Чистота и чистая инъективность

119 Чистота и чистая инъективность.

то тк
инвариантами группы A.
Системой уравнений над группой A называется совокупность уравнений nijXj = ai (ai € A, i € I), где nij € Z,
причем nij = 0 при каждом фиксированном i для почти всех j. Здесь {xj^jeJ — множество неизвестных, а I и J —
множества индексов произвольной мощности; {xj = bj | bj € A, j € J} называется решением вышеприведенной
системы, если ^jeJ nij bj = ai для каждого i € I, т.е. если каждое уравнение системы превращается в тождество
при замене xj элементами bj.
Группа A называется алгебраически компактной, если она служит прямым слагаемым всякой группы, содержащей
ее в качестве чистой подгруппы. Справедлива
Теорема 20.1. Следующие условия для группы A эквивалентны.
а) A чисто инъективна;
б) A алгебраически компактна;
в) A — прямое слагаемое прямого произведения коциклических групп;
г) A в алгебраическом смысле является прямым слагаемым группы, допускающей компактную топологию;
д) если всякая конечная подсистема системы уравнений над A имеет решение в A, то и вся система уравнений
разрешима в A.
Задачи
20.1. 1) Если G является р-чистой подгруппой группы A для каждого простого числа р, то G чиста в A.
2) р-чистая р-подгруппа всегда чиста.
3) Если A есть р-группа, G — ее чистая подгруппа и G [р] = A [р], то G = A.
20.2. 1) Если факторгруппа A/B является группой без кручения, то B — чистая подгруппа в A.
2) В группе без кручения пересечение любого семейства чистых подгрупп является чистой подгруппой.
3) Чистота является индуктивным свойством.
4) Если C — чистая подгруппа в чистой подгруппе B группы A, то C — чистая подгруппа в A.
5) Если подгруппа B чиста в A и C С B, то подгруппа B/C чиста в A/C.
6) Если подгруппа C чиста в A, C С B и подгруппа B/C чиста в A/C, то подгруппа B чиста в A.
7) Если G П Н и G + Н — чистые подгруппы группы A, то G и Н — также чистые подгруппы в A.
20.3. 1) Подгруппа Н группы без кручения G чиста в G тогда и только тогда, когда G/Н — группа без кручения.
2) Для всякой группы G факторгруппа G/t(G) является группой без кручения и, значит, подгруппа t(G) чиста в
G.
20.4. Для каких групп A каждая подгруппа чиста (есть прямое слагаемое) в A?
20.5. Всякую бесконечную подгруппу можно вложить в чистую подгруппу той же мощности, а всякую конечную
подгруппу — в конечную или счетную чистую подгруппу.
20.6. Пусть G — чистая подгруппа группы A. Тогда:
а) подгруппа G + t(A) чиста в A;
б) G1 = G П A1;
в) (G + Al)/Al — чистая подгруппа группы A/A1.
20.7. Пусть Н — Al-высокая подгруппа в A. Тогда Н является такой чистой подгруппой в A, что факторгруппа
A/Н делима и подгруппа (Н + A^/Н существенна в ней.
20.8. Пусть подгруппа B группы A является прямой суммой циклических групп одного и того же порядка рк.
Эквивалентны следующие утверждения:
а) B — чистая подгруппа группы A;
б) для B выполнено равенство B П pkA = 0;
в) B — прямое слагаемое группы A.

120 Чистота и чистая инъективность.

20.9. 1) Всякий элемент порядка p и конечной высоты можно вложить в конечное циклическое прямое слагаемое
группы.
2) Если группа содержит элементы конечного порядка, то она обладает коциклическим прямым слагаемым.
3) Неразложимая периодическая группа является коциклической.
4) Данная группа чиста во всякой содержащей ее группе тогда и только тогда, когда она — делимая группа.
20.10. Всякая ограниченная чистая подгруппа является прямым слагаемым группы.
20.11. Для любого простого числа p и натурального n всякая рпА-высокая подгруппа группы A служит для A
прямым слагаемым.
Подгруппа G группы A называется слабо чистой, если pG = G П pA при любом простом p.
20.12. 1) Приведите пример слабо чистой, но не чистой подгруппы.
2) В группах без кручения чистота эквивалентна слабой чистоте.
3) Подгруппа G слабо чиста тогда и только тогда, когда G/pG служит прямым слагаемым для группы A/pG.
4) Если подгруппа G слабо чиста в A и либо G, либо A/G — элементарная p-группа, то G — прямое слагаемое в
A.
20.13. Группа не имеет нетривиальных чистых подгрупп тогда и только тогда, когда она изоморфна какой-то
подгруппе группы Q или Zp^.
20.14. В группе выполняется условие максимальности (минимальности) для чистых подгрупп тогда и только
тогда, когда эта группа имеет конечный ранг.
20.15. Если G — чистая подгруппа группы A, равной B 0 C, причем G П C является существенной подгруппой и
в C, ив G, то A = B 0 G.
20.16. Подгруппа B группы A чиста тогда и только тогда, когда каждый смежный класс группы A по подгруппе
B содержит элемент того же порядка, что и этот смежный класс.
20.17. Если B — чистая подгруппа группы A и A/B — прямая сумма циклических групп, то B — прямое слагаемое
группы A.
20.18. Для подгруппы B группы A эквивалентны условия:
а) подгруппа B чиста в A;
б) подгруппа B служит прямым слагаемым для n_1B = {a Е A | na Е B} при любом натуральном числе n;
в) если C — группа, лежащая между B и A, и C/B — конечно порожденная группа, то B служит для C прямым
слагаемым.
20.19. 1) Ф^/Ф^)) = 0 для любой группы A.
2) Ф^) = 0 в точности тогда, когда группа A изоморфна некоторой слабо чистой подгруппе прямого произведения
элементарных p-групп.
20.20. Если система уравнений
Xj = bi (bi Е B, i Е I)
j=i
над чистой подгруппой B группы A, содержащая конечное число m неизвестных, имеет решение в группе A, то
она имеет решение и в группе B.
20.21. 1) Чистота подгруппы B в группе A равносильна справедливости равенства n_1B = B + n_10 для каждого
n Е N.
2) Если B — чистая подгруппа группы A, то (A/B)[n] = A[n]/B[n] для каждого n Е N.
20.22. Точная последовательность
0 — A -— B -— C — 0
чисто точна тогда и только тогда, когда каждая коциклическая группа (циклическая группа) G инъективна (проек-
тивна) относительно нее, т.е. для всякой коциклической группы (циклической группы) G диаграмма а) (диаграмма
б))
а) 0 —— A -— B -— C — 0, б) G
а в Ы G 0 — A -— B -— C — 0

121 Чистота и чистая инъективность.

может быть вложена в коммутативную диаграмму при соответствующем выборе гомоморфизма ф: B — G (ф : G —
B).
20.23. Для любой группы A существует такая прямая сумма циклических групп X = 0 (xi) и такой эпиморфизм
ieI
П: X — A, что Ker п — чистая подгруппа группы X.
20.24. Группа чисто проективна тогда и только тогда, когда она — прямая сумма циклических групп.
20.25. Всякую группу можно вложить в качестве чистой подгруппы в прямое произведение коциклических групп.
20.26. Группа чисто инъективна тогда и только тогда, когда она — прямое слагаемое прямого произведения
коциклических групп.
20.27. 1) Любая p-независимая система обязательно независима.
2) р-независимая система содержит только элементы бесконечного порядка и порядков, равных степеням данного
простого р.
3) Подгруппа, порожденная р-независимой системой элементов группы A, р-чиста в A.
4) Если независимая система элементов, содержащая только элементы бесконечного порядка и порядков, равных
степеням простого числа р, порождает р-чистую подгруппу, то эта система элементов р-независима.
20.28. Система элементов {ai | i € I} служит р-базисом для группы A в точности тогда, когда она является максимальной
р-независимой системой в A. Следовательно, всякая группа для любого простого р содержит р-базисные
подгруппы.
20.29. 1) p-базисной подгруппой группы Zp является подгруппа Z.
2) Если Bi есть р-базисная подгруппа группы Ai при i € I, то 0 Bi является р-базисной подгруппой группы 0 Ai.
ieI ieI
3) Всякая р-базисная подгруппа р-чистой подгруппы группы A служит прямым слагаемым для некоторой р-базисной
подгруппы группы A.
20.30. Пусть A — произвольная группа, B — ее р-базисная подгруппа. Тогда:
а) A = B + pnA, B/pnB = A/pnA и pnA/pnB = A/B для любого целого n ^ 0;
б) если B’ есть p-базисная подгруппа в B, то B’ является p-базисной подгруппой группы A;
в) если ф: A — Ao = A/A1 — канонический эпиморфизм, то Bo = ф^) является p-базисной подгруппой группы
Ao, причем ф индуцирует изоморфизм между B и Bo.
20.31. Если A — редуцированная группа и Bp для каждого простого числа р — ее р-базисная подгруппа, то
I A к (£ I Bp I г и I A I ^ I Ao I No, где Ao = a/a1.
p
20.32. 1) Прямое слагаемое алгебраически компактной группы также является алгебраически компактной группой.
2) Группа алгебраически компактна тогда и только тогда, когда ее редуцированная часть алгебраически компактна.
3) Редуцированная алгебраически компактная группа является прямым слагаемым прямого произведения циклических
р-групп.
4) Всякую группу можно вложить в качестве чистой подгруппы в некоторую алгебраически компактную группу.
20.33. Группа A алгебраически компактна тогда и только тогда, когда A служит прямым слагаемым для всякой
такой группы G, что A — чистая подгруппа группы G, а факторгруппа G/A изоморфна группе Q или некоторой
группе Zp~.
20.34. Группа A алгебраически компактна тогда и только тогда, когда A служит прямым слагаемым для всякой
группы G, в которой A содержится в качестве замкнутой в Z-адической топологии чистой подгруппы.
20.35. Если A — алгебраически компактная группа и B — чистая подгруппа группы A, то A/B — алгебраически
компактная группа.
20.36. Группа полна в Z-адической топологии тогда и только тогда, когда она — редуцированная алгебраически
компактная группа.
20.37. Пусть полная (в Z-адической топологии) группа A содержится в прямой сумме 0 Ci таких групп Ci, что
ieI
C1 = 0 для каждого i. Тогда существует такое целое число n > 0, что подгруппа nA содержится в прямой сумме
конечного числа групп Ci. В частности, если A = 0 Ci — прямое разложение полной группы A, то все Ci —
iei
полные группы и существует такое целое число n > 0, что nCi = 0 для почти всех i € I.
20.38. Если C — чистая подгруппа полной группы A, то замыкание (в Z-адической топологии) подгруппы C в A
служит для A прямым слагаемым.
20.39. Опишите Z-адические пополнения групп: Z, Qp, Q(p), 0 Zp*, 0Zp.
n=l p

122 Чистота и чистая инъективность.

компонент.
20.41. Если группа A полна в своей р-адической топологии, то qA = A для каждого простого числа q = р, а A
является р-адическим модулем, т.е. модулем над кольцом Zp.
20.42. Редуцированная группа A алгебраически компактна тогда и только тогда, когда она имеет вид A = Ap
p
(произведение берется по всем различным простым числам р), где каждая группа Ap полна в своей р-адической
топологии. Ap однозначно определяется группой A, в силу 20.41 она является р-адическим модулем.
Группа Ap из 20.42 называется р-адической компонентой группы A. Говорят также, что Ap — р-адическая алгебраически
компактная группа, подчеркивая то обстоятельство, что Ap — полный в р-адической топологии р-адический
модуль. Поэтому группы Ap могут быть охарактеризованы теми же системами инвариантов, что и их базисные
подгруппы; а именно каждая Ap изоморфна р-адическому пополнению группы 0 Z 0 0 0 Zpk.
mo k=l mk
Ввиду этого утверждения счетная система кардинальных чисел mo и mk (к = 1, 2, …) является полной независимой
системой инвариантов группы Ap, зная которую, можно восстановить группу Ap, взяв сначала соответствующую
прямую сумму и затем р-адическое пополнение: группа Ap изоморфна р-адическому пополнению группы 0 Z 0
то
0 0 Zpk. Если A — произвольная алгебраически компактная группа, то инварианты ее максимальной делимой
k=l тк
подгруппы (см. 19.59) вместе с инвариантами ее p-адических компонент образуют полную и независимую систему
инвариантов группы A.
20.43. Пусть m ^ ^ Тогда группа П Zp изоморфна р-адическому пополнению группы 0 Zp.
20.44. Пусть mk (к = 1, 2, …) — какие-то кардинальные числа. Тогда группа П (0 Zpk) изоморфна р-адическому
k=i тк
пополнению группы 0 Zp 0 0 0 Zpk, где m = П mk.
т k=l m.k k=l
20.45. 1) Если редуцированная алгебраически компактная группа является периодической, то она ограничена.
2) Всякая редуцированная алгебраически компактная группа обладает прямым слагаемым, изоморфным группе Zp
или Zpk (к = 1, 2, . . . ) при некотором р.
20.46. Согласно 20.32 всякую группу A можно вложить в качестве чистой подгруппы в некоторую алгебраически
компактную группу G. Выделим в G алгебраически компактную группу F такую, что делимая часть F совпадает
с инъективной оболочкой подгруппы A1 и F/A — делимая группа. Группа F определена однозначно с точностью до
изоморфизма над A. Группа F называется чисто инъективной оболочкой группы A. Чисто инъективная оболочка
группы A изоморфна прямой сумме инъективной оболочки группы A1 и пополнения в Z-адической топологии группы
Ao = A/A1.
20.47. Пусть C — алгебраически компактная группа, содержащая группу G в качестве чистой подгруппы. Тогда
чисто инъективная оболочка A группы G, лежащая в группе C, выделяется в C прямым слагаемым.
20.48. 1) Если A и A’ — алгебраически компактные группы, каждая из которых изоморфна чистой подгруппе
другой, то A = A’.
2) Если A — такая алгебраически компактная группа, что A 0 Zp = A’ 0 Zp или A 0 A = A’ 0 A’, то A = A’.

123 Чистота и чистая инъективность.