А. Пуанкаре. Математическое творчество.
Дополнение 2
Главная страница ФОРМИРОВАНИЕ МИРОВОЗЗРЕНИЯ УЧАЩИХСЯ.
Библиотека учителя математики.
Сборники Математики Скачать бесплатно.
Генезис математического творчества является проблемой, которая
должна вызвать живейший интерес у психолога. Кажется,
что в этом процессе человеческий ум меньше всего заимствует из
внешнего мира и действует, или только кажется действующим,
лишь сам по себе и сам над собой. Поэтому, изучая процесс математической
мысли, мы можем надеяться постичь нечто самое существенное
в человеческом сознании.
Это было понято уже давно, и несколько месяцев назад журнал
«Математическое образование», издаваемый Лезаном и фэром, опубликовал
вопросник, касающийся умственных привычек и методов
работы различных математиков. К тому моменту, когда были опубликованы
результаты этого опроса, мой доклад был в основном
уже подготовлен, так что я не мог ими практически воспользоваться.
Отмечу лишь, что большинство ответов подтвердило мои заключения;
я не говорю о единогласии, так как при всеобщем опросе на
это и нельзя надеяться.
Первый факт, который должен нас удивлять, или, вернее, должен
был бы удивлять, если бы к нему не привыкли, следующий:
как получается, что существуют люди, не понимающие математики?
Если математики используют лишь логические правила, которые
принимаются всеми разумными людьми; если математика основана
хна принципах, которые являются общими для всех людей, и которые
никто, не будучи сумасшедшим, не станет отрицать, то как получается,
что есть люди, совершенно не приемлющие математики?
Тот факт, что,не все способны на открытие, не содержит ничего
таинственного. Можно понять еще и то, что не все могут запомнить
доказательство, которое когда-то узнали. Но то обстоятельство,
что не всякий человек может понять математическое рйссуждение,
когда ему его излагают, кажется совершенно удивительным. И тем
не менее людей, которые лишь с большим трудом воспринимают
эти рассуждения, большинство; это неоспоримо, и опыт учителей
средней школы подтверждает это,
1 Перепечатано из русского издания книги Ж>Адамара «Исследование психологии
процесса изобретения в области математики». М.: Советское радио, 1970,
134 А. Пуанкаре. Математическое творчество.
И далее, как возможна ошибка в математике? Нормальный разум
не должен совершать логической ошибки; и тем не менее есть
очень тонкие умы, которые не ошибутся в коротком рассуждении,
подобном тем, с которыми ему приходится сталкиваться в обыденной
жизни и которые не способны привести или повторить без ошибки
более длинные математические доказательства, хотя в конечном
счете последние являются совокупностью маленьких рассуждений,
совершенно аналогичных тем, которые эти люди проводят так легко.
Нужно ли прибавить, что и самые хорошие математики не являются
непогрешимыми? 1
Ответ, как мне кажется, напрашивается сам собой. Представим
себе длинный ряд силлогизмов, у которых заключения первых служат
посылками следующих; мы способны уловить каждый из этих
силлогизмов и в переходах от посылки к рассуждению мы не рискуем
ошибиться. Но иной раз проходит много времени между моментом,
когда некоторое предложение мы встречаем в качестве
заключения силлогизма, и моментом, когда мы вновь с ним встретимся
в качестве посылки другого силлогизма, когда много звеньев
в цепи рассуждений, и может случиться, что предложение забыто
или, что более серьезно, забыт его смысл. Таким образом может
случиться, что предложение заменяют другим, несколько от него
отличным, или что его применяют в несколько ином смысле, и это
приводит к ошибке.
Если математик должен пользоваться некоторым правилом, естественно,
он сначала его доказывает и в момент, когда это доказательство
свежо в его памяти, он прекрасно понимает его смысл
и пределы применения и поэтому не рискует его искажать. Но затем,
доверяя своей памяти, он применяет его механически, и если
память его подведет, то правило может быть применено неверно. В
качестве простого и почти вульгарного примера можно привести
тот факт, что мы часто ошибаемся в вычислении, так как забыли
таблицу умножения.
С этой точки зрения математические способности должны были
бы сводиться к очень надежной памяти или к безупречному вниманию.
Это качество подобно способности игрока в вист запоминать
сброшенные карты; или — на более высоком-‘ уровне —способности
шахматиста, который должен рассмотреть большое число
комбинаций и все их держать в памяти. Каждый хороший математик
должен был бы быть одновременно хорошим шахматистом, и
обратно; точно так же он должен быть хорошим вычислителем.
Действительно, так иногда случается и, например, Гаусс был одновременно
гениальным геометром и рано проявившим себя очень
хорошим вычислителем.
Но есть исключения, хотя я, пожалуй, не прав, называя это
исключениями, так как исключения оказались бы более многочисленными,
чем правила. Напротив, это Гаусс был исключейием.
Что касается меня, то я вынужден признать свою» совершенную
неспособность выполнить сложение без ошибки. Я был бы также
135 А. Пуанкаре. Математическое творчество.
плохим шахматистом; я мог бы хорошо рассчитать, что, совершив
такой-то ход, я подвергся бы такой-то опасности; я рассмотрел бы
много других ходов, которые я отбросил бы по другим причинам,
и кончил бы тем, что совершил бы рассмотренный ход, забыв между
делом об опасности, которую я раньше предвидел.
Одним словом, у меня не плохая память, но она недостаточна,
чтобы сделать меня хорошим шахматистом. Почему же она меня не
подводит в трудном математическом рассуждении? Это, очевидно,
потому, что она руководствуется общей линией рассуждения. Математическое
рассуждение не есть простая совокупность силлогизмов;
это силлогизмы, помещенные в определенном порядке, и порядок,
в котором расположены эти элементы, гораздо более важен,
чем сами элементы* Если я чувствую этот порядок, так что вижу
рассуждение в делом, то мне не страшно забыть один из элементов:
каждый из них встанет на место, которое ему приготовлено, причем
без всякого усилия со стороны памяти. Когда я изучаю некоторое
утверждение, мне кажется, что я мог бы сам его открыть, или вернее,
если это иллюзия и я,недостаточно силен, чтобы открыть его,
я переоткрываю его во время рассуждения.
Отсюда можно сделать вывод, что это интуитивное чувство математического
порядка, которое позволяет нам угадать гармонию
и скрытые соотношения, доступно не всем людям. Одни не способны
к этому деликатному и трудному для определения чувству и не
обладают памятью и вниманием сверх обычных; и они совершенно
неспособны понимать серьезную математику; таковых большинство.
Другие обладают этим чувством в малой степени, но они имеют
хорошую память и способны на глубокое внимание. Они запомнят
наизусть детали одну за другой, они смогут понять математику
и иногда ее применять, но они неспособны творить. Наконец
третьи в большей или меньшей степени обладают той специальной
интуицией, о которой я говорил, и они могут не только понимать
математику, но и творить в ней и пытаться делать открытия
с большим или меньшим’ успехом в зависимости от степени развития
этой интуиции, несмотря на то что их память не представляет
собой ничего особенного.
Что же такое в действительности изобретение в математике?
Оно состоит не в том, чтобы создавать новые комбинации из уже
известных математических фактов. Это мог бы делать любой, но
таких комбинаций было бы конечное число, и абсолютное большинство
из них не представляло бы никакого интереса. Творить
это означает не создавать бесполезных комбинаций, а создавать
полезные, которых ничтожное количество. Творить — это уйёть
распознавать, уметь выбирать.
Как делать этот выбор, я объяснял в другом месте: математические
факты, которые заслуживают того, чтобы быть изученными,—■
это такие, которые по своей аналогии с другими фактами могут нас
подвести к познанию математического закона, подобно тому, как
экспериментальные факты подводят нас к познанию физического
136 А. Пуанкаре. Математическое творчество.
закона. Это такие факты, которые открывают нам связи между
другими законами, известными уже давно, но ошибочно считавшимися
не связанными друг с другом.
Среди выбранных комбинаций наиболее плодотворными часто
оказываются те, которые составлены из элементов, взятых из очень
далеких друг от друга областей. Я не хочу сказать, что для того,
чтобы сделать открытие, достаточно сопоставить как можно более
разношерстные факты; большинство комбинаций, образованных
таким образом, было бы совершенно бесполезным, но зато некоторые
из них, хотя и очень редко, бывают наиболее плодотворными
из всех. ^
Я уже говорил, что изобретение —это выбор; впрочем это
слово, может быть, подобрано не совсем точно, — здесь приходит в
голову сравнение с покупателем, которому предлагают большое
количество образцов товаров, и он исследует их один за другим,
чтобы сделать свой выбор. В математике образцы столь многочисленны,
что всей жизни не хватит, чтобы их исследовать. Выбор
происходит не таким образом. В поле зрения его сознания попадают
лишь действительно полезные комбинации и некоторые другие,
имеющие признаки полезных, которые он затем отбросит.
Бесплодные же комбинации даже не придут в голову изобретателю.
Все происходит так, как если бы ученый был экзаменатором
второго тура, который должен экзаменовать лишь кандидатов, успешно,
прошедших испытания в первом туре. Но все то,-что до сих
пор говорил, можно заметить или заключить, лишь достаточно вдумчиво
вчитываясь в труды по математике.
Настало время продвинуться вперед и посмотреть, что же
происходит в самой душе математика. Я полагаю, что лучшее, что
можно для этого сделать, это привести собственные воспоминания.
Я припомню и расскажу вам, как я написал свою первую работу
об автоморфных функциях. Я прошу прощения за то, что буду вынужден
употреблять специальные термины, но это не должно вас
пугать, так как вам их понимать совсем не обязательно. Я, например,
скажу, что при таких-то обстоятельствах нашел доказательство
такой-то теоремы; эта теорема получит варварское назвакие,
которое многие из вас не доймут, но это не важно; для психолога
важна не теорема, а обстоятельства.
. В течение двух недель я пытался доказать, что не может существовать
никакой функции, аналогичной той, которую я назвал
впоследствии автоморфной. Я был, однако, совершенно неправ;
каждый день я садился за рабочий стол, проводил за ним час или
два, исследуя большое число комбинаций, и не приходил ни к какому
результату.
Однажды вечером, вопреки своей привычке, я выпил черного
кофе; я не мог заснуть, идеи теснились, я чувствовал, как они сталкиваются,
пока две из них не соединились, чтобы, образовать устойчивую
комбинацию. К утру я установил существование одного
класса этих функций, который соответствует гипергеометрическому
137 А. Пуанкаре. Математическое творчество.
ряду; мне оставалось лишь записать результаты, что заняло только
несколько часов Я хотел представить эти функции в виде отношения
двух рядов, и эта идея была совершенно сознательной и обдуманной;
мной руководила аналогия с эллиптическими функциями.
И спрашивал себя, какими свойствами должны обладать эти ряды,
если они существуют, и мне без труда удалось построить эти рады,
которые я назвал тета-автоморфными.
В этот момент я покинул Кан, где я тогда жил, чюбы принять
участие в геологической экскурсии, организованной Горной школой.
Перипетии этого путешествия заставили меня забыть о моей
работе. Прибыв в Кутанс, мы сели в омнибус для какой-то прогулки;
в момент, когда я вставал на подножку, мне пришла в голову
вдет, без всяких, казалось, раздумий с моей стороны, идея о том,
что преобразования, которые я использовал, чтобы определить
автоморфные функции, были тождественны преобразованиям неевклидовой
геометрии. Из-за отсутствия времени я не сделал проверки,,
так как с трудом сев в омнибус, я тотчас же продолжил начатый
разговор, но я уже имел полную уверенность в правильности
сделанного открытия. По возвращении в Кан я на свежую голову и
для очистки совести проверил найденный результат.
В то время я занялся изучением некоторых вопросов теории
чисел, не получая при этом никаких существенных результатов и
не подозревая, что это может иметь малейшее отношение к прежним
исследованиям. Разочарованный своими неудачами, я поехал про
вести несколько дней на берегу моря и думал совсем о другой
вещи. Однажды, когда я прогуливался по берегу, мне так же вне
запно, быстро и с той же уверенностью мгновенной пришла на ум
мысль, что арифметические преобразования квадратичных форм
тождественны преобразованиям неевклидовой геометрии.
Возвратившись в Кан, я думал над этим результатом, извлекая
из него следствия; пример квадратичных форм мне показал, что
существуют автоморфные группы, отличные от тех, которые соответствуют
гипергеометрическому ряду; я увидел, что могу к ним применить
теорию тета-автоморфных функций и что, следовательно,
существуют автоморфные функции, отличающиеся от тех, которые
соответствуют гипергеометр ическому ряду — единственные, которые
я знал до тех пор.
Естественно, я захотел построить все эти функции; я предпринял
систематическую осаду и успешно брал одно за другим передовые
укрепления. Оставалось, однажо, еще одно, которое держалось
и взятие которого означало бы падшие всей крепости. Однако
сперва цецрй всех моих усилий я добился лишь того, что лучше
понял, в чем состоит трудность проблемы, и это уже кое-что значило.
Вся эта работа была совершенно сознательной.
Затем я переехал в Мон-Валерьян, где я должен был продолжать
военную службу. Таким образом, занятия у меня были весьма
разнообразны. Однажды, во время прогулки по бульвару, мж
вдруг в голову пришло решение этого трудного вопроса, который
138 А. Пуанкаре. Математическое творчество.
меня останавливал. Я не стал пытаться вникать в него немедленно
и лишь после окончания службы вновь принялся за проблему, У
меня были все элементы, и мне оставалось лишь собрать их и привести
в порядок. Поэтому я сразу и без всякого труда полностью
написал эту работу.
Я ограничусь лишь этим одним примером. Бесполезно их умножать,
так как относительно других моих исследований я мог бы
рассказать веди, совершенно аналогичные, и наблюдения, приводимые
другими математиками в ответах на вопросы журнала «Математическое
образование», только подтверждают мои.
То, что вас удивит прежде всего, это видимость внутреннего
озарения, являющаяся результатом длительной неосознанной работ;
роль этой бессознательной работы в математическом изобретший
мне кажется несомненной, и ее следы можно найти и в дру-
_ гих случаях, когда это менее очевидно. Часто, когда работают
над трудным вопросом, с первого раза не удается ничего хорошего,
затем наступает более или менее длительный период отдыха и потом
снова принимаются за дело. В течение первого получаса дело вновь
не двигается, а затем вдруг нужная идея приходит в голову. Можно
было бы сказать, что сознательная работа стала более плодотворной,
так как была прервана и отдых вернул уму его силу и свежесть.
Но более вероятно предположить, что этот отдых был заполнен
бессознательной работой и что результат этой работы внезапно
явился математику точно так, как это было в случае, который я
рассказывал; только озарение вместо того, чтобы произойти во
. время прогулки или путешествия происходит во время сознательной
работы, но совершенно независимо от этой работы, которая,
самое большее, играет роль связующего механизма, переводя результаты,
пожученные во время отдыха, но оставшиеся неосознанными,
и осознанную форму.
Есть еще одно замечание по поводу условий этой бессознательной
работы: она возможна или, по крайней мере, плодотворна лишь
в том случае, когда ей предшествует и за ней следует сознательная
работа. Приведенный мной пример подтверждает в достаточной мере,
что эти внезапные вдохновения происходят лишь после нескольких
дней сознательных усилий, которые казались абсолютно бесплодными,
когда предполагаешь, что не сделано ничего хорошего
и когда кажется, что выбран совершенно ошибочный путь. Эти
усилия, однако, ж являются бесполезными, как это думают; они
пустили в ход бессознательную машину, без них она не пришла бы
в действие и ничего бы не произвела.
Необходимость второго периода сознательной работы после
озарения еще более понятна. Нужно использовать результаты
этого озарения, вывести из них непосредственные следствия, привести
в порядок, отредактировать доказательство. Но особенно необходимо
их проверить. Я вам уже говорит о чувстве абсолютной
уверенности, которое сопровождает озарение, в рассказанных случаях
оно не было ошибочным и чаще всего так и бывает; но следует
139 А. Пуанкаре. Математическое творчество.
опасаться уверенности, что это правило без исключения; часто это
чувртво нас обманывает, не становясь при этом менее ярким, и заметить
это можно лишь при попытке строго сознательно провести
доказательство. Особенно я наблюдал такие факты в случае, когда
идеи приходят в голову утром или вечером в постели, в полусознательном
состоянии.
Таковы факты, рассмотрим теперь выводы, которые отсюда следуют.
Как вытекает из предыдущего, или мое «бессознательное я»
или, как это называют, мое подсознание, играет основную роль в
математическом творчестве. Но обычно рассматривают подсознательные
процессы, как явления чисто автоматические. Мы видим,
что работа математика не является просто механической и ее нельзя
было бы доверить машине, сколь бы совершенной она ни была.
Здесь дело не только в том, чтобы применять правила и создавать
как можно больше комбинаций по некоторым известным законам.
Комбинации, полученные таким образом, были бы слишком многочисленными,
громоздкими и бесполезными. Истинная работа ученого
состоит в выборе этих комбинаций, так чтобы исключить бесполезные
или, вернее, даже не утруждать себя их созданием.
И правила, которыми нужно руководствоваться при этом выборе,
предельно деликатны и тонки, их почти невозможно выразить точными
словами; они легче чувствуются, чем формулируются; как
можно при таких условиях представить себе аппарат, который их
применяет автоматически?
Отсюда перед нами возникает первая точка зрения: «Я — подсознательное
» нисколько не является низшим по .отношению к
«я —сознательному», но не является чисто автоматическим, оно
спос9бно здраво судить, оно имеет чувство меры и чувствительность,
оно умеет выбирать и догадываться. Да что говорить, оно
умеет лучше догадываться, чем мое сознание, так как преуспевает
там, где сознание этого не может.
Короче, не стоят ли мои бессознательные процессы выше, чем
мое сознание? Вы понимаете важность моего вопроса. Э. Б утру
вам показал в докладе, сделанном здесь же два месяца назад, как
этот вопрос возникает при совершенно других обстоятельствах и
какие следствия вытекают из утвердительного ответа. Не вытекает
ли такой утвердительный ответ из фактов, которые я только что вам
изложил? Я утверждаю, что не могу с этим согласиться. Итак,
исследуем еще раз эти факты и посмотрим, не содержат ли они другого
объяснения.
Несомненно, что комбинации, приходящие на ум в виде внезапного
озарения после достаточно длительной бессознательной
работы, обычно полезны и глубоки, как будто они прошли уже первый
отбор. Значит ли это; что подсознание образовало только эти
комбинации, интуитивно, догадываясь, что лишь они полезны,
или оно образовало и многие другие, которые были лишены интереса
и остались неосознанными?
При этой второй точке зрения все комбинации формируются
140 А. Пуанкаре. Математическое творчество.
механизмом подсознания, но в поле зрения сознания попадают
лишь представляющие интерес. Но и это еще очень непонятно.
Каковы причины того, что среди тысяч результатов деятельности
нашего подсознания есть лишь некоторые, которые призваны пересечь
его порог, в то время как все прочие остаются по ту сторону?
Не просто ли случай дает им эту привилегию? Конечно, нет. К примеру,
среди всех ощущений, действующих на наши органы чувств,
но только самые интересные обращают на себя внимание, по крайней
мере, если это внимание не обращено на них по другим причинам.
В более общем случае среди бессознательных идей привилегированными,
т. е. способными стать сознательными, являются те, которые
прямо или косвенно наиболее глубоко воздействуют на наши
чувства.
Может вызвать удивление обращение к чувствам, когда речь
идет о математических доказательствах, которые, казалось бы, связаны
только с умом. Но это означало бы, что мы забываем о чувстве
математической красоты, чувстве гармонии чисел и форм, геометрической
выразительности. Это настоящее эстетическое чувство, знакомое
всем настоящим математикам. Воистину, здесь налицо чувство!
Но каковы математические характеристики, которым мы приписываем
свойства красоты и изящества и которые способны возбудить
в нас своего рода эстетическое чувство? Это те элементы, которые
гармонически расположены таким образом, что ум без усилия
может их охватывать целиком, угадывая детали. Эта гармония
служит одновременно удовлетворением наших эстетических чувств
и помощью для ума, она его поддерживает и ею он руководствуется.
Эта гармония дает нам возможность предчувствовать математический
закон. Итак, как это было сказано выше, единственными
фактами, способными обратить на себя внимание и быть полезными,
являются те, которые подводят нас к познанию математического
закона. Таким образом, мы приходим к следующему выводу: полезные
комбинации это в точности наиболее красивые, т. е. те, которые
больше всего воздействуют на это специальное чувство математической
красоты, известное всем математикам и недоступное
профанам до такой степени, что они часто’склонны смеяться над ним.
Что же таким образом происходит? Среди многочисленных
комбинаций, образованных нашим подсознанием, большинство
безынтересно и бесполезно, но потому они и не способны подействовать
на наше эстетическое чувство; они никогда не будут нами
осознаны; только некоторые являются гармоничными и потому
одновременно красивыми и полезными; они способны возбудить нашу
специальную геометрическую интуицию, которая привлечет к
ним наше внимание и таким образом даст им возможность стать
осознанными.
Это только гипотеза, но есть наблюдение, которое ее подтверждает:
внезапное озарение, происходящее в уме математика, почти
никогда его не обманывает, но иногда случается, что оно не выдер
141 А. Пуанкаре. Математическое творчество.
ложная идея оказалась верной, то она удовлетворила бы наше
естественное чувство математического изящества.
Таким образом, это специальное эстетическое чувство играет
роль решета, и этим объясняется, почему тот, кто лишен его, никогда
не станет настоящим изобретателем.
Однако преодолены не все трудности: ясно, что пределы сознания
очень узки, а что касается подсознания, то его пределов мы не
знаем и потому не слишком возражаем против предположения,
что оно может образовать в короткое время столько комбинаций,
сколько сознательное существо не смогло бы рассмотреть за всю
жизнь. Эти пределы тем не менее существуют, но правдоподобно
предположить, что подсознание могло бы образовать все возможные
комбинации, число которых испугало бы воображение, и это
кажется и необходимым, так как если бы оно образовывало их мало
и делало бы это случайным образом, то маловероятно, чтобы
«хорошая» комбинация, которую надо выбрать, находилась среди
них.
Для объяснения надо учесть первоначальный период сознательной
работы, который предшествует плодотворной бессознательной
работе. Прошу извинить меня за следующее грубое сравнение.
Представим себе будущие элементы наших комбинаций
как что-то похожее на атомы-крючки Эпикура. Во время полного
отдыха мозга эти атомы неподвижны, они как будто прикреплены
к стене; этот полный отдых может продолжаться неопределенное
время, атомы при этом не встречаются и, следовательно, никакое
их сочетание не может осуществиться. Во время же кажущегося
отдыха и бессоанательной работы некоторые из них оказываются
отделенными от стены и приведенными в движение. Они перемещаются
во всех направлениях пространства, вернее,— помещения, где
они заперты, так же, как туча мошек или, если вы предпочитаете
более ученое сравнение, как газовые молекулы в кинетической
теории газов. При взаимном столкновении могут появиться новые
комбинации.
Какова же роль первоначальной сознательной работы? Она
состошу очевидно, в том, чтобы мобилизовать некоторые атомы,
отделить их от стены и привести в движение. Считают, что не сделано
ничего хорошего, так как эти элементы передвигали тысячами
разных способов с целью найти возможность их сочетать, а удовлетворительной
комбинации найти не удалось. Но после того импульса,
который им был сообщен по нашей воле, атомы больше не возвращаются
в свое первоначальное неподвижное состояние. Они
свободно продолжают свой танец. г :
Но наша воля выбрала их не случайным образом, цель была вполне
определенна; выбранные атомы были не первые попавшиеся, а
те, от которых разумно ожидать искомого решения. Атомы, приведенные
в движение, начинают испытывать-соударения и, следовательно,
образовывать сочетания друг с другом или с теми атомами,
142 А. Пуанкаре. Математическое творчество.
которые были ранее неподвижны и были задеты при их движении.
Я еще раз прошу извинения за грубость сравнения, но я не знаю
другого способа, для того чтобы объяснить свою мысль.
Как бы то ни было, у созданных комбинаций хотя бы одним из
элементов служит атом, выбранный по нашей воле. И очевидно,
что среди них находятся те комбинации, которые я только что назвал
«хорошими». Может быть, в этом содержится возможность
уменьшить парадоксальность первоначальной гипотезы.
Другое наблюдение. Никогда не бывает, чтобы результатом
бессознательной работы было полностью проведенное и достаточно
длинное вычисление, даже если его правила заранее установлены.
Казалось бы, подсознание должно быть особенно расположено к
совершенно механической работе. Если, например, вечером подумать
о сомножителях, то можно было бы надеяться, что при пробуждении
будешь знать произведение или что алгебраическое вычисление,
например проверка, могло бы проводиться бессознательно.
Но опыт опровергает это предположение. Единственное, что получаешь
при озарении, являющимся результатом бессознательной
работы, это отправные точки для подобных вычислений; что касается
самих вычислений, то их надо проводить во время второго периода
сознательной работы, следующего за озарением; тогда проверяют
результаты и выводят из них следствия. Правила вычислений
строги и сложны, они требуют дисциплины, внимания и воли
и, следовательно, сознания. В подсознании же царит напротив то,
что я называю свободой, если можно назвать этим словом простое
отсутствие дисциплины и беспорядок, рожденный случаем. Но
только этот беспорядок рождает неожиданные комбинации.
Я сделаю последнее замечание; когда я выше излагал вам некоторые
личные наблюдения, я говорил о бессонной ночи, во время
которой я работал как бы против своей воли; такие случаи часты
и необязательно, чтобы причиной такой ненормальной мозговой
активности было физическое возбуждение, как было в случае, о
котором я говорил. Кажется, что в этих случаях присутствуешь
при своей собственной бессознательной работе, которая стала
частично ощутимой для сверхвозбужденного состояния и которая
не изменила из-за этого своей природы. При этом начинаешь смутно
различать два механизма или, если угодно, два метода работы
этих двух «я». И психологические наблюдения, которые я мог при
этом сделать, как мне кажется, подтверждают в основных чертах
те взгляды, которые я вам здесь изложил.
Эти взгляды, несомненно, нуждаются в проверке, так как, несмотря
ни на что, остаются гипотетичными; вопрос, однако, столь
интересен, что я не раскаиваюсь в том, что изложил их вам.
* *
*
Статья А. Пуанкаре была напечатана в журнале «Bulletin de
rinstitut General dePsychologie», № 3,1908,
143 А. Пуанкаре. Математическое творчество.
Несомненно, что читатели увидят, как еще неопределенен ответ
на вопрос: что такое математическое творчество. Однако статья
А . Пуанкаре интересна и заставляет задумываться над вопросом
весьма серьезно, поскольку прогресс неотделим от творчества.
Я считаю, что ознакомление учителей со статьей А. Пуанкаре очень
полезно, поскольку им предстоит много лет участвовать в исключительном
по своей сложности и важности процессе воспитания у
учащихся элементов творческого мышления. Может случиться, что
кто-нибудь из читателей этой книги или их ученики заинтересуются
проблемой исследования психологии творчества и внесут в ее решение
новые мысли и идеи. Я не отношусь к взглядам Пуанкаре на
творчество как к чему-то безусловному и уже установленному. Его
мысль об атомах Эпикура не только поэтическое сравнение, но
и убеждение в том, что здесь имеется элемент решения проблемы,
мне представляется мало убедительной.
Мне хотелось бы предупредить читателей и о том, что проблемами
творческого мышления занимались многие ученые. В таком
же описательном плане, в каком написан соответствующий параграф
второй главы настоящей книги или же статьи Пуанкаре, написана
брошюра известного советского физика А. В. Мигдала «Поиски
истины», указанная в дополнительном списке литературы в
конце книги. Несомненно, что читатели с интересом прочтут и книгу
Ж. Адамара, на которую я сделал ссылку в тексте.
Мне бы хотелось завершить это небольшое замечание к статье
А. Пуанкаре такими словами: творческие успехи приходят только
к тем, кто способен увлечься проблемой, длительное время размышлять
о ней с внутренним трепетом и всепоглощающим стремлением
найти ее решение. Это относится к любому виду творчества, в том
числе и педагогического. •
Дополнительная литература
Башмакова И. Г. и Юшкевич А. П. Происхождение систем
счисления. Энциклопедия элементарной математики. ГИТЛ, кн. 1.
М. — Л.: 1951.
Мигдал А. Б. Поиски истиныv Новое в жизни, науке, технике,
серия физика. М.: Знание, 1978, № 7.
Реньи А. Трилогия о математике. М.: Мир, 1980.
На путях обновления школьного курса математики: Сб. ст,
Сост.: А. И. Маркушевич и др. М.: Просвещение, 1978.
Роль учебной литературы в формировании мировоззрения учащихся.
М.: Педагогика, 1978.
Формирование коммунистического мировоззрения школьников:
Сб, ст. Под ред. Э. И. Моносзона, М.: Педагогика, 1977.
144 А. Пуанкаре. Математическое творчество.
Околоadmin
Comments