Е I).
21.30. Пусть G — чистая подгруппа p-группы A. Всякий малый гомоморфизм группы G в группу C можно продолжить
до гомоморфизма группы A в C.
Группа A называется самомалой, если образ всякого гомоморфизма ф: A — 0i^iAi, где все группы Ai = A, I —
произвольное индексное множество, содержится в сумме конечного числа некоторых слагаемых Ai.
21.31. 1) Конечно порожденная группа является самомалой, а квазициклическая группа Zp^ — нет.
2) Прямое слагаемое самомалой группы будет самомалой группой.
3) Самомалая группа не может разлагаться в прямую сумму бесконечного числа прямых слагаемых.

126 Группы гомоморфизмов.